【中考二轮】2024年中考数学 热点01+数与式（10大题型+满分技巧+限时分层检测）-专题训练.zip

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在中考中，实数考试的形式通常包括选择题、填空题和解答题等。选择题和填空题主要测试学生对实数的基本概念和性质的理解，而解答题则主要测试学生应用实数解决实际问题的能力。
中考中因式分解的考点有公因式提取、完全平方公式、差平方公式、十字相乘法、分组分解法等，主要考查学生的数学思维和解题能力。学生需要通过大量的练习来熟悉各种题型和解法，以便在考试中能够灵活运用所学知识解决问题。
中考二次根式的命题趋势以基础知识和运算能力为主，同时也会涉及一些应用题和综合题。学生在备考时应注重基础知识的学习和运算能力的培养，同时也要注意应用题和综合题的训练。
考向一：实数
【题型1 相反数、绝对值、倒数】
1．（2022•上海）8的相反数是
A．8B．C．D．
【答案】
【考点】相反数
【专题】推理填空题
【分析】一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．
【解答】解：8的相反数为：．
故选：．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（2023•崇明区二模）的绝对值是
A．B．C．D．6
【答案】
【考点】绝对值
【分析】根据绝对值的定义求解．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
3．（2023•徐汇区二模）下列互为倒数的是
A．3和B．和2C．3和D．和
【答案】
【考点】倒数
【专题】实数；数感
【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：、，
和互为倒数，符合题意；
、，
和2不互为倒数，不符合题意；
、，
和不互为倒数，不符合题意；
、，
和不互为倒数，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键．
【题型2 科学计数法】
1．（2023•徐汇区二模）根据电影发行方的数据，电影《满江红》截至2023年3月17日，以4535000000元的票房高居春节档前列，数据4535000000用科学记数法表示为 ．
【答案】．
【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
2.（2023•嘉定区二模）已知1纳米米，那么2.5纳米用科学记数法表示为 米．
【答案】米．
【考点】科学记数法—表示较小的数
【专题】实数；数感
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：纳米米，
纳米米米．
故答案为：米．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2023•徐汇区模拟）第七次全国人口普查，国家统计局发布公报上海市常住人口为24870895人，这个数用科学记数法表示为 ．（结果保留3个有效数字）
【答案】．
【考点】科学记数法与有效数字
【专题】实数；数据分析观念
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】本题考查科学记数法，绝对值小于1的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，为整数．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
【题型3 实数】
1．（2022•闵行区二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是
A．B．
C．D．
【答案】
【考点】实数
【专题】实数；符号意识
【分析】根据无限不循环小数的概念解答即可．
【解答】解：、原式，是整数，不合题意；
、是分数，是无限循环小数，不合题意；
、是无理数，是无限不循环小数，符合题意；
、，是无限循环小数，不合题意；
故选：．
【点评】此题考查的是实数，有理数和无理数统称实数．
2．（2023•浦东新区模拟）如图，数轴上的点和点分别在原点的左侧和右侧，点、对应的实数分别是、，下列结论一定成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】实数与数轴；绝对值
【专题】运算能力；计算题
【分析】首先利用数轴上的信息确定、的正负性，然后利用不等式的性质即可解决问题．
【解答】解：根据数轴可知，，
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意；
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意；
：依题意，故结论正确，该选项符合题意；
：依题意，故结论错误，该选项不符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，同时也利用了不等式的性质．
3．（2023•长宁区二模）下列实数中，比3大的有理数是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】估算无理数的大小
【专题】实数；运算能力
【分析】根据，，，，即可得出比3大的数．
【解答】解：，，，，
各数中，比3大的数是，
故选：．
【点评】本题主要考查了实数大小的比较，解题时注意：利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
4．（2023•宝山区二模）无理数在
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】
【考点】估算无理数的大小
【专题】运算能力；二次根式
【分析】先估计7的范围，再估算的范围．
【解答】解：，
，
故选：．
【点评】本题考查了无理数的估算，常用夹逼法，用相邻的两个整数夹逼无理数是解题的关键．
5．（2023•静安区二模）下列无理数中，在与0之间的数是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】估算无理数的大小
【专题】实数；运算能力
【分析】运用算术平方根的知识进行估算、辨别．
【解答】解：，，
，，，，
在与0之间，
故选：．
【点评】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法
【题型4 平方根、算数平方根、立方根】
1．（2021•上海）已知，则_______．
【答案】5．
【考点】算术平方根
【专题】二次根式；运算能力
【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为 进行解答即可．
【解答】解：，
．
故答案为：5．
【点评】此题考查的是算术平方根的概念，掌握其概念是解决此题关键．
2．（2022•奉贤区二模）的立方根是_______．
【考点】立方根
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的符号相同．
3．（2023•黄浦区二模）计算：_______．
【考点】24：立方根
【专题】11：计算题
【分析】如果一个数的立方等于，那么是的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：的立方为，
的立方根为，
故答案为．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
【题型5 实数的运算】
1．（2023•上海）计算：．
【答案】．
【考点】负整数指数幂；实数的运算
【专题】运算能力；实数
【分析】根据立方根定义，二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2021•上海）计算：．
【答案】2．
【考点】实数的运算；分数指数幂；负整数指数幂
【专题】实数；运算能力
【分析】直接利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：
．
【点评】此题主要考查了实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（2023•嘉定区一模）计算：．
【答案】．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【专题】运算能力；二次根式
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：
．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
4．（2022•上海）计算：．
【答案】．
【考点】实数的运算；分数指数幂
【专题】实数；运算能力
【分析】先根据绝对值的性质，负整数指数幂的法则，分母有理化的法则，二次根式的性质进行化简，然后计算加减．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键掌握分数指数幂的运算法则，将分数指数幂转化为二次根式形式．
考向二：整式与因式分解
【题型6 整式的运算】
1．（2023•金山区二模）计算_______．
【答案】．
【考点】同底数幂的乘法
【分析】利用同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”是解决本题的关键．
2．（2023•静安区二模）化简的结果是
A．B．C．D．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方
【专题】11：计算题；512：整式
【分析】原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可求出值．
【解答】解：原式，
故选：．
【点评】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2021•上海）计算：________．
【答案】．
【考点】同底数幂的除法
【专题】整式；运算能力
【分析】根据同底数幂的除法法则进行解答即可．
【解答】解：，
故答案为：．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂相除，底数不变指数相减是解题的关键．
4．（2023•普陀区二模）下列各式中，计算结果是的是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；同底数幂的乘法
【专题】整式；运算能力
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.（2020•上海）计算：________．
【考点】49：单项式乘单项式
【分析】根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
6．（2022•浦东新区校级模拟）计算：________．
【考点】多项式乘多项式
【分析】多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．依此计算即可求解．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
7．（2023•静安区二模）计算：________．
【答案】．
【考点】完全平方公式
【分析】先利用完全平方公式展开，然后合并即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题考查了完全平方公式：灵活运用完全平方公式是解决问题的关键，完全平方公式为．
【题型7 因式分解】
1．（2023•青浦区二模）因式分解：
【考点】53：因式分解提公因式法
【分析】直接找出公因式再提取公因式分解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
2．（2023•闵行区二模）因式分解： ．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式，
故答案为：
【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3．（2023•宝山区二模）分解因式：______．
【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：
．
【点评】考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
4．（2023秋•浦东新区期中）分解因式：．
【答案】．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
5．（2023秋•松江区期末）分解因式：．
【答案】．
【考点】因式分解分组分解法；因式分解提公因式法
【专题】整式；运算能力
【分析】两两分组：先分别提取公因式，8；再提取公因式进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．
6．（2022•杨浦区三模）分解因式： ．
【考点】57：因式分解十字相乘法等
【分析】原式利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式．
故答案为：．
【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
7．（2022•长宁区模拟）在实数范围内分解因式： ．
【考点】因式分解运用公式法；实数范围内分解因式
【分析】把3写成的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．
【解答】解：．
【点评】本题考查平方差公式分解因式，把3写成的平方是利用平方差公式的关键．
考向三：分式
【题型8 分式的意义与分式的运算】
1．（2023•嘉定区二模）如果分式有意义，那么实数的取值范围是 ．
【答案】．
【考点】分式有意义的条件
【专题】常规题型；分式；运算能力
【分析】根据分式有意义的条件可得，再解即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
2．（2023•奉贤区二模）化简分式的结果为 ．
【答案】．
【考点】约分
【专题】运算能力；分式
【分析】先将分式的分母分解因式，然后约分即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确因式分解的方法．
3．（2023•上海）化简：的结果为 2 ．
【答案】2．
【考点】分式的加减法
【专题】分式；运算能力
【分析】根据分式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：2．
【点评】本题考查分式的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
4．（2023•静安区校级一模）计算： 2 ．
【答案】2．
【考点】分式的加减法
【专题】运算能力；分式
【分析】利用同分母的分式的加法法则解答即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了同分母分式的加法，熟练掌握同分母分式的加法法则是解题的关键．
5．（2023•徐汇区二模）先化简，再求值：，然后从，，0，2，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】，当时，原式，当时，原式．
【考点】分式的化简求值
【专题】分式；运算能力
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
【解答】解：原式
，
，，，
、、2，
当时，原式，
当时，原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
考向四：二次根式
【题型9 最简二次根式与同类二次根式】
1．（2023•浦东新区校级模拟）下列二次根式中，最简二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】最简二次根式
【专题】整式；数感
【分析】根据最简二次根式的意义进行判断即可．
【解答】解：、，不是最简二次根式，故不符合题意；
、，不是最简二次根式，故不符合题意；
、是最简二次根式，故符合题意；
、，不是最简二次根式，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查最简二次根式，理解“被开方数是整式且不含有能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式”是正确判断的关键．
2．（2023•虹口区二模） ．
【考点】二次根式的性质与化简
【专题】计算题
【分析】根据简得到原式，然后根据绝对值的意义去绝对值即可．
【解答】解：原式．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：．也考查了绝对值的意义．
3．（2023•杨浦区三模）二次根式的有理化因式是 或（答案不唯一） ．
【答案】或（答案不唯一）．
【考点】分母有理化
【专题】二次根式；运算能力
【分析】根据平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：，，
二次根式的有理化因式是或，
故答案为：或（答案不唯一）．
【点评】本题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的意义是解题的关键．
4．（2020•上海）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A．6B．C．D．
【答案】
【考点】同类二次根式
【专题】二次根式；运算能力
【分析】根据同类二次根式的定义解决此题．
【解答】解：．根据同类二次根式的定义，6与不是同类二次根式，那么不符合题意．
．根据算术平方根以及同类二次根式，与不是同类二次根式，那么不符合题意．
．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，与是同类二次根式，那么符合题意．
．根据二次根式的性质以及同类二次根式的定义，与不是同类二次根式，那么不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解决本题的关键．
5．（2023•嘉定区二模）下列根式中，与为同类二次根式的是
A．B．C．D．
【考点】77：同类二次根式
【分析】把化为最简二次根式，然后根据被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式解答．
【解答】解：，
所以，与为同类二次根式的是．
故选：．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【题型10 二次根式的运算】
1．（2023•奉贤区二模）计算：．
【答案】．
【考点】分母有理化；负整数指数幂
【专题】实数；运算能力
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了负整数指数幂，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（2023•嘉定区二模）计算：．
【答案】1．
【考点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；分母有理化；零指数幂；特殊角的三角函数值
【专题】运算能力；实数；计算题
【分析】根据负整数指数幂的运算法则可得，再将其分母有理化得，由特殊角的三角函数值可得，由绝对值的代数意义可得，由零指数幂的，以此进行计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，涉及的知识点有负整数指数幂、分母有理化、特殊角的三角函数值、绝对值的代数意义、零指数幂，熟练掌握相应的运算法则是解题关键．

（建议用时：20分钟）
1．（2023•上海）下列运算正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】二次根式的性质与化简；同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方
【专题】运算能力；二次根式
【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（2022•上海）下列运算正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【考点】合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式；平方差公式
【专题】整式；运算能力
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断．
【解答】解：、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用以及合并同类项法则，积的乘方的运算法则，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．
3．（2021•上海）下列实数中，有理数是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】实数；二次根式的性质与化简
【专题】二次根式；符号意识
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：，不是有理数，不合题意；
，不是有理数，不合题意；
，是有理数，符合题意；
，不是有理数，不合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
4．（2023•长宁区二模）计算：________．
【答案】．
【考点】单项式乘单项式
【专题】运算能力；整式
【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．
5．（2023•松江区二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】
【考点】同类二次根式
【专题】二次根式；运算能力
【分析】根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答．
【解答】解：、，
与不是同类二次根式，不符合题意；
、，
与是同类二次根式，符合题意；
、，
与不是同类二次根式，不符合题意；
、，
与不是同类二次根式，不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
6.（2023•杨浦区二模）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿万万，1兆万亿，那么2兆 ．（用科学记数法表示）
【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．据此解答即可．
【解答】解：2兆万亿，
故答案为：．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
7．（2023•浦东新区模拟）如果，，那么代数式的值为 ．
【考点】33：代数式求值
【分析】把与的值代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：当，时，，
故答案为：
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2023•青浦区二模）因式分解：
【考点】53：因式分解提公因式法
【分析】直接找出公因式再提取公因式分解即可．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．（2023•浦东新区校级模拟）分解因式： ．
【考点】因式分解运用公式法
【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式，即可把原式化为积的形式．
【解答】解：．
故答案为：．
【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．
10．（2023•宝山区二模）分式中字母的取值范围是 ．
【考点】分式有意义的条件
【分析】根据题意得，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围为．
故答案为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式有意义的条件：分式有意义的条件是分母不等于零．
11．（2023•杨浦区二模）如果关于的二次三项式在实数范围内不能因式分解，那么的取值范围是 ．
【答案】．
【考点】实数范围内分解因式；因式分解十字相乘法等
【专题】整式；运算能力
【分析】关于的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，由此可解．
【解答】解：关于的二次三项式在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程无实数根，
△，
．
故答案为：．
【点评】本题考查二次三项式的因式分解问题，可转化为对应的二次方程的实数根的情况，属于比较简单的问题．
12．数轴上某一个点表示的数为，比小2的数用表示，那么的最小值为
A．0B．1C．2D．3
【考点】数轴；绝对值
【分析】理解绝对值的定义，如表示数轴上点到2的距离；表示到原点的距离；
【解答】解：比小2的数用表示，
，
，
那么的最小值就是在数轴上找一点到原点和到2的距离最小，
显然这个点就是在0与2之间，
当在区间0与2之间时，
为最小值，
的最小值为2，
故选：．
【点评】本题考查绝对值的定义，难点在于对这个式子的理解并用绝对值意义来解答．
13．有理数、在数轴上的位置如图所示，化简： ．
【考点】数轴；绝对值
【分析】由有理数与在数轴上的位置可得，，，进而得到，，，然后根据绝对值的代数意义：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数进行化简，去括号合并同类项后，即可得到所求式子的结果．
【解答】解：由数轴知，，，
，，，
原式，
故答案为：．
【点评】此题考查了整式的加减运算，绝对值的代数意义，以及数轴上点的大小比较，其中由与数轴上的位置，根据数轴上右边的数总比左边的数大，原点左边的数小于0，右边的数大于0，理解绝对值的意义是解答此题的关键．
14．（2023•青浦区二模）计算：．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；分数指数幂
【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
【点评】此题主要考查了分数指数幂的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
15．（2023•宝山区一模）计算：．
【考点】特殊角的三角函数值；实数的运算
【分析】分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.（2023•静安区二模）化简求值：，其中．
【考点】分式的化简求值；立方根
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式
．
把代入得
原式．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
（建议用时：20分钟）
1.已知，则的值是
A．6B．C．D．4
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】分别利用平方差公式和完全平方公式将括号去掉，再合并同类项并利用已知条件即可解答．
【解答】解：原式
．
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查运用平方差公式和完全平方公式进行整式的混合运算能力，比较基础，一定的牢牢掌握．
2．（2023•荆州）已知，则与最接近的整数为
A．2B．3C．4D．5
【考点】估算无理数的大小
【分析】根据平方差公式进行计算，然后估算即可．
【解答】解：，
而，
，
与最接近的整数是3，
故选：．
【点评】本题考查估算无理数的大小，平方差公式，解决本题的关键是掌握平方差公式．
3．（2023•重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是
A．39B．44C．49D．54
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据图形可以写出前几个图案需要的小木棒的数量，即可发现小木棒数量的变化规律，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，图案①有：根小木棒，
图案②有：根小木棒，
图案③有：根小木棒，
，
第个图案有：根小木棒，
第⑧个图案有：根小木棒，
故选：．
【点评】本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．（2023•重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为
A．14B．20C．23D．26
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．
【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，
第②个图案中有个圆圈，
第③个图案中有个圆圈，
第④个图案中有个圆圈，
，
则第⑦个图案中圆圈的个数为：，
故选：．
【点评】本题考查了规律型图形的变化类，找到变换规律是解题的关键．
5.已知一列数，，，，具有如下规律：，是正整数）．若，则的值为
A．1B．5C．7D．11
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】根据题干公式寻找规律．
【解答】解：由，是正整数）可得：
．
故选：．
【点评】考查数字变化规律，解题关键是根据题中规律拆项．
6.已知，则在0，，，，中可以取得最大值是
A．0B．C．D．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】令，则有，求出，即可求．
【解答】解：，，
当时，，
当时，，
当时，

成立；
令，
，
令，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查数字的变化规律，会用错位相减法求和，
灵活应用是解题的关键．
7.在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式，按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中，，；
第2次操作后得到整式中，，，；
第3次操作后
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是
A．B．C．D．
【考点】规律型：图形的变化类；整式的加减
【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为：，2023次后出现2025个整式，结合，从而可以得解．
【解答】解：第1次操作后得到的整式串，，；
第2次操作后得到的整式串，，，；
第3次操作后得到的整式串，，，，；
第4次操作后得到的整式串，，，，，；
第5次操作后得到的整式串，，，，，，；
第6次操作后得到的整式串，，，，，，，；
第7次操作后得到的整式串，，，，，，，，；
第 2023次操作后得到 的整式串，，，，，，，，；共2025个整式；
归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：，
，
第2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可．
这个和为．
故选：．
【点评】本题主要考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律，并能灵活运算是解决本题的关键．
8.（2022•南京模拟）已知实数，，，满足，，，且，则代数式的值等于 ．
【考点】分式的化简求值
【分析】根据，可以先将所求式子化简，然后根据，，，可以得到，，，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：，
，
，，，
，，，
原式，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
9．（2022•镇海区校级模拟）对正整数，记！若！！！，则的正因数中共有完全立方数为 10 个．
【考点】规律型：数字的变化类
【分析】先把分解成的形式，然后分别讨论，，，含有的立方数约数，最后求解．
【解答】解：！！！！！！，
一个完全立方数属于应该具有的形式为，，均为自然数），且，，，
故这样的有个，
故答案为10．
【点评】本题主要考查完全平方数的知识，解答此题的关键是把分解成的形式，难度较大．
10．（2021•洪泽区二模）将2021个边长为1的正方形按如图所示的方式排列，点，，，，，和点，，，，是正方形的顶点，连接，，，，，分别交正方形的边，，，，于点，，，，，则长为 ．
【考点】规律型：图形的变化类
【分析】因为图形是由边长为1的正方形组成，所以图象里有多个三角形相似，可以利用“字型”相似求解即可．
【解答】解：由题意可得△△，
，
正方形的边长都为1，
．
同理可得△△，
，
．
故答案为．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边的比相等是解题的关键．满分技巧
1．相反数
规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．绝对值
（1）熟记结论
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
3．倒数
方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【规律方法】求相反数、倒数的方法
求一个数的相反数
求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可
求一个数的倒数
求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一
求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置
注意：0没有倒数．
满分技巧
1．科学记数法—表示较大的数
规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
2．科学记数法—表示较小的数
【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
|x|≥10
a×10n
1≤|a|
＜10
整数的位数﹣1
|x|＜1
a×10﹣n
第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）
3．科学记数法与有效数字
（1）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字；
（2）用科学记数法a×10n（1≤a＜10，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
例如：近似数4.10×105的有效数字是4，1，0；把数还原为410000后，再看首数4.10的最后一位数字0所在的位数是千位，即精确到千位．
满分技巧
1实数的分类：
实数： 或 实数：
2．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
满分技巧
1．平方根
平方根和立方根的性质
（1）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
（2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
2．算术平方根
（1）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（2）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．
满分技巧
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
满分技巧
1．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
2．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an＝a m﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
5．多项式乘多项式
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
6．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
7．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
满分技巧
1、提公因式法具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
2、运用公式法因式分解方法：
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
解题心得：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、分组分解法因式分解方法：
（1）分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
（2）对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
4、十字相乘法因式分解方法：
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
5、实数范围内分解因式方法：
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解.
满分技巧
1．分式有意义的条件总结：
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
2．分式约分规律方法总结：
由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
3．分式的加减法方法归纳：
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
分式的化简求值规律方法：
（1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
（2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
5.零指数幂与负指数幂
（1）零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．
（2）负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
满分技巧
1．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
2．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
3．同类二次根式高分技巧：
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
满分技巧
（1）二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．