中考数学一轮复习：专题21.6 二次根式章末十大题型总结（培优篇）（华东师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题21.6 二次根式章末十大题型总结（培优篇）（华东师大版）（解析版），共22页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30631" 【题型1 二次根式相关概念辨析】 PAGEREF _Tc30631 \h 1
\l "_Tc5223" 【题型2 二次根式有意义的条件】 PAGEREF _Tc5223 \h 2
\l "_Tc17728" 【题型3 利用二次根式的性质化简】 PAGEREF _Tc17728 \h 4
\l "_Tc12702" 【题型4 同类二次根式的运用】 PAGEREF _Tc12702 \h 7
\l "_Tc29492" 【题型5 最简二次根式的运用】 PAGEREF _Tc29492 \h 8
\l "_Tc20495" 【题型6 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc20495 \h 10
\l "_Tc29597" 【题型7 求二次根式中的参数值】 PAGEREF _Tc29597 \h 13
\l "_Tc15814" 【题型8 化简并估算二次根式的值】 PAGEREF _Tc15814 \h 15
\l "_Tc22338" 【题型9 二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc22338 \h 16
\l "_Tc8086" 【题型10 二次根式的化简求值】 PAGEREF _Tc8086 \h 19
【题型1 二次根式相关概念辨析】
【例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）下列式子一定是二次根式是（ ）
A．−4B．πC．3aD．7
【答案】D
【分析】根据二次根式的概念进行判断即可．
【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意；
B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；
C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意；
D、7是二次根式，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）若204n是整数，则正整数n的最小值是 ．
【答案】51
【分析】根据204n=251n，且204n是整数，n是整数，即可得出结果．
【详解】解：∵204=4×51，
∴204=251，
∴204n=251n，
∵204n是整数，且n是整数，
∴n的最小值为：51，
故答案为：51．
【点睛】本题考查开方的有关知识，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·北京海淀·九年级海淀实验中学统考期中）已知12−n是正偶数，则实数n的最大值为（ ）
A．12B．11C．8D．3
【答案】C
【分析】如果实数n取最大值，那么12－n有最小值，又知12−n是正偶数，而最小的正偶数是2，则12−n＝2，从而得出结果．
【详解】解：当12−n等于最小的正偶数2时，
n取最大值,则n＝8，
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的有关知识，解题的关键是理解“12−n是正偶数”的含义．
【变式1-3】（2023·广东·九年级专题练习）下列各式①y; ②a+2; ③x2+5; ④3a;⑤y2+6y+9; ⑥3,其中一定是二次根式的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【详解】①y＜0时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；②a＜-2时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；③被开方数一定是正数，符合二次根式的定义；④a＜0时，被开方数是负数，不符合二次根式的定义；⑤被开方数一定是非负数，符合二次根式的定义；
故一定是二次根式的有3个．
故选B．
【题型2 二次根式有意义的条件】
【例2】（2023春·山东威海·九年级统考期末）在实数范围内，不论x取何值，下列各式始终有意义的是（ ）
A．2+xB．(x)2C．x2+1D．−3−x2
【答案】C
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，分别分析得出答案．
【详解】解：A、2+xx≥−2，故此选项不合题意；
B、(x)2x≥0，故此选项不合题意；
C、x2+1，不论x取何值，x2+1>0，此式始终有意义，故此选项符合题意；
D、−3−x2，不论x取何值，−3−x2<0，此式都无意义，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
【变式2-1】（2023春·广东惠州·九年级校考期中）已知x，y是实数，且y=x−4+4−x+3，求xy的平方根．
【答案】±8
【分析】根据x−4≥,4−x≥0得到x=4，回代得到y=3，计算xy=43=64，求平方根即可．
【详解】∵y=x−4+4−x+3，
∴x−4≥,4−x≥0，
∴x=4，
∴y=3，
∴xy=43=64，
∴±64=±8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根的计算，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·全国·九年级期中）已知2x+y−5+x−2y−5=a+b−2022×2022−a−b，
(1)求a+b的值；
(2)求2x+y2021的值．
【答案】(1)2022
(2)5
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得关于a、b的不等式组，解不等式组即可求得答案；
（2）把a+b的值代入所给式子，继而根据非负数的性质可得关于x、y的方程组，解方程组求解x、y的值代入所求式子进行计算即可．
【详解】（1）由题意{a+b−2022≥0①2022−a−b≥0②，
由①得：a+b≥2022，
由②得：a+b≤2022，
所以a+b=2022；
（2）∵由（1）可知，a+b=2022，
∴a+b−2022×2022−a−b=0，即：2x+y−5+x−2y−5=0，
∴2x+y−5=0x−2y−5=0，
解之，得：{x=3y=−1，
∴2x+y2011=2×3+(−1)2021=5．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的相关知识是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·上海浦东新·九年级校考期末）若关于x的方程4−x−a+1=0有实数解，则a的取值范围是 ．
【答案】a≥1
【分析】先将原方程变换为4−x=a−1，再根据算术平方根的非负性列不等式求解即可．
【详解】解：∵4−x−a+1=0，
∴4−x=a−1，
∵4−x≥0，
∴a−1≥0，即a≥1．
故答案为：a≥1．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根大于等于零成为解答本题的关键．
【题型3 利用二次根式的性质化简】
【例3】（2023春·山东威海·九年级统考期末）已知a>b，则aa−b−b−a2a的化简结果是 ．
【答案】−−a
【分析】先根据被开方数为非负数，得出a<0，再根据a>b得出b−a<0，a−b>0，最后根据二次根式的运算法则进行化简即可．
【详解】解：∵−b−a2a有意义，a>b
∴−b−a2a>0，b−a<0
∵b−a2>0,a≠0，
∴a<0，
∴aa−b−b−a2a=aa−b⋅−1a⋅b−a2
=aa−b⋅b−a⋅−1a
=aa−b⋅a−b⋅−1a
=a−1a
=−−a−1a
=−−a2−1a
=−−1a⋅−a2
=−−a．
故答案为：−−a．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和性质，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，以及二次根式的运算法则．
【变式3-1】（2023春·山东烟台·九年级统考期中）若xy<0，则x2y化简后的结果是（ ）
A．xyB．x−yC．−x−yD．−xy
【答案】D
【分析】根据x2y有意义可得y≥0，再结合x<0，化简x2y．
【详解】解：∵x2y有意义，
∴y≥0，
∵xy<0
∴x<0，
∴x2y =xy=−xy，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由x<0得到x=−x是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·山东威海·九年级统考期末）化简(3−a)2+(a−3)2的结果是（ ）
A．0B．−2a+6C．2a−6D．2a+6
【答案】B
【分析】由二次根式有意义，可知3−a≥0，从而可判断a−3≤0，化简后，相加，即可得出结果．
【详解】解：∵3−a≥0，
∴a≤3，
∴a−3≤0，
∴(3−a)2+(a−3)2=3−a+3−a=−2a+6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和化简，利用a2=a(a≥0)这一性质是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）代数式1−a2+3−a2的值为常数2，则a的取值范围是（ ）
A．a≥3B．a≤1C．1≤a≤3D．a=1或a=3
【答案】C
【分析】分a<1，1≤a≤3，a>3三种情况讨论即可．
【详解】解：1−a2+3−a2=1−a+3−a
当a<1时，原式=1−a+3−a=4−2a，
由题意得4−2a=2，
解得a=1，不符合题意，舍去；
当1≤a≤3时，原式=a−1+3−a=2，
当a>3时，原式=a−1+a−1=2a−4，
由题意得2a−4=2，
解得a=3，不符合题意，舍去；
综上，a的取值范围是1≤a≤3．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握a2=a是解题的关键．
【题型4 同类二次根式的运用】
【例4】（2023·河南驻马店·九年级统考期中）下列二次根式中，可以合并的是（ ）
A．aa和32a2B．2a和3a2
C．3aa和a21aD．3a4和2a2
【答案】C
【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．
【详解】A、aa与32a2不是同类二次根式，不能合并，故选项A错误；
B、2a与3a2不是同类二次根式，不能合并，故选项B错误；
C、∵a21a=aa，
∴3aa与a21a是同类二次根式，能合并，故选项C正确；
D、∵3a4=a23；2a2=a2；
∴3a4与2a2不是同类二次根式，不能合并，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
【变式4-1】（2023春·山东威海·九年级统考期末）若12与最简二次根式12a−1是同类二次根式，则a的值为 ．
【答案】4
【分析】先将12化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可进行解答．
【详解】解：12=23，
∵12与最简二次根式12a−1是同类二次根式，
∴a−1=3，解得：a=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．以及同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．
【变式4-2】（2023春·山东潍坊·九年级统考期末）下列二次根式，不能与12合并的是 （填写序号）
①48；②−24；③32；④18
【答案】②④
【分析】先将个二次化简为最简二次根式，然后找出与12被开方数不同的二次根式即可．
【详解】解：12=23，①48=43，②−24=−26；③32；④18=32．
不能与12合并的是−24和18．
故答案为：②④．
【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，将各二根式化简为最简二次是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·甘肃武威·九年级校考期中）若最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11能合并，则x2+y2＝ ．
【答案】5
【分析】先根据二次根式和同类二次根式的定义得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11能合并，
∴最简二次根式3x−102x+y−5和x−3y+11是同类二次根式，
∴3x−10=22x+y−5=x−3y+11，
∴x=4y=3，
∴x2+y2=32+42=25=5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，正确得到3x−10=22x+y−5=x−3y+11是解题的关键．
【题型5 最简二次根式的运用】
【例5】（2023春·宁夏固原·九年级校考期中）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．8xB．5a2bC．4a2+9b2D．y2
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、8x=22x，故A不符合题意；
B、5a2b=a5b，故B不符合题意；
C、4a2+9b2是最简二次根式，故C符合题意；
D、y2=2y2，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
【变式5-1】（2023春·河北邢台·九年级校考期中）在二次根式5，15，15，0.1中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：∵15=55，0.1=110=1010，
∴最简二次根式有：5、15，共2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次要满足被开方数的因数（因式）是整数（整式）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·湖北襄阳·九年级统考期中）24化简后与最简二次根式5a+1的被开方数相等，则a= .
【答案】5
【分析】本题先将24化简为最简二次根式，继而利用题干信息“被开方数相同”列方程求解．
【详解】24=26，其中被开方数为6；5a+1的被开方数为a+1 ，
故有：a+1=6，则a=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查最简二次根式的化简以及对二次根式概念的理解，需注意化简原则为被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式．
【变式5-3】（2023春·全国·九年级期中）已知A=22x+1，B=3x+3，C=10x+3y，其中A，B为最简二次根式，且A+B=C，则2y−x的值为 ．
【答案】68
【分析】根据题意得出2x+1=x+3，求出x=2，进而得出10x+3y=552=125，求出y=35，再代入求值即可．
【详解】∵A，B为最简二次根式，且A+B=C，
∴2x+1=x+3，
解得x=2，
∴A=25，B=35，A+B=55=C，
∴10x+3y=552=125，
解得y=35，
∴2y−x=2×35−2=68．
故答案为：68．
【点睛】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义得出x=2是解题的关键．
【题型6 比较二次根式的大小】
【例6】（2023春·上海闵行·九年级上海市民办文绮中学校考期中）比较大小：14−13 15−14．
【答案】＞
【分析】先求14+142，15+132，得到14+14>15+13，变形即可得到：14−13>15−14．
【详解】解：∵14+142=28+2196，15+132=28+2195，
∴14+14>15+13，
∴14−13>15−14．
故答案为：＞．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进行变形．
【变式6-1】（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）已知a=22 ，b=33 ，c=55 ，则下列大小关系正确的是( )
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
【答案】A
【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．
【详解】解:∵a=22=12，b=33=13，c=55=15，
又5>3>2，
∴a>b>c．
故选：A.
【点睛】此题考查了二次根式的大小比较，将根式进行适当的变形是解本题的关键．
【变式6-2】（2023春·全国·九年级期末）已知a=2022−2021，b=2021−2020，c=2020−2019，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a【答案】A
【分析】先把a,b,c化为12022+2021, 12021+2020, 12020+2019,再结合2022+2021>2021+2020>2020+2019,从而可得答案．
【详解】解：∵a=2022−2021=12022+2021,，
b=2021−2020=12021+2020,，
c=2020−2019=12020+2019,，
而2022+2021>2021+2020>2020+2019,
∴a故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．
【变式6-3】（2023春·湖北武汉·九年级武汉市粮道街中学校联考期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，
即：a−b>0，则a>ba−b=0，则a=ba−b<0，则a例如：比较19−2与2的大小．
∵19−2−2=19−4 又∵16<19<25 则4<19<5
∴19−2−2=19−4>0，∴19−2>2．
请根据上述方法解答以下问题：
(1)29的整数部分是________，7−29的小数部分是_______；
(2)比较2−23与−3的大小．
(3)已知a+ba−b=a2−b2，试用“比差法”比较100+98与299的大小．
【答案】(1)5；6−29
(2)2−23>−3；
(3)100+98<299．
【分析】（1）首先估算出5<29<6，得到29的整数部分是5；推出−6<−29<−5，得到1<7−29<2，据此即可求解；
（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；
（3）根据“比差法”比较得100+98−299=100−99−99−98再得到100−99100+99100+99−99−9899+9899+98，根据a+ba−b=a2−b2，化简比较即可求解．
【详解】（1）解：∵5<29<6，
∴29的整数部分是5；
∴−6<−29<−5，
∴1<7−29<2，
∴7−29的整数部分是1，则7−29的小数部分是7−29−1=6−29，
故答案为：5；6−29；
（2）解：2−23−−3=5−23=25−23>0，
∴2−23>−3；
（3）解：100+98−299=100−99−99−98
=100−99100+99100+99−99−9899+9899+98
=1100+99−199+98
∵100+99>99+98，
∴1100+99−199+98<0，
∴100+98<299．
【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．
【题型7 求二次根式中的参数值】
【例7】（2023春·河北邢台·九年级校考阶段练习）已知18x+2x2+2x=m，若x的值为整数，则m的值可能为（ ）
A．10B．8C．4D．−25
【答案】A
【分析】由18x+2x2+2x=m，可得32x+2x+2x=m，即52x=m，由x的值为整数，可知m是5的倍数，且为正值，然后进行作答即可．
【详解】解：∵18x+2x2+2x=m，
∴32x+2x+2x=m，即52x=m，
∵x的值为整数，
∴m是5的倍数，且为正值，
∴m的值可能为10，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
【变式7-1】（2023春·湖北十堰·九年级统考期中）已知18−m是整数，则自然数m的所有可能值的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．无数个
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，求出m的取值范围，再根据18−m是整数，即可得出答案．
【详解】解：∵18-m≥0，
∴m≤18，
∵m为自然数，
∴0≤m≤18，
∵18−m是整数，
∴当18-m=0时，m=18；
当18-m=1时，m=17；
当18-m=4时，m=14；
当18-m=9时，m=9；
当18-m=16时，m=2；
∴自然数m的所有可能值的个数为5个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【变式7-2】（2023春·江西宜春·九年级校联考阶段练习）若二次根式16−2a有意义，且x2+(a−2)x+25是一个完全平方式，则满足条件的a值为（ ）
A．±12B．±8C．12D．−8
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，可得a的取值范围，根据完全平方公式即可求解．
【详解】解：二次根式16−2a有意义，
∴16−2a≥0，即a≤8，
又∵x2+(a−2)x+25是一个完全平方式，即x2+(a−2)x+52或x2+(a−2)x+(−5)2，
∴a−2=2×5=10或a−2=2×(−5)=−10，
∴a=12或a=−8，且a≤8，
故选：D.
【点睛】本题主要考查二次根式有意义，完全平方公式的综合应用，掌握二次根式有意义的条件，完全平方公式的中一次项系数的确定方法是解题的关键.
【变式7-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）若a+43=m+n32，且a，m，n均为正整数，则a的值为 ．
【答案】13或7
【分析】先利用完全平方公式将m+n32展开，再等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．
【详解】解：∵a+43=(m+n3)2=m2+3n2+23mn，
∴a=m2+3n2，2mn=4，
∵m、n均为正整数，
∴m=1，n=2，或m=2，n=1，
当m=1，n=2时，a=12+3×22=13；
当m=2，n=1时，a=22+3×12=7，
故答案为：13或7．
【点睛】本题考查完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用是解答的关键．
【题型8 化简并估算二次根式的值】
【例8】（2023春·重庆梁平·九年级统考期末）估算2×12+6的值应在（ ）．
A．4和5之间B．5和6之间
C．6和7之间D．7和8之间．
【答案】D
【分析】首先把原式化成一个系数为1的二次根式，再分别与16，25，36，49，64比较，即可得到解答．
【详解】解：∵原式=24+6=26+6=36=54 且49<54<64，
∴49<54<64 即7<2×12+6<8，
故选D．
【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题关键．
【变式8-1】（2023春·福建厦门·九年级厦门一中校考期中）估计12−3的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】A
【分析】先合并同类二次根式，再用“夹逼法”求出范围即可．
【详解】解：12−3=23−3=3，
∵1<3<4，
∴1<3<2，
∴12−3的值应在1和2之间；
故选A．
【点睛】本题考查合并同类二次根式，无理数的估算．熟练掌握合并同类二次根式的法则以及无理数的估算方法，是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·重庆合川·九年级统考期末）估计27−6÷3的值应在（ ）
A．0到1之间B．1到2之间C．2到3之间D．3到4之间
【答案】B
【分析】先根据二次根式的除法法则以及加法法则化简算式，再估算出3−2的范围即可求解．
【详解】解：27−6÷3
=33÷3−6÷3
=3−2，
∵1<2<2，
∴1<3−2<2，
故选：B．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．
【变式8-3】（2023春·河北邢台·九年级校考期中）估计230−24⋅16的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】B
【详解】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.
【详解】230−24⋅16
=230×16−24×16，
=25−2，
而25=4×5=20，
4<20<5，
所以2<25−2<3，
所以估计230−24⋅16的值应在2和3之间，
故选B.
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.
【题型9 二次根式的混合运算】
【例9】（2023春·四川广安·九年级校考期中）计算：
(1)9145÷3235×12223；
(2)(6−1332−1224)×(−26)．
【答案】(1)223
(2)2
【分析】（1）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可；
（2）先根据乘法分配律展开，再计算二次根式的乘法最后计算加减即可．
【详解】（1）9145÷3235×12223
=9×23×12×145×53×83
=3881
=3×229
=223
（2）(6−1332−1224)×(−26)
=−6×26+23×32×6+24×6
=−12+2+12
=2
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
【变式9-1】（2023春·上海·九年级校考期末）计算：12+23−1−413−2+3117÷22×328．
【答案】53213−1
【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.
【详解】12+23−1−413−2+3117÷22×328
=23+(3+1)−433−2+(3×2)87×12×328
=23+3+1−433−2+673
=53213−1.
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
【变式9-2】（2023春·黑龙江绥化·九年级校考期中）计算．
(1)5−3+2 5−3−2；
(2)54−11 −411−7 −23+7；
【答案】(1)6−215
(2)1
【分析】（1）利用平方差公式、完全平方公式计算；
（2）先进行分母有理化，再进行加减运算．
【详解】（1）解：5−3+2 5−3−2
=5−32−22
=5−215+3−2
=6−215
（2）解：54−11 −411−7 −23+7
=54+1116−11−411+711−7−23−79−7
=4+11−11+7−3−7
=4+11−11−7−3+7
=1
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，涉及平方差公式、完全平方公式等，解题的关键是掌握二次根式分母有理化的方法．
【变式9-3】（2023春·黑龙江绥化·九年级校考期中）计算
(1)(a2nm−abmmn+nmmn)÷a2b2nm；
(2)(a+b−aba+b)÷(aab+b+bab−a−a+bab)（a≠b）．
【答案】(1)a2−ab+1a2b2
(2)−a+b
【分析】（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：(a2nm−abmmn+nmmn)÷a2b2nm
=(a2nm−abmmn+nmmn)⋅1a2b2mn
＝1b2nm⋅mn−1mabmn⋅mn+nma2b2mn⋅mn
＝1b2－1ab＋1a2b2
=a2−ab+1a2b2．
（2）解：(a+b−aba+b)÷(aab+b+bab−a−a+bab)
=a+ab+b−aba+b÷aa(a−b)−bb(a+b)−(a+b)(a−b)ab(a+b)(a−b)
=a+ba+b÷a2−aab−bab−b2−a2+b2ab(a+b)(a−b)
=a+ba+b÷−ab(a+b)ab(a+b)(a−b)
＝a+ba+b·ab(a−b)(a+b)−ab(a+b)
=−a+b．
【点睛】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．
【题型10 二次根式的化简求值】
【例10】（2023春·上海闵行·九年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：x−yx−y+x+y+2xyx+y，其中x=3,y=13.
【答案】2x+2y，833
【分析】首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．
【详解】解：原式=(x−y)(x+y)x−y+(x+y)2x+y
=x+y+x+y
=2x+2y
当x=3,y=13时，
原式=23+213
=23+233
=833
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解平方差公式和完全平方公式对分子进行变形是关键．
【变式10-1】（2023春·浙江宁波·九年级校考期末）已知x+1x=3，且0【答案】5+12．
【分析】利用题目给的x+1x求出x−1x，再把它们相乘得到x−1x，再对原式进行变形凑出x−1x的形式进行计算．
【详解】∵x+1x=3，
∴x+1x2=x+2+1x=32=9，
∴x+1x=7，
∴x−1x2=x−2+1x=7−2=5，
∵0∴x−1x=−5，
∴x+1xx−1x=x−1x=−35，
∴原式=6x+9−1x=69−35=23−5
=6+254=5+25+14=(5+1)24
=5+12．
故答案是：5+12．
【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．
【变式10-2】（2023春·广西南宁·九年级统考期中）先化简，再求值4525x+9x9−2x2⋅1x3，其中x=12.
【答案】5x,522
【分析】先把二次根式为最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值即可．
【详解】解：4525x+9x9−2x2⋅1x3
=45×5x+9×13x−2x2⋅1x2⋅x
=4x+3x−2x
=5x
把x=12代入5x，得522
∴当x=12时，原式的值为522
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，掌握把二次根式为最简二次根式是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·湖北武汉·九年级华师一附中初中部校考期中）已知x＝12020−2019，则x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020的值为（ ）
A．0B．1C．2019D．2020
【答案】C
【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．
【详解】∵x=12020−2019=2020+2019，
∴x6−22019x5−x4+x3−22020x2+2x−2020，
=x5x−22019−x4+x2x−22020+2x−2020，
=x52020+2019−22019−x4+x22020+2019−22020+2x−2020，
=x52020−2019−x4+x22019−2020+2x−2020，
=x4x2020−2019−1+x22019−2020+2x−2020，
=x2020+20192019−2020+2x−2020
=−x+2x−2020，
=x−2020，
=2019，
故选：C
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，对所求式子进行变形，反复代入x的值即可解决.