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中考数学一轮复习：专题12.2 整式的乘除法【十一大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版）
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这是一份中考数学一轮复习：专题12.2 整式的乘除法【十一大题型】（举一反三）（华东师大版）（解析版），共32页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10537" 【题型1 利用整式乘法求值】 PAGEREF _Tc10537 \h 1
\l "_Tc4449" 【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】 PAGEREF _Tc4449 \h 2
\l "_Tc604" 【题型3 利用整式乘法解决错看问题】 PAGEREF _Tc604 \h 5
\l "_Tc25712" 【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】 PAGEREF _Tc25712 \h 7
\l "_Tc18774" 【题型5 整式乘法的计算】 PAGEREF _Tc18774 \h 8
\l "_Tc15023" 【题型6 整式乘法的应用】 PAGEREF _Tc15023 \h 9
\l "_Tc565" 【题型7 整式除法的运算与求值】 PAGEREF _Tc565 \h 12
\l "_Tc9704" 【题型8 整式除法的应用】 PAGEREF _Tc9704 \h 16
\l "_Tc9521" 【题型9 整式乘法中的新定义问题】 PAGEREF _Tc9521 \h 18
\l "_Tc7327" 【题型10 整式乘法中的规律探究】 PAGEREF _Tc7327 \h 22
\l "_Tc31018" 【题型11 整式乘法与面积的综合探究】 PAGEREF _Tc31018 \h 26
【知识点 整式的乘法】
【题型1 利用整式乘法求值】
【例1】（2023春·江苏无锡·八年级期中）若(x−1)(x+b)=x2+ax−2，则a+b的值为 ．
【答案】3
【分析】由多项式乘多项式计算得x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，根据对应系数相等即可得出答案．
【详解】解：∵（x﹣1）（x＋b）＝x2＋bx﹣x﹣b＝x2＋（b﹣1）x﹣b，
∴x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，
∴b﹣1＝a，﹣b＝﹣2，
解得：b＝2，a＝1，
∴a＋b＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．
【变式1-1】（2023·八年级单元测试）已知x2+x+1=0，则x3−x2−x+7=
【答案】9.
【分析】观察发现，对x3−x2−x+7的前三项可以提出公因式x，即可发现解答思路.
【详解】解：∵x2+x+1=0，
∴x3−x2−x+7=x3+x2+x−2x2−2x−2+9=xx2+x+1−2x2+x+1+9=9
【点睛】本题考查了多项式乘法的逆用，解题的关键在于寻找所求多项式与已知等式的关系.
【变式1-2】（2023春·上海松江·八年级校考阶段练习）已知：x2+3x=10，则代数式(x−2)2+x(x+10)−5= ．
【答案】19
【分析】先把代数式(x−2)2+x(x+10)−5化简得2(x2+3x)−1，再把已知整式x2+3x=10整体代入其中即可求解.
【详解】原式=x2−4x+4+x2+10x−5=2x2+6x−1=2(x2+3x)−1
把x2+3x=10整体代入上式：2(x2+3x)−1=2×10−1=19
故答案为19.
【点睛】本题主要考查整体代入的数学思想.
【变式1-3】（2023·八年级单元测试）如果a、b、m均为整数，且x+a⋅x+b=x2+mx+15，则所有的m的和为 .
【答案】0
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出m的值.
【详解】∵(x+a)⋅(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+15
∴a+b=m,ab=15，
∴{a=1b=15或{a=−1b=−15或{a=15b=1或{a=−15b=−1或{a=3b=5或{a=−3b=−5或{a=5b=3或{a=−5b=−3，
∴m取值有16，-16，8，-8.
则所有的m的和为0.
故答案为0.
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.
【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】
【例2】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m、n的值．
【答案】m=-4，n=-12.
【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，那么原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系数为0，由此可以得到4+m=0，-3m+n=0，解方程组即可以求出m、n．
【详解】解：原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n
=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．
∵不含x3和x2项，
∴4+m=0，-3m+n=0，
解得m=-4，n=-12.
【点睛】考查了多项式乘多项式，关键是根据多项式相乘法则以及多项式的项的定义解答．
【变式2-1】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果（y+5）（y+m）的乘积中不含y的一次项．则m的值为（ ）
A．-5B．5C．0D．3
【答案】A
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含y的一次项，确定出m的值即可．
【详解】解：原式=y2+（m+5）y+5m，
由结果不含y的一次项，得到m+5=0，
解得：m=-5，
故选：A．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-2】（2023春·四川资阳·八年级统考期末）已知a为任意实数，有多项式M=x2+3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（ ）．
A．－1B．0C．−23D．1
【答案】A
【分析】根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．
【详解】解：∵MN=x2+3ax+6x+3
=x3+3ax2+6x+3x2+9ax+18
=x3+3a+3x2+9a+6x+18
∴A=MN=x3+3a+3x2+9a+6x+18
∴3a+3=0
∴a=-1
故选A．
【点睛】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．
【变式2-3】（2023春·八年级课时练习）若x2+3mx−13x2−3x+n的积中不含有x与x3项．
(1)直接写出m、n的值，即m=___________，n= ___________；
(2)求代数式−m2n3+9mn2+3m2014n2016的值．
【答案】(1)1，−13
(2)9427
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x与x3项可以求解m、n的值．
（2）将m、n的值代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：x2+3mx−13x2−3x+n
=x4−3x3+nx2+3mx3−9mx2+3mnx−13x2+x−13n
=x4+(3m−3)x3+(n−9m−13)x2+(3mn+1)x−13n，
∵积中不含有x与x3项，
∴3m−3=0，3mn+1=0，
解得m=1，n=−13．
故答案为：1，−13．
（2）解：当m=1，n=−13时，
−m2n3+9mn2+3m2014n2016
=−12×−133+9×1×−132+32014×−132016
=133+(−3)2+3×−132014×−132
=127+9+19
=9427．
【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则．
【题型3 利用整式乘法解决错看问题】
【例3】（2023春·四川内江·八年级校考阶段练习）在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：2y+a3y+b．王建由于把第一个多项式中的“+a”抄成了“−a”，得到的结果为6y2+5y−10；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为2y2−7y+10．
（1）求正确的a，b的值；
（2）计算这道乘法题的正确结果．
【答案】（1）a=−3b=−2；（2）6y2−13y+6
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可．
【详解】（1）根据王建的解法得：
2y−a3y+b=6y2+2by−3ay−ab=6y2+2b−3ay−ab=6y2+5y−10，
∴2b−3a=5①
根据李楠的解法的：
2y+ay+b=2y2+2by+ay+ab=2y2+2b+ay+ab=2y2−7y+10，
∴2b+a=−7②
联立①②得方程组解得：a=−3b=−2；
（2）这道题的正确解法是：2y−33y−2=6y2−4y−9y+6=6y2−13y+6．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
【变式3-1】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）
A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2
C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3
【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），
∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）
＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2
＝3x2﹣7xy+2y2，
则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）
＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3
＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．
故选：C．
【变式3-2】（2023春•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）
【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．
【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，
∴6+a＝8，
∴a＝2；
∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，
∴b﹣a＝1，
∴b＝3，
∴（x+a）（a+b）
＝（x+2）（x+3）
＝x2+5x+6．
【变式3-3】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．
【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，
故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．
故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，
∴−2a+b=−7a+b=2，
解得：a=3b=−1，
∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；
（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．
【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】
【例4】（2023春•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．+21xyB．﹣21xyC．﹣3D．﹣10xy
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．
故选：A．
【变式4-1】（2023春•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A．9x2B．﹣9x2C．9xD．﹣9x
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．
【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，
故选：B．
【变式4-2】（2023春•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．
【分析】将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值．
【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，
∴m﹣1＝﹣6，n＝6，
∴m＝﹣5，
∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．
【变式4-3】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3 ﹣3x3y2 ﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣3x3y3 ．
【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，
∴横线上应填写﹣3x3y2，
故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2．
【题型5 整式乘法的计算】
【例5】（2023春·重庆渝中·八年级校考期中）（1）计算：x⋅2x+x(x−2)；（2）(m+1)(m−5)−m(m−6)
【答案】（1）3x2−2x；（2）2m-5
【分析】（1）利用整式的混合运算法则求解即可．
（2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算方法计算即可．
【详解】（1）x⋅2x+x(x−2)=2x2+x2−2x=3x2−2x.
（2）（m+1）（m-5）-m（m-6）
=m2-5m+m-5-m2+6m
=2m-5；
【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
【变式5-1】（2023春·上海·八年级期中）−12x2y2⋅45x2−8xy+13
【答案】15x6y2−2x5y3+112x4y2
【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式法则进行计算即可．
【详解】解：原式=14x4y2⋅(45x2−8xy+13)
=15x6y2−2x5y3+112x4y2．
【点睛】本题考查整式的混合运算，能灵活运用知识点进行化简是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）先化简，再求值：xx+2+1+x1−x，其中x＝－2．
【答案】2x＋1，-3
【分析】原式根据单项式乘以多项式运算法则以及平方差公式去括号，合并同类项；再代入求值即可．
【详解】解：xx+2+1+x1−x
=x2+2x+1−x2
＝2x＋1，
当x＝－2时，原式=2×−2+1=−3．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·八年级课时练习）计算：
(1)(a－1)(a2＋a＋1)；
(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；
(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2).
【答案】(1) a3－1；(2) 3x2＋3x－21；(3)6x3－7x2－16x＋12.
【分析】（1）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；
（3）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果.
【详解】(1)原式＝a·a2＋a·a＋a·1－a2－a－1＝a3－1.
(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.
(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)
＝(6x2＋5x－6)(x－2)
＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12
＝6x3－7x2－16x＋12.
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键.
【题型6 整式乘法的应用】
【例6】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米,如果长方形的长和宽各减少3厘米．新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米（用含的代数式表示）？
【答案】3a+3b-9
【详解】分析：根据题意表示出原来长方形与新长方形的面积，相减即可得到结果；
详解：根据题意得，
原长方形的面积为：ab平方厘米，
新长方形的面积为：(a−2)(b−2)平方厘米，
则新长方形的面积比原长方形的面积减少了：ab−(a−3)(b−3)=ab−ab+3a+3b−9=3a+3b−9(平方厘米).
点睛：本题考查了长方形的面积和整式的混合运算，长方形的面积=长×宽，整式的混合运算是先算乘方，再算乘除，后算加减.
【变式6-1】（2023春·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）用长为24米的木条，做成一个“目”字形的窗框（如图所示，窗框外沿ABCD是长方形），若窗框的横条长度都为x米．
（1）用代数式表示长方形ABCD的面积．
（2）当x=3时，求出长方形ABCD的面积．
【答案】（1）−2x2+12x；（2）18m2．
【分析】（1）根据题意“目”字形的窗框，长有4段，总长为4AD＝4x米，则AB＝24−4x2米，再根据长方形面积计算公式即可得出答案；
（2）把x＝3代入（1）中关于面积的代数式中即可得出答案．
【详解】（1）根据题意得AB=24−4x2=12−2x，
∴S长方形ABCD=(12−2x)⋅x=−2x2+12x．
（2）当x=3时，−2x2+12x=−2×9+12×3
=−18+36
=18m2．
答：长方形ABCD面积为18m2．
【点睛】本题主要考查了列代数及代数式的求值，根据题意列出合理的代数式是解决本题的关键．
【变式6-2】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，用一张高为30cm，宽为20cm的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm.
（1）请用x的代数式表示中间打印部分的面积.
（2）当x=2时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？
【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.
【分析】（1）分别用含x的代数式表示出中间打印部分的高和宽，利用长方形面积公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代数式，即可得答案.
【详解】（1）∵左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm，
∴中间打印部分的高为30-2(x+1)=28-2x,宽为20-2x，
∴中间打印部分的面积为(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.
（2）由（1）得中间打印部分的面积为4x2-96x+560，
∴当x=2时，中间打印部分的面积为4×22-96×2+560=384(cm2).
答：当x=2时，中间打印部分的面积是384cm2.
【点睛】本题考查了列代数式，正确理解题意，根据图示表示出中间打印部分的高和宽是解题关键.
【变式6-3】（2023春·广东茂名·八年级校联考阶段练习）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
(1)那么第二次按键后，A区显示的结果为______，B区显示的结果为______．
(2)计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝1时，代数式乘积的值．
【答案】(1)A区显示的结果为-2a+25；B区显示的结果为6a-16
(2)−12a2+182a−400；代数式乘积的值为−230
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后将a＝1代入求值即可．
【详解】（1）第二次按键后，A区显示的结果为25−2a ，B区显示的结果为6a−16
故答案为：25−2a，6a−16
（2）（-2a+25）（6a-16）
=−12a2+182a−400
当a＝1时
原式=﹣12+182﹣400=−230
【点睛】本题考查了列代数式、多项式乘以多项式，准确理解题意，并熟练掌握运算法则是解题的关键．
【知识点2 整式的除法】
【题型7 整式除法的运算与求值】
【例7】（2023春·河北承德·八年级统考期末）下列计算27a2÷13a3÷9a2的顺序不正确的是（ ）
A．27a2÷(13a3÷9a2)B．(27a2÷13a3)÷9a2
C．(27÷13÷9)a2−3−2D．(27a2÷9a2)÷13a
【答案】A
【分析】本题是单项式的连除运算，根据运算顺序、除法的性质及单项式除以单项式的法则即可求解．
【详解】解：A、∵27a2÷(13a3÷9a2)=27a2÷127a=729a，27a2÷13a3÷9a2=81a−1÷9a2=9a−3，
∴27a2÷(13a3÷9a2)≠27a2÷13a3÷9a2，故A项错误；
B、根据运算顺序连续除以两个数即从左往右依次计算，可知27a2÷13a3÷9a2=(27a2÷13a3)÷9a2，故B项正确；
C、根据单项式除以单项式的法则，可知27a2÷13a3÷9a2=(27÷13÷9)a2−3−2，故C项正确；
D、根据运算顺序及除法的性质，可知27a2÷13a3÷9a2=(27a2÷9a2)÷13a，故D项正确．
故选∶A．
【点睛】本题主要考查了连除的运算顺序及单项式除以单项式的法则．熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）已知4m2−7m+6=0，求代数式3m2−2m÷m−(2m−1)2的值．
【答案】3
【分析】首先求出4m2−7m=−6，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式−4m2+7m−3，代入即可得出答案．
【详解】解：∵ 4m2−7m+6=0
∴ 4m2−7m=−6
∴ 3m2−2m÷m−(2m−1)2
=3m−2−4m2−4m+1
=3m−2−4m2+4m−1
=−4m2+7m−3
=−4m2−7m−3
=6−3
=3．
【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出4m2−7m=−6，正确化简代数式是解题的关键．
【变式7-2】（2023·四川·石室佳兴外国语学校八年级阶段练习）已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____．
【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可．
【解答】解：由题意可得：
A=(2x2−4x−1)−(x−1)÷2x
=(2x2−5x)÷2x
=x−52
故答案为：x−52
【变式7-3】（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法.多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如图1：
∴278÷12=232，
∴x3+2x2−3÷x−1=x2+3x+3．
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.若余式为零，说明被除式能被除式整除．
例如：x3+2x2−3÷x−1=x2+3x+3余式为0，∴x3+2x−3能被x−1整除．
根据阅读材料，请回答下列问题：
(1)多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为______ ；
(2)已知x3+2x2−ax−10能被x−2整除，则a= ______ ；
(3)如图2，有2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边长为a+8b的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)x+3
(2)3
(3)能，另一边长为2a+5b
【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；
（2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；
（3）根据题意，得到63张卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式计算，根据2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，即可得到答案．
【详解】（1）解：列竖式如下：
x+2x+3x2+2x3x+63x+60
∴多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为x+3，
故答案为：x+3；
（2）列竖式如下：
x−2x2+4x+8−ax3−2x24x2−ax−104x2−8x8−ax−108−ax−28−a28−a−10
∵x3+2x2−ax−10能被x−2整除，
∴2（8−a）−10=0，
解得：a=3，
故答案为：3；
（3）解：能，理由如下：
根据题意，A卡片的面积是a2，B卡片的面积是ab，C卡片的面积是b2，
∴2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，
列竖式如下：
a+8b2a+5b2a2+16ab5ab+40b25ab+40b20
∵余式为0，
∴2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，商式为2a+5b，
∴可以拼成与原来总面积相等且一边长为（a+8b）的长方形，另一边长为（2a+5b）．
【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式=除式×商式+余式．
【题型8 整式除法的应用】
【例8】（2023春·八年级统考期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的12，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．
【答案】5:8:12
【分析】设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为12x，白黄瓜的种植面积为2y，青黄瓜的种植面积为3y，水果黄瓜的种植面积为4y，据此求出水果黄瓜的产量是8xy，进而得到水果黄瓜的亩产量为2x，再根据种植面积的比值即可得到答案．
【详解】解：设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为12x，白黄瓜的种植面积为2y，青黄瓜的种植面积为3y，水果黄瓜的种植面积为4y，
∴青黄瓜的产量为3xy，白黄瓜的产量为xy，
∴水果黄瓜的产量是23xy+xy=8xy，
∴水果黄瓜的亩产量为8xy4y=2x，
∴当种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为5×12x:4x:3×2x=5:8:12，
故答案为：5:8:12．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，单项式除以单项式，正确根据题意求出水果黄瓜的亩产量为2x是解题的关键．
【变式8-1】（2023春•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a、2a、32a，小长方体的长、宽、高分别为：2a、a、a2；配件②是一个正方体，其棱长为a
（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？
（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？
【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a的正方体体积，即可得出配件②的体积；
（2）根据题意列出算式1000a3÷（2×172a3+a3）×30，求出即可．
【解答】解：（1）生产配件①需要的原材料的体积是：52a•2a•32a+2a•a•a2=172a3；
生产配件②需要的原材料的体积是：a•a•a＝a3；
（2）根据题意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30=50003（元），
答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利50003元．
【变式8-2】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A作被除式，娜娜报的整式B作除式，要求商式必须为﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）
（1）若丽丽报的是x3y﹣6xy2，则娜娜应报什么整式？
（2）若娜娜也报x3y﹣6xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．
【分析】根据A÷B＝﹣3xy，可知：
（1）B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=−13x2+2y；
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；
【解答】解：（1）A＝x3y﹣6xy2，
∴B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=−13x2+2y；
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3
【变式8-3】（2023·八年级单元测试）甲、乙两个同学从A地到B地，甲步行的速度为3千米/小时，乙步行的速度是5千米/小时，两人骑车的速度都是15千米/小时.现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时从A地出发，走了一段路程后，乙放下自行车步行，甲到乙放自行车的地方处改骑自行车.后面不断这样交替进行，两人恰好同时到达B地.那么，甲走全程的平均速度是多少？
【答案】457千米/小时．
【分析】根据题意甲、乙从A地到B地，即甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程；甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程．故首先设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．再根据路程=速度×时间，且甲、乙两人行走过程中经过的时间相同，那么可列出方程x3+y15=x15+y5，解方程可得y用x表示表达式．再根据平均速度=总路程总时间，在求解过程中约去x，即可甲走完全程的平均速度．
【详解】解：设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．
则根据题意，得x3+y15=x15+y5，
解得y=2x．
故甲的平均速度为(x+y)÷x3+y15=457（千米/时）；
答：甲走完全程的平均速度457（千米/时）．
【点睛】考查了一元一次方程的应用．本题解决的关键是根据题意画出路线草图，明白甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程，甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程；再就是求解过程中能够约去未知数．
【题型9 整式乘法中的新定义问题】
【例9】（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作S1、S2、S3，定义：S=S1+S2+S32；S′1=S−S1；S′2=S−S2；S′3=S−S3；Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1，经研究发现，Fs=4S2．如：三角形三条边分别为13、14、15，则S1=169，S2=196，S3=225，S=295，S′1=126；S′2=99；S3′=70；Fs=28224，所以S2=28224÷4=7056=842，故三角形的面积S=84．
(1)若S1=3，S2=4，S3=5，则S=_______．Fs=_______．
(2)当S′1=x−3；S′2=x+3；S′3=5−x时．
①求Fs的表达式；
②若S1+S2+S3=20，求三角形的面积．
【答案】(1)6，11
(2)①−x2+10x−9；②三角形的面积S=2．
【分析】（1）根据定义计算即可求解；
（2）①根据Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1，利用整式乘法运算法则计算即可求解；
②先求得S的值，再根据定义分别求得S1、S2、S3的值，根据S1+S2+S3=20，求得x=5，代入①中即可求解.
【详解】（1）解：∵S1=3，S2=4，S3=5，
∴S=S1+S2+S32=3+4+52=6，
S′1=S−S1=6−3=3；S′2=S−S2=6−4=2；S′3=S−S3=6−5=1；
∴Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1=3×2+2×1+1×3=11；
故答案为：6，11；
（2）解：①∵S′1=x−3；S′2=x+3；S′3=5−x，
∴Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1
=(x−3)(x+3)+(x+3)(5−x)+(5−x)(x−3)
=x2−9+5x−x2+15−3x+5x−15−x2+3x
=−x2+10x−9；
②∵S1+S2+S3=20，
∴S=S1+S2+S32=10，
∴S1′=S−S1=10−S1=x−3，故S1=10−(x−3)=13−x；
S2′=S−S2=10−S2=x+3，故S2=10−(x+3)=7−x；
S3′=S−S3=10−S3=5−x，故S3=10−(5−x)=5+x；
∴S1+S2+S3=13−x+7−x+5+x=25−x=20，
∴x=5，
∴FS=−x2+10x−9=−52+10×5−9=16，
∴S2=Fs÷4=16÷4=4，
故三角形的面积S=2．
【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，掌握新定义的内容，整式乘法的运算法则是解题的关键.
【变式9-1】（2023春·浙江衢州·八年级统考期中）定义新运算abcd=ad+3b−2c，如1537=1×7+3×5−2×3=7+15−6=16．
（1）计算23−14的值；
（2）化简：x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y．
【答案】（1）19；（2）−y2+13xy−2．
【分析】（1）根据定义的新运算，把相关数值代入计算即可；
（2）把相关式子代入，进行整式运算即可．
【详解】（1）23−14=2×4+3×3−2×(−1)
=19．
（2）x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y=(x+y)(−3x−y)+37xy−x2−22xy−3x2+1
=−3x2−4xy−y2+21xy−3x2−4xy+6x2−2
=−y2+13xy−2．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、整式的混合运算，正确理解定义的新运算的含义，根据数（式）位置确定a、b、c、d的值是解题关键．
【变式9-2】（2023春·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）给出如下定义：我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对(a,b,c)的特征多项式．
(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为__________；
(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,−4,4)的特征多项式的乘积；
(3)有序实数对(2,1,1)的特征多项式与有序实数对(a,−2,4)的特征多项式的乘积不含x2项，求a的值；
【答案】(1)（3，2，-1）；
(2)x4−8x2+16；
(3)-6
【分析】（1）根据定义得到a，b，c的值即可得到答案；
（2）根据特征多项式的定义得到两个多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则计算可得答案；
（3）根据定义得到特征多项式，计算乘积，根据特征多项式的乘积不含x2项得到x2项的系数等于0，由此求出a．
【详解】（1）解：由定义得a=3，b=2，c=-1，
∴二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为（3，2，-1），
故答案为：（3，2，-1）；
（2）有序实数对(1,4,4)的特征多项式为x2+4x+4，
有序实数对(1,−4,4)的特征多项式为x2−4x+4，
∴（x2+4x+4）（x2−4x+4）
=x+22x−22
=x+2x−22
=x2−42
=x4−8x2+16；
（3）有序实数对(2,1,1)的特征多项式为2x2+x+1，
有序实数对(a,−2,4)的特征多项式为ax2−2x+4，
∴（2x2+x+1）（ax2−2x+4）=2ax4+a−4x3+6+ax2+2x+4，
∵乘积不含x2项，
∴6+a=0，
解得a=-6．
【点睛】此题考查了新定义，多项式乘以多项式的计算法则，以及多项式不含项的应用，正确理解新定义得到多项式是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）阅读下列材料，解答下列问题：定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2＝−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：(2−i)+(5+3i)＝(2+5)+(−1+3)i＝7+2i；
(1+i)×(2−i)＝1×2−i+2×i−i2＝2+(−1+2)i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝________，i4＝________；
（2）计算：（2＋3i）×（3－4i）；
（3）计算：i＋i2＋i3＋…＋i2019．
【答案】(1) -i，1；(2) 18+i；(3)-1.
【分析】（1）把i2=-1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=-1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．
【详解】解：（1）由题意可知，i3=i2×i=-1×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，
故答案为-i，1；
（2）（2＋3i）×（3－4i）=6-8i+9 i -12i2=6+i-12×（-1）=18+i；
（3）由i=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i4•i=i，i6=i4×i2=1×（-1）=-1，i7=i4×i3=1×（-i）=-i，i8=i4×i4=1×1=1…
且i+i2+i3+i4=i+（-1）+（-i）+1=0，
同理：i5+i6+i7+i8=0，可以看出每隔4位相加都等于0，且第五项第于第一项，第六项等于第二项…
∴i+i2+i3+…+i2019=504×0+i2017+i2018+ i2019 =i-1- i=-1．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，能读懂题意是解此题的关键．
【题型10 整式乘法中的规律探究】
【例10】（2023春·广东梅州·八年级统考期末）若正整数a，b的和为10，则称a，b“互补”，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字“互补”（如24与26，52与58，简称它们“首同尾补”）；那么这两个数的积是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的十位数字与比这个十位数字大1的数之积．
例如：24×26=624（积中的6=2×2+1，24=4×6）
52×58=3016（积中的30=5×5+1，16=2×8）
(1)直接写出下列各式运算结果：95×95=______，81×89=______；
(2)用ab和ac分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c=10，
①依据题意，两位数ab表示为______，两位数ac表示为______；
②上述速算规律可用等式表示为__________________；
③试说明②中等式的正确性．
【答案】(1)9025，7209
(2)①10a+b，10a+c；②ab×ac=100aa+1+bc；③见解析
【分析】（1）先判断95，95与81，89都是“首同尾补”数，再根据已知的方法求解即可；
（2）①根据两位数的表示方法解答即可；
②根据已知的方法结合整数的乘法解答即可；
③根据多项式的乘法结合已知b+c=10即可解答．
【详解】（1）解：∵95，95与81，89都是“首同尾补”数，
∴95×95=9025，81×89=7209；
故答案为：9025，7209；
（2）①依据题意，两位数ab表示为10a+b，两位数ac表示为10a+c；
故答案为：10a+b，10a+c；
②上述速算规律可用等式表示为ab×ac=100aa+1+bc；
故答案为：ab×ac=100aa+1+bc；
③∵b+c=10，
∴ab×ac=10a+b10a+c
=100a2+10ac+10ab+bc
=100a2+10ab+c+bc
=100a2+100a+bc
∵100aa+1+bc=100a2+100a+bc，
∴ab×ac=100aa+1+bc．
【点睛】本题考查了整式的运算以及规律应用，正确理解题意、熟练掌握多项式的乘法法则是关键．
【变式10-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律．
(1)计算后填空：x+2x+3=_________；
x−1x+4=_________；
x−3x−2=_________；
(2)归纳猜想后填空：x+ax+b=x2+______x+______
(3)运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果：x−2x+n=______．
【答案】(1)x2+5x+6；x2+3x−4；x2−5x+6
(2)a+b，ab
(3)x2+n−2x−2n
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可；
（2）根据（1）的结果得出规律即可；
（3）根据x+ax+b=x2+a+bx+ab得出即可．
【详解】（1）(x+2)(x+3)=x2+5x+6
(x−1)(x+4)=x2+3x−4
(x−3)(x−2)=x2−5x+6
故答案为：x2+5x+6；x2+3x−4；x2−5x+6．
（2）x+ax+b=x2+a+bx+ab
故答案为：a+b，ab．
（3）x−2x+n=x2+n−2x−2n
故答案为：x2+n−2x−2n．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力．
【变式10-2】（2023春·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）观察下面的几个算式，发现规律，并解决下列问题．
①16×14=224=1×1+1×100+6×4；
②23×27=621=2×2+1×100+3×7；
③32×38=1216=3×3+1×100+2×8；
…
(1)按照上面的规律，依照上面的书写格式，直接写出81×89的结果______．
(2)试说明上面所发现的规律（提示：可设这两个两位数分别是10n+a，10n+b，其中n，a，b均为1～9的整数，且a+b=10）．
【答案】(1)7209
(2)10n+a10n+6=100nn+1+ab
【分析】（1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是10；则右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出81×89=7209；
（2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明即可．
【详解】（1）解：81×89=8×(8+1)×100+1×9=7209，
故答案为：7209；
（2）解：设这两个两位数分别是10n+a，10n+b．其中a+b=10
10n+a10n+b
=10n2+a+b10n+ab
=10n2+10n×10+ab
=100n2+100n+ab
=100nn+1+ab
【点睛】此题主要考查运算规律探索与运用，认真观察算式中存在的规律，并结合它们灵活应用是解题的关键，在证明中，整式的运算法则是基础．
【变式10-3】（2023春·江西吉安·八年级统考期末）八年级某班数学小组研究系列算式：12×21，23×32，34×43．．．．，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律：
12×21=121×12+1+10；
23×32=121×22+2+10；
34×43=121×32+3+10；
……
(1)根据以上规律，直接写出78×87的相应变形算式；
(2)请用含n的代数式直接表示10n+n+1与10n+10+n之积的计算结果，并通过计算验证结果的正确性．
【答案】(1)78×87=121×72+7+10
(2)10n+n+1⋅10n+10+n=121×n2+n+10，验证见解析
【分析】（1）根据规律写出等式即可；
（2）先根据规律写出结果，再利用多项式与多项式的乘法法则验证即可．
【详解】（1）根据题中规律，得78×87=121×72+7+10；
（2）10n+n+1⋅10n+10+n=121×n2+n+10；
验证如下：
10n+n+1⋅10n+10+n
=11n+111n+10
=121n2+121n+10
=121×n2+n+10．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则是解答本题的关键．
【题型11 整式乘法与面积的综合探究】
【例11】（2023春·湖南株洲·八年级统考期中）从一个边长为a的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）．
(1)求：新长方形的周长（用含有a，b的式子表示），
(2)求：美术字“5”的图案的面积（用含有a，b的式子表示）．
(3)若a=8，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长和美术字“5”的图案的面积．
【答案】(1)4a−8b
(2)4ab−3b2
(3)52
【分析】（1）根据图1和图2得出：新长方形的长为a−b，宽为a−3b，然后再进行计算．
（2）用正方形的面积减去新长方形的面积，列式计算即可；
（3）根据小长方形的宽为1，可知新长方形的宽为2，所以a−3b=2，再把a=8代入求出b，然后代入（1）（2）所求的周长与面积代数式，计算即可．
【详解】（1）解：∵新长方形的长为a−b，宽为a−3b，
∴新长方形的周长=2a−b+a−3b=4a−8b；
（2）解：a2−a−ba−3b
=a2−a2−4ab+3b2
=a2−a2+4ab−3b2
=4ab−3b2；
（3）解：∵小长方形的宽为1，可知新长方形的宽为2，
∴a−3b=2
∵a=8
∴b=2
∴新长方形的周长=4a−8b=4×8−8×2=16，
美术字“5”的图案的面积=4ab−3b2=4×8×2−3×22=52．
【点睛】本题考查了整式运算的应用，熟练掌握列代数式和代数式的求值是解题的关键，注意数形结合题意的应用．
【变式11-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）将两张大小完全一样的长方形纸片和另两张大小完全一样的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形ABCD内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．设大正方形边长PD=x，小正方形边长GH=y，则图中阴影部分的面积 ．
【答案】2xy
【分析】根据题意表示出AM、BQ、PD、CN的长，根据三角形面积公式进行计算，再计算中间小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：∵四边形MEQB和四边形PDNG是大小完全一样的正方形，
∴PD=PG=ME=BQ=x，PD⊥PG，BQ⊥EQ，
∵四边形EHGF是正方形，
∴EH=GH=GF=EF=y
∵PD=x，GH=y，
∴PH=PG−GH=x−y=AM，
∵四边形APHM和四边形FNCQ是两张大小完全一样的长方形纸片，
∴AM⊥MH，CN⊥FN，CN=AM=x−y，
∴S阴影=S△AEH+S△EFB+S△FGC+S△GHD+S正方形EHGF
=12⋅y⋅x−y+12⋅y⋅x+12⋅y⋅x−y+12⋅y⋅x+y2
=2xy，
故答案为：2xy．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，三角形的面积计算公式，解题的关键是根据字母表示各图形的线段长．
【变式11-2】（2023春·湖北·八年级统考期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别am和bm，小长方形的相邻两边长分别为xm和ym．
(1)如图1，若a=45，b=60，求x和y的值；
(2)如图2，
①若小长方形的周长为4m，求大长方形的周长；
②若y比x大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？
【答案】(1)x=10y=25
(2)①12m；②18m2
【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为a=45，b=60，列出方程组计算可求小长方形的相邻两边长．
（2）①由小长方形的周长为4m，求得x+y=2，列式求得大长方形的周长，再整体代入计算即可求解；
②依题意得(2x+y)(x+2y)−3xy−6xy，去括号，整理，再将y−x=3整体代入即可求解．
【详解】（1）解：依据题意得，x+2y=602x+y=45，
解得x=10y=25，
所以x和y的值分别为10和25；
（2）解：①由题意得，2x+y=4，所以x+y=2，
所以大方形的周长为2(2x+y+x+2y)=6(x+y)=12m．
②因为y−x=3，
所以(2x+y)(x+2y)−3xy−6xy
=2x2+5xy+2y2−3xy−6xy
=2x2−4xy+2y2
=2(y−x)2 =18m2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式11-3】（2023春·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期中）7张如图1的长为a，宽为bb>0的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形ABCD内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．
(1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含a,b的代数式表示），长方形ABCD的面积为____________（用含a,b的代数式表示）
(2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，CP=x.
①用含a,b,x的代数式表示AE；
②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S始终保持不变，那么a,b必须满足什么条件?
【答案】(1)a2−12b2；a2+7ab+12b2
(2)①AE=x+4b−a；②a=3b
【分析】（1）右下角的图形为边长为a的正方形，左上角图形为长方形，其长和宽分别为4b，3b，分别计算面积作差即可，找到长方形ABCD的长和宽分别为a+4b，a+3b，计算面积即可；
（2）①根据AE+DE=BP+CP进行求解即可；②分别表示出右下角和左上角的长方形面积，进而把S表示出来，令含x的项的系数为0，即可得到S与BC长度无关．
【详解】（1）解：如图2所示，右下角的图形为边长为a的正方形，面积为a2．
左上角图形为长方形，其长和宽分别为4b，3b，面积为4b⋅3b=12b2 ．
∴右下角与左上角的阴影部分的面积的差为a2−12b2．
∵矩形ABCD的长和宽分别为a+4b，a+3b，
∴矩形ABCD的面积为a+4ba+3b=a2+7ab+12b2
故答案为：a2−12b2；a2+7ab+12b2；
（2）解：①由题意得，AE+DE=BP+CP，
∴AE+a=x+4b，
∴AE=x+4b−a；
②图3中，右下角的长方形长和宽分别为x，a，则面积为xa．
左上角长方形长和宽分别为x+4b−a，3b，则面积为3bx+4b−a．
∴S=xa−3bx+4b−a
整理得到，S=xa−3bx−12b2+3ab=xa−3b−12b2+3ab
当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a−3b=0时成立，即a=3b．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式在几何图形中的应用，解题关键在于找准各部分图形的边长与边长之间的关系，准确表示出面积的代数式，需要注意的是，长方形的对边与对边长度相等，可互相等量代换求得其他线段的长度．
单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10537" 【题型1 利用整式乘法求值】 PAGEREF _Tc10537 \h 1
\l "_Tc4449" 【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】 PAGEREF _Tc4449 \h 2
\l "_Tc604" 【题型3 利用整式乘法解决错看问题】 PAGEREF _Tc604 \h 5
\l "_Tc25712" 【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】 PAGEREF _Tc25712 \h 7
\l "_Tc18774" 【题型5 整式乘法的计算】 PAGEREF _Tc18774 \h 8
\l "_Tc15023" 【题型6 整式乘法的应用】 PAGEREF _Tc15023 \h 9
\l "_Tc565" 【题型7 整式除法的运算与求值】 PAGEREF _Tc565 \h 12
\l "_Tc9704" 【题型8 整式除法的应用】 PAGEREF _Tc9704 \h 16
\l "_Tc9521" 【题型9 整式乘法中的新定义问题】 PAGEREF _Tc9521 \h 18
\l "_Tc7327" 【题型10 整式乘法中的规律探究】 PAGEREF _Tc7327 \h 22
\l "_Tc31018" 【题型11 整式乘法与面积的综合探究】 PAGEREF _Tc31018 \h 26
【知识点 整式的乘法】
【题型1 利用整式乘法求值】
【例1】（2023春·江苏无锡·八年级期中）若(x−1)(x+b)=x2+ax−2，则a+b的值为 ．
【答案】3
【分析】由多项式乘多项式计算得x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，根据对应系数相等即可得出答案．
【详解】解：∵（x﹣1）（x＋b）＝x2＋bx﹣x﹣b＝x2＋（b﹣1）x﹣b，
∴x2＋（b﹣1）x﹣b＝x2＋ax﹣2，
∴b﹣1＝a，﹣b＝﹣2，
解得：b＝2，a＝1，
∴a＋b＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的法则进行计算是解决本题的关键．
【变式1-1】（2023·八年级单元测试）已知x2+x+1=0，则x3−x2−x+7=
【答案】9.
【分析】观察发现，对x3−x2−x+7的前三项可以提出公因式x，即可发现解答思路.
【详解】解：∵x2+x+1=0，
∴x3−x2−x+7=x3+x2+x−2x2−2x−2+9=xx2+x+1−2x2+x+1+9=9
【点睛】本题考查了多项式乘法的逆用，解题的关键在于寻找所求多项式与已知等式的关系.
【变式1-2】（2023春·上海松江·八年级校考阶段练习）已知：x2+3x=10，则代数式(x−2)2+x(x+10)−5= ．
【答案】19
【分析】先把代数式(x−2)2+x(x+10)−5化简得2(x2+3x)−1，再把已知整式x2+3x=10整体代入其中即可求解.
【详解】原式=x2−4x+4+x2+10x−5=2x2+6x−1=2(x2+3x)−1
把x2+3x=10整体代入上式：2(x2+3x)−1=2×10−1=19
故答案为19.
【点睛】本题主要考查整体代入的数学思想.
【变式1-3】（2023·八年级单元测试）如果a、b、m均为整数，且x+a⋅x+b=x2+mx+15，则所有的m的和为 .
【答案】0
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件即可求出m的值.
【详解】∵(x+a)⋅(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+15
∴a+b=m,ab=15，
∴{a=1b=15或{a=−1b=−15或{a=15b=1或{a=−15b=−1或{a=3b=5或{a=−3b=−5或{a=5b=3或{a=−5b=−3，
∴m取值有16，-16，8，-8.
则所有的m的和为0.
故答案为0.
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.
【题型2 利用整式乘法解决不含某项问题】
【例2】（2023春·浙江·八年级专题练习）已知将（x3+mx+n）（x2-3x+4）展开的结果不含x3和x2项，求m、n的值．
【答案】m=-4，n=-12.
【分析】先利用多项式乘法法则把多项式展开，那么原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由于展开后不含x3和x2项，则含x3和x2项的系数为0，由此可以得到4+m=0，-3m+n=0，解方程组即可以求出m、n．
【详解】解：原式=x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n
=x5-3x4+（4+m）x3+（-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．
∵不含x3和x2项，
∴4+m=0，-3m+n=0，
解得m=-4，n=-12.
【点睛】考查了多项式乘多项式，关键是根据多项式相乘法则以及多项式的项的定义解答．
【变式2-1】（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）如果（y+5）（y+m）的乘积中不含y的一次项．则m的值为（ ）
A．-5B．5C．0D．3
【答案】A
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含y的一次项，确定出m的值即可．
【详解】解：原式=y2+（m+5）y+5m，
由结果不含y的一次项，得到m+5=0，
解得：m=-5，
故选：A．
【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2-2】（2023春·四川资阳·八年级统考期末）已知a为任意实数，有多项式M=x2+3ax+6，N=x+3，且MN=A，当多项式A中不含2次项时，a的值为（ ）．
A．－1B．0C．−23D．1
【答案】A
【分析】根据题意列出整式相乘的式子，再计算多项式乘多项式，最后进行合并同类项，令二次项的系数等于0即可．
【详解】解：∵MN=x2+3ax+6x+3
=x3+3ax2+6x+3x2+9ax+18
=x3+3a+3x2+9a+6x+18
∴A=MN=x3+3a+3x2+9a+6x+18
∴3a+3=0
∴a=-1
故选A．
【点睛】本题考查的是整式的乘法—多项式乘多项式，正确进行多项式的乘法是解答此题的关键．
【变式2-3】（2023春·八年级课时练习）若x2+3mx−13x2−3x+n的积中不含有x与x3项．
(1)直接写出m、n的值，即m=___________，n= ___________；
(2)求代数式−m2n3+9mn2+3m2014n2016的值．
【答案】(1)1，−13
(2)9427
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有x与x3项可以求解m、n的值．
（2）将m、n的值代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：x2+3mx−13x2−3x+n
=x4−3x3+nx2+3mx3−9mx2+3mnx−13x2+x−13n
=x4+(3m−3)x3+(n−9m−13)x2+(3mn+1)x−13n，
∵积中不含有x与x3项，
∴3m−3=0，3mn+1=0，
解得m=1，n=−13．
故答案为：1，−13．
（2）解：当m=1，n=−13时，
−m2n3+9mn2+3m2014n2016
=−12×−133+9×1×−132+32014×−132016
=133+(−3)2+3×−132014×−132
=127+9+19
=9427．
【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则．
【题型3 利用整式乘法解决错看问题】
【例3】（2023春·四川内江·八年级校考阶段练习）在数学课堂上，老师写出一道整式乘法题：2y+a3y+b．王建由于把第一个多项式中的“+a”抄成了“−a”，得到的结果为6y2+5y−10；李楠由于漏抄了第二个多项式中y的系数，得到的结果为2y2−7y+10．
（1）求正确的a，b的值；
（2）计算这道乘法题的正确结果．
【答案】（1）a=−3b=−2；（2）6y2−13y+6
【分析】（1）先根据多项式乘以多项式展开，合并同类项，得出两个二元一次方程，组成方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则求出答案即可．
【详解】（1）根据王建的解法得：
2y−a3y+b=6y2+2by−3ay−ab=6y2+2b−3ay−ab=6y2+5y−10，
∴2b−3a=5①
根据李楠的解法的：
2y+ay+b=2y2+2by+ay+ab=2y2+2b+ay+ab=2y2−7y+10，
∴2b+a=−7②
联立①②得方程组解得：a=−3b=−2；
（2）这道题的正确解法是：2y−33y−2=6y2−4y−9y+6=6y2−13y+6．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于a、b的方程组是解此题的关键．
【变式3-1】（2023春•潍坊期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），则正确的结果是（ ）
A．3x2﹣7xy+2y2B．3x2+7xy+2y2
C．3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3D．3x3﹣13x2y+16xy2+4y3
【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以（x﹣2y）错抄成除以（x﹣2y），结果得到（3x﹣y），
∴原式＝（3x﹣y）（x﹣2y）
＝3x2﹣6xy﹣xy+2y2
＝3x2﹣7xy+2y2，
则正确计算结果为：（3x2﹣7xy+2y2）（x﹣2y）
＝3x3﹣7x2y+2xy2﹣6x2y+14xy2﹣4y3
＝3x3﹣13x2y+16xy2﹣4y3．
故选：C．
【变式3-2】（2023春•云县期末）在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数）
【分析】根据甲的做法求出a的值，根据乙的做法求出b的值，代入原式中计算即可．
【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12，
∴6+a＝8，
∴a＝2；
∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6，
∴b﹣a＝1，
∴b＝3，
∴（x+a）（a+b）
＝（x+2）（x+3）
＝x2+5x+6．
【变式3-3】（2023春•河源期末）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．
（1）求（﹣2a+b）（a+b）的值；
（2）若整式中的a的符号不抄错，且a＝3，请计算这道题的正确结果．
【分析】（1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出a，b的值；
（2）将a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：（1）甲抄错了a的符号的计算结果为：（x﹣a）（2x+b）＝2x2+（﹣2a+b）x﹣ab＝2x2﹣7x+3，
故：对应的系数相等，﹣2a+b＝﹣7，ab＝﹣3；
乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+2x﹣3．
故：对应的系数相等，a+b＝2，ab＝﹣3，
∴−2a+b=−7a+b=2，
解得：a=3b=−1，
∴（﹣2a+b）（a+b）＝[（﹣2）×3﹣1]（3﹣1）＝﹣7×2＝﹣14；
（2）由（1）可知，b＝﹣1正确的计算结果：（x+3）（2x﹣1）＝2x2+5x﹣3．
【题型4 利用整式乘法解决遮挡问题】
【例4】（2023春•河南月考）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A．+21xyB．﹣21xyC．﹣3D．﹣10xy
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【解答】解：﹣7xy（2y﹣x﹣3）＝﹣14xy2+7x2y+21xy．
故选：A．
【变式4-1】（2023春•天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写（ ）
A．9x2B．﹣9x2C．9xD．﹣9x
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案．
【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x，
故选：B．
【变式4-2】（2023春•岳麓区校级期中）已知x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n），其中m、n是被墨水弄脏了看不清楚的两处，请求出m2+6mn+9n2的值．
【分析】将（x﹣1）（x2+mx+n）展开求得m和n的值后代入代数式即可求得其值．
【解答】解：∵x3﹣6x2+11x﹣6＝（x﹣1）（x2+mx+n）＝x3+（m﹣1）x2+（n﹣m）x﹣n，
∴m﹣1＝﹣6，n＝6，
∴m＝﹣5，
∴m2+6mn+9n2＝（﹣5）2+6×（﹣5）×6+9×62＝25﹣180+324＝169．
【变式4-3】（2023春•江都区期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3 ﹣3x3y2 ﹣3x2y，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ﹣3x3y3 ．
【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵3x2y（2xy2﹣xy﹣1）＝6x3y3﹣3x3y2﹣3x2y，
∴横线上应填写﹣3x3y2，
故答案为：﹣3x3y2，﹣3x3y2．
【题型5 整式乘法的计算】
【例5】（2023春·重庆渝中·八年级校考期中）（1）计算：x⋅2x+x(x−2)；（2）(m+1)(m−5)−m(m−6)
【答案】（1）3x2−2x；（2）2m-5
【分析】（1）利用整式的混合运算法则求解即可．
（2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的运算方法计算即可．
【详解】（1）x⋅2x+x(x−2)=2x2+x2−2x=3x2−2x.
（2）（m+1）（m-5）-m（m-6）
=m2-5m+m-5-m2+6m
=2m-5；
【点睛】此题考查整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
【变式5-1】（2023春·上海·八年级期中）−12x2y2⋅45x2−8xy+13
【答案】15x6y2−2x5y3+112x4y2
【分析】先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式法则进行计算即可．
【详解】解：原式=14x4y2⋅(45x2−8xy+13)
=15x6y2−2x5y3+112x4y2．
【点睛】本题考查整式的混合运算，能灵活运用知识点进行化简是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）先化简，再求值：xx+2+1+x1−x，其中x＝－2．
【答案】2x＋1，-3
【分析】原式根据单项式乘以多项式运算法则以及平方差公式去括号，合并同类项；再代入求值即可．
【详解】解：xx+2+1+x1−x
=x2+2x+1−x2
＝2x＋1，
当x＝－2时，原式=2×−2+1=−3．
【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·八年级课时练习）计算：
(1)(a－1)(a2＋a＋1)；
(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；
(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2).
【答案】(1) a3－1；(2) 3x2＋3x－21；(3)6x3－7x2－16x＋12.
【分析】（1）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果；
（3）利用多项式乘以多项式，去括号合并即可得到结果.
【详解】(1)原式＝a·a2＋a·a＋a·1－a2－a－1＝a3－1.
(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.
(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)
＝(6x2＋5x－6)(x－2)
＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12
＝6x3－7x2－16x＋12.
【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键.
【题型6 整式乘法的应用】
【例6】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米,如果长方形的长和宽各减少3厘米．新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米（用含的代数式表示）？
【答案】3a+3b-9
【详解】分析：根据题意表示出原来长方形与新长方形的面积，相减即可得到结果；
详解：根据题意得，
原长方形的面积为：ab平方厘米，
新长方形的面积为：(a−2)(b−2)平方厘米，
则新长方形的面积比原长方形的面积减少了：ab−(a−3)(b−3)=ab−ab+3a+3b−9=3a+3b−9(平方厘米).
点睛：本题考查了长方形的面积和整式的混合运算，长方形的面积=长×宽，整式的混合运算是先算乘方，再算乘除，后算加减.
【变式6-1】（2023春·上海静安·八年级新中初级中学校考期末）用长为24米的木条，做成一个“目”字形的窗框（如图所示，窗框外沿ABCD是长方形），若窗框的横条长度都为x米．
（1）用代数式表示长方形ABCD的面积．
（2）当x=3时，求出长方形ABCD的面积．
【答案】（1）−2x2+12x；（2）18m2．
【分析】（1）根据题意“目”字形的窗框，长有4段，总长为4AD＝4x米，则AB＝24−4x2米，再根据长方形面积计算公式即可得出答案；
（2）把x＝3代入（1）中关于面积的代数式中即可得出答案．
【详解】（1）根据题意得AB=24−4x2=12−2x，
∴S长方形ABCD=(12−2x)⋅x=−2x2+12x．
（2）当x=3时，−2x2+12x=−2×9+12×3
=−18+36
=18m2．
答：长方形ABCD面积为18m2．
【点睛】本题主要考查了列代数及代数式的求值，根据题意列出合理的代数式是解决本题的关键．
【变式6-2】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，用一张高为30cm，宽为20cm的长方形打印纸打印文档，如果左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm.
（1）请用x的代数式表示中间打印部分的面积.
（2）当x=2时，中间打印部分的面积是多少平方厘米？
【答案】（1）4x2-96x+560；（2）384cm2.
【分析】（1）分别用含x的代数式表示出中间打印部分的高和宽，利用长方形面积公式即可得答案；（2）把x=2代入（1）中代数式，即可得答案.
【详解】（1）∵左右的页边距都为xcm，上下页边距比左右页边距多1cm，
∴中间打印部分的高为30-2(x+1)=28-2x,宽为20-2x，
∴中间打印部分的面积为(28-2x)(20-2x)=4x2-96x+560.
（2）由（1）得中间打印部分的面积为4x2-96x+560，
∴当x=2时，中间打印部分的面积为4×22-96×2+560=384(cm2).
答：当x=2时，中间打印部分的面积是384cm2.
【点睛】本题考查了列代数式，正确理解题意，根据图示表示出中间打印部分的高和宽是解题关键.
【变式6-3】（2023春·广东茂名·八年级校联考阶段练习）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．
例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．
(1)那么第二次按键后，A区显示的结果为______，B区显示的结果为______．
(2)计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝1时，代数式乘积的值．
【答案】(1)A区显示的结果为-2a+25；B区显示的结果为6a-16
(2)−12a2+182a−400；代数式乘积的值为−230
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后将a＝1代入求值即可．
【详解】（1）第二次按键后，A区显示的结果为25−2a ，B区显示的结果为6a−16
故答案为：25−2a，6a−16
（2）（-2a+25）（6a-16）
=−12a2+182a−400
当a＝1时
原式=﹣12+182﹣400=−230
【点睛】本题考查了列代数式、多项式乘以多项式，准确理解题意，并熟练掌握运算法则是解题的关键．
【知识点2 整式的除法】
【题型7 整式除法的运算与求值】
【例7】（2023春·河北承德·八年级统考期末）下列计算27a2÷13a3÷9a2的顺序不正确的是（ ）
A．27a2÷(13a3÷9a2)B．(27a2÷13a3)÷9a2
C．(27÷13÷9)a2−3−2D．(27a2÷9a2)÷13a
【答案】A
【分析】本题是单项式的连除运算，根据运算顺序、除法的性质及单项式除以单项式的法则即可求解．
【详解】解：A、∵27a2÷(13a3÷9a2)=27a2÷127a=729a，27a2÷13a3÷9a2=81a−1÷9a2=9a−3，
∴27a2÷(13a3÷9a2)≠27a2÷13a3÷9a2，故A项错误；
B、根据运算顺序连续除以两个数即从左往右依次计算，可知27a2÷13a3÷9a2=(27a2÷13a3)÷9a2，故B项正确；
C、根据单项式除以单项式的法则，可知27a2÷13a3÷9a2=(27÷13÷9)a2−3−2，故C项正确；
D、根据运算顺序及除法的性质，可知27a2÷13a3÷9a2=(27a2÷9a2)÷13a，故D项正确．
故选∶A．
【点睛】本题主要考查了连除的运算顺序及单项式除以单项式的法则．熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）已知4m2−7m+6=0，求代数式3m2−2m÷m−(2m−1)2的值．
【答案】3
【分析】首先求出4m2−7m=−6，再根据完全平方公式，多项式除以单项式化简代数式得出原式−4m2+7m−3，代入即可得出答案．
【详解】解：∵ 4m2−7m+6=0
∴ 4m2−7m=−6
∴ 3m2−2m÷m−(2m−1)2
=3m−2−4m2−4m+1
=3m−2−4m2+4m−1
=−4m2+7m−3
=−4m2−7m−3
=6−3
=3．
【点睛】本题考查代数式求值，完全平方公式，多项式除以单项式，得出4m2−7m=−6，正确化简代数式是解题的关键．
【变式7-2】（2023·四川·石室佳兴外国语学校八年级阶段练习）已知多项式2x2﹣4x﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，则这个多项式A＝_____．
【分析】根据“除式=（被除式-余式）÷商”列式，再利用多项式除单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，计算即可．
【解答】解：由题意可得：
A=(2x2−4x−1)−(x−1)÷2x
=(2x2−5x)÷2x
=x−52
故答案为：x−52
【变式7-3】（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法.多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算．
如图1：
∴278÷12=232，
∴x3+2x2−3÷x−1=x2+3x+3．
即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下：
①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）．
②用竖式进行运算．
③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.若余式为零，说明被除式能被除式整除．
例如：x3+2x2−3÷x−1=x2+3x+3余式为0，∴x3+2x−3能被x−1整除．
根据阅读材料，请回答下列问题：
(1)多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为______ ；
(2)已知x3+2x2−ax−10能被x−2整除，则a= ______ ；
(3)如图2，有2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片，能否将这63片拼成一个与原来总面积相等且一边长为a+8b的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由．
【答案】(1)x+3
(2)3
(3)能，另一边长为2a+5b
【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案；
（2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案；
（3）根据题意，得到63张卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，列竖式计算，根据2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，即可得到答案．
【详解】（1）解：列竖式如下：
x+2x+3x2+2x3x+63x+60
∴多项式x2+5x+6除以多项式x+2，所得的商式为x+3，
故答案为：x+3；
（2）列竖式如下：
x−2x2+4x+8−ax3−2x24x2−ax−104x2−8x8−ax−108−ax−28−a28−a−10
∵x3+2x2−ax−10能被x−2整除，
∴2（8−a）−10=0，
解得：a=3，
故答案为：3；
（3）解：能，理由如下：
根据题意，A卡片的面积是a2，B卡片的面积是ab，C卡片的面积是b2，
∴2张A卡片，21张B卡片，40张C卡片的总面积为2a2+21ab+40b2，
列竖式如下：
a+8b2a+5b2a2+16ab5ab+40b25ab+40b20
∵余式为0，
∴2a2+21ab+40b2能被a+8b整除，商式为2a+5b，
∴可以拼成与原来总面积相等且一边长为（a+8b）的长方形，另一边长为（2a+5b）．
【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式=除式×商式+余式．
【题型8 整式除法的应用】
【例8】（2023春·八年级统考期末）某农场种植了蔬菜和水果，现在还有两片空地，农场计划在这两片空地上种植水果黄瓜、白黄瓜和青黄瓜．已知不同品种的黄瓜亩产量不同，其中白黄瓜的亩产量是青黄瓜的12，如果在空地种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为2：3：4，则水果黄瓜的产量是白黄瓜与青黄瓜产量之和的2倍；如果在空地上种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为 ．
【答案】5:8:12
【分析】设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为12x，白黄瓜的种植面积为2y，青黄瓜的种植面积为3y，水果黄瓜的种植面积为4y，据此求出水果黄瓜的产量是8xy，进而得到水果黄瓜的亩产量为2x，再根据种植面积的比值即可得到答案．
【详解】解：设青黄瓜的亩产量为x，则白黄瓜的亩产量为12x，白黄瓜的种植面积为2y，青黄瓜的种植面积为3y，水果黄瓜的种植面积为4y，
∴青黄瓜的产量为3xy，白黄瓜的产量为xy，
∴水果黄瓜的产量是23xy+xy=8xy，
∴水果黄瓜的亩产量为8xy4y=2x，
∴当种植白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的面积之比为5：4：3，则白黄瓜、青黄瓜和水果黄瓜的总产量之比为5×12x:4x:3×2x=5:8:12，
故答案为：5:8:12．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，单项式除以单项式，正确根据题意求出水果黄瓜的亩产量为2x是解题的关键．
【变式8-1】（2023春•渝中区校级期中）某玩具加工厂要制造如图所示的两种形状的玩具配件，其中，配件①是由大、小两个长方体构成的，大长方体的长、宽、高分别为：52a、2a、32a，小长方体的长、宽、高分别为：2a、a、a2；配件②是一个正方体，其棱长为a
（1）生产配件①与配件②分别需要多长体积的原材料（不计损耗）？
（2）若两个配件①与一个配件②可以用于加工一个玩具，每个玩具在市场销售后可获利30元，则1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利多少元？
【分析】（1）先算出两个长方体的体积，再相加，即可得出配件①的体积，求出棱长为a的正方体体积，即可得出配件②的体积；
（2）根据题意列出算式1000a3÷（2×172a3+a3）×30，求出即可．
【解答】解：（1）生产配件①需要的原材料的体积是：52a•2a•32a+2a•a•a2=172a3；
生产配件②需要的原材料的体积是：a•a•a＝a3；
（2）根据题意得：1000a3÷（2×172a3+a3）×30=50003（元），
答：1000a3体积的这种原材料可使该厂最多获利50003元．
【变式8-2】（2023春•蜀山区期中）爱动脑筋的丽丽与娜娜在做数学小游戏，两人各报一个整式，丽丽报的整式A作被除式，娜娜报的整式B作除式，要求商式必须为﹣3xy（即A÷B＝﹣3xy）
（1）若丽丽报的是x3y﹣6xy2，则娜娜应报什么整式？
（2）若娜娜也报x3y﹣6xy2，则丽丽能报一个整式吗？若能，则是个什么整式？说说你的理由．
【分析】根据A÷B＝﹣3xy，可知：
（1）B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=−13x2+2y；
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3；
【解答】解：（1）A＝x3y﹣6xy2，
∴B＝（x3y﹣6xy2）÷（﹣3xy）=−13x2+2y；
（2）A＝（x3y﹣6xy2）（﹣3xy）＝﹣3x4y2+18x2y3
【变式8-3】（2023·八年级单元测试）甲、乙两个同学从A地到B地，甲步行的速度为3千米/小时，乙步行的速度是5千米/小时，两人骑车的速度都是15千米/小时.现在甲先步行，乙先骑自行车，两人同时从A地出发，走了一段路程后，乙放下自行车步行，甲到乙放自行车的地方处改骑自行车.后面不断这样交替进行，两人恰好同时到达B地.那么，甲走全程的平均速度是多少？
【答案】457千米/小时．
【分析】根据题意甲、乙从A地到B地，即甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程；甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程．故首先设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．再根据路程=速度×时间，且甲、乙两人行走过程中经过的时间相同，那么可列出方程x3+y15=x15+y5，解方程可得y用x表示表达式．再根据平均速度=总路程总时间，在求解过程中约去x，即可甲走完全程的平均速度．
【详解】解：设甲步行共走x千米，骑车共走y千米，则乙骑车共行x千米，步行共行y千米．
则根据题意，得x3+y15=x15+y5，
解得y=2x．
故甲的平均速度为(x+y)÷x3+y15=457（千米/时）；
答：甲走完全程的平均速度457（千米/时）．
【点睛】考查了一元一次方程的应用．本题解决的关键是根据题意画出路线草图，明白甲步行共走的路程恰好等于乙骑车共走的路程，甲骑车共走的路程恰好等于乙步行共走的路程；再就是求解过程中能够约去未知数．
【题型9 整式乘法中的新定义问题】
【例9】（2023春·江苏宿迁·八年级统考期中）海伦是古希腊数学家，约公元62年左右活跃于亚历山大，年青时海伦酷爱数学，他的代表作《量度论》主要是研究面积、体积和几何分比问题，其中一段探究三角形面积的方法翻译如下：如图，设三角形面积为S，以三角形各边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别记作S1、S2、S3，定义：S=S1+S2+S32；S′1=S−S1；S′2=S−S2；S′3=S−S3；Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1，经研究发现，Fs=4S2．如：三角形三条边分别为13、14、15，则S1=169，S2=196，S3=225，S=295，S′1=126；S′2=99；S3′=70；Fs=28224，所以S2=28224÷4=7056=842，故三角形的面积S=84．
(1)若S1=3，S2=4，S3=5，则S=_______．Fs=_______．
(2)当S′1=x−3；S′2=x+3；S′3=5−x时．
①求Fs的表达式；
②若S1+S2+S3=20，求三角形的面积．
【答案】(1)6，11
(2)①−x2+10x−9；②三角形的面积S=2．
【分析】（1）根据定义计算即可求解；
（2）①根据Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1，利用整式乘法运算法则计算即可求解；
②先求得S的值，再根据定义分别求得S1、S2、S3的值，根据S1+S2+S3=20，求得x=5，代入①中即可求解.
【详解】（1）解：∵S1=3，S2=4，S3=5，
∴S=S1+S2+S32=3+4+52=6，
S′1=S−S1=6−3=3；S′2=S−S2=6−4=2；S′3=S−S3=6−5=1；
∴Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1=3×2+2×1+1×3=11；
故答案为：6，11；
（2）解：①∵S′1=x−3；S′2=x+3；S′3=5−x，
∴Fs=S′1×S′2+S′2×S′3+S′3×S′1
=(x−3)(x+3)+(x+3)(5−x)+(5−x)(x−3)
=x2−9+5x−x2+15−3x+5x−15−x2+3x
=−x2+10x−9；
②∵S1+S2+S3=20，
∴S=S1+S2+S32=10，
∴S1′=S−S1=10−S1=x−3，故S1=10−(x−3)=13−x；
S2′=S−S2=10−S2=x+3，故S2=10−(x+3)=7−x；
S3′=S−S3=10−S3=5−x，故S3=10−(5−x)=5+x；
∴S1+S2+S3=13−x+7−x+5+x=25−x=20，
∴x=5，
∴FS=−x2+10x−9=−52+10×5−9=16，
∴S2=Fs÷4=16÷4=4，
故三角形的面积S=2．
【点睛】本题考查了整式的乘法的应用，掌握新定义的内容，整式乘法的运算法则是解题的关键.
【变式9-1】（2023春·浙江衢州·八年级统考期中）定义新运算abcd=ad+3b−2c，如1537=1×7+3×5−2×3=7+15−6=16．
（1）计算23−14的值；
（2）化简：x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y．
【答案】（1）19；（2）−y2+13xy−2．
【分析】（1）根据定义的新运算，把相关数值代入计算即可；
（2）把相关式子代入，进行整式运算即可．
【详解】（1）23−14=2×4+3×3−2×(−1)
=19．
（2）x+y7xy−x22xy−3x2+1−3x−y=(x+y)(−3x−y)+37xy−x2−22xy−3x2+1
=−3x2−4xy−y2+21xy−3x2−4xy+6x2−2
=−y2+13xy−2．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算、整式的混合运算，正确理解定义的新运算的含义，根据数（式）位置确定a、b、c、d的值是解题关键．
【变式9-2】（2023春·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）给出如下定义：我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对(a,b,c)的特征多项式．
(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为__________；
(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,−4,4)的特征多项式的乘积；
(3)有序实数对(2,1,1)的特征多项式与有序实数对(a,−2,4)的特征多项式的乘积不含x2项，求a的值；
【答案】(1)（3，2，-1）；
(2)x4−8x2+16；
(3)-6
【分析】（1）根据定义得到a，b，c的值即可得到答案；
（2）根据特征多项式的定义得到两个多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则计算可得答案；
（3）根据定义得到特征多项式，计算乘积，根据特征多项式的乘积不含x2项得到x2项的系数等于0，由此求出a．
【详解】（1）解：由定义得a=3，b=2，c=-1，
∴二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为（3，2，-1），
故答案为：（3，2，-1）；
（2）有序实数对(1,4,4)的特征多项式为x2+4x+4，
有序实数对(1,−4,4)的特征多项式为x2−4x+4，
∴（x2+4x+4）（x2−4x+4）
=x+22x−22
=x+2x−22
=x2−42
=x4−8x2+16；
（3）有序实数对(2,1,1)的特征多项式为2x2+x+1，
有序实数对(a,−2,4)的特征多项式为ax2−2x+4，
∴（2x2+x+1）（ax2−2x+4）=2ax4+a−4x3+6+ax2+2x+4，
∵乘积不含x2项，
∴6+a=0，
解得a=-6．
【点睛】此题考查了新定义，多项式乘以多项式的计算法则，以及多项式不含项的应用，正确理解新定义得到多项式是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）阅读下列材料，解答下列问题：定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2＝−1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：(2−i)+(5+3i)＝(2+5)+(−1+3)i＝7+2i；
(1+i)×(2−i)＝1×2−i+2×i−i2＝2+(−1+2)i+1＝3+i；
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝________，i4＝________；
（2）计算：（2＋3i）×（3－4i）；
（3）计算：i＋i2＋i3＋…＋i2019．
【答案】(1) -i，1；(2) 18+i；(3)-1.
【分析】（1）把i2=-1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i2=-1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．
【详解】解：（1）由题意可知，i3=i2×i=-1×i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，
故答案为-i，1；
（2）（2＋3i）×（3－4i）=6-8i+9 i -12i2=6+i-12×（-1）=18+i；
（3）由i=i，i2=-1，i3=-i，i4=1，i5=i4•i=i，i6=i4×i2=1×（-1）=-1，i7=i4×i3=1×（-i）=-i，i8=i4×i4=1×1=1…
且i+i2+i3+i4=i+（-1）+（-i）+1=0，
同理：i5+i6+i7+i8=0，可以看出每隔4位相加都等于0，且第五项第于第一项，第六项等于第二项…
∴i+i2+i3+…+i2019=504×0+i2017+i2018+ i2019 =i-1- i=-1．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，复数的定义，能读懂题意是解此题的关键．
【题型10 整式乘法中的规律探究】
【例10】（2023春·广东梅州·八年级统考期末）若正整数a，b的和为10，则称a，b“互补”，如果两个两位数的十位数字相同，个位数字“互补”（如24与26，52与58，简称它们“首同尾补”）；那么这两个数的积是三位数或四位数，其末尾的两位数等于两数的个位数字之积，其起始的一位或两位数等于两数的十位数字与比这个十位数字大1的数之积．
例如：24×26=624（积中的6=2×2+1，24=4×6）
52×58=3016（积中的30=5×5+1，16=2×8）
(1)直接写出下列各式运算结果：95×95=______，81×89=______；
(2)用ab和ac分别表示两个两位数，其中a表示十位数字，b和c表示它们的个位数字，且b+c=10，
①依据题意，两位数ab表示为______，两位数ac表示为______；
②上述速算规律可用等式表示为__________________；
③试说明②中等式的正确性．
【答案】(1)9025，7209
(2)①10a+b，10a+c；②ab×ac=100aa+1+bc；③见解析
【分析】（1）先判断95，95与81，89都是“首同尾补”数，再根据已知的方法求解即可；
（2）①根据两位数的表示方法解答即可；
②根据已知的方法结合整数的乘法解答即可；
③根据多项式的乘法结合已知b+c=10即可解答．
【详解】（1）解：∵95，95与81，89都是“首同尾补”数，
∴95×95=9025，81×89=7209；
故答案为：9025，7209；
（2）①依据题意，两位数ab表示为10a+b，两位数ac表示为10a+c；
故答案为：10a+b，10a+c；
②上述速算规律可用等式表示为ab×ac=100aa+1+bc；
故答案为：ab×ac=100aa+1+bc；
③∵b+c=10，
∴ab×ac=10a+b10a+c
=100a2+10ac+10ab+bc
=100a2+10ab+c+bc
=100a2+100a+bc
∵100aa+1+bc=100a2+100a+bc，
∴ab×ac=100aa+1+bc．
【点睛】本题考查了整式的运算以及规律应用，正确理解题意、熟练掌握多项式的乘法法则是关键．
【变式10-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）在运算中，我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度．在解答下列问题中，请探究其中的规律．
(1)计算后填空：x+2x+3=_________；
x−1x+4=_________；
x−3x−2=_________；
(2)归纳猜想后填空：x+ax+b=x2+______x+______
(3)运用（2）中得到的结论，直接写出计算结果：x−2x+n=______．
【答案】(1)x2+5x+6；x2+3x−4；x2−5x+6
(2)a+b，ab
(3)x2+n−2x−2n
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可；
（2）根据（1）的结果得出规律即可；
（3）根据x+ax+b=x2+a+bx+ab得出即可．
【详解】（1）(x+2)(x+3)=x2+5x+6
(x−1)(x+4)=x2+3x−4
(x−3)(x−2)=x2−5x+6
故答案为：x2+5x+6；x2+3x−4；x2−5x+6．
（2）x+ax+b=x2+a+bx+ab
故答案为：a+b，ab．
（3）x−2x+n=x2+n−2x−2n
故答案为：x2+n−2x−2n．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力．
【变式10-2】（2023春·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）观察下面的几个算式，发现规律，并解决下列问题．
①16×14=224=1×1+1×100+6×4；
②23×27=621=2×2+1×100+3×7；
③32×38=1216=3×3+1×100+2×8；
…
(1)按照上面的规律，依照上面的书写格式，直接写出81×89的结果______．
(2)试说明上面所发现的规律（提示：可设这两个两位数分别是10n+a，10n+b，其中n，a，b均为1～9的整数，且a+b=10）．
【答案】(1)7209
(2)10n+a10n+6=100nn+1+ab
【分析】（1）观察上面几个式子，发现：左边两个因数的十位数字相同，个位数字和是10；则右边的结果是一个四位数，其中个位和十位上的数是左边两个因数的个位相乘，百位和千位上的数是左边十位上的数字和大于十位数字1的数相乘．根据这一规律即可写出81×89=7209；
（2）根据（1）发现的两个数的特点，用字母表示出来，然后运用公式展开进行证明即可．
【详解】（1）解：81×89=8×(8+1)×100+1×9=7209，
故答案为：7209；
（2）解：设这两个两位数分别是10n+a，10n+b．其中a+b=10
10n+a10n+b
=10n2+a+b10n+ab
=10n2+10n×10+ab
=100n2+100n+ab
=100nn+1+ab
【点睛】此题主要考查运算规律探索与运用，认真观察算式中存在的规律，并结合它们灵活应用是解题的关键，在证明中，整式的运算法则是基础．
【变式10-3】（2023春·江西吉安·八年级统考期末）八年级某班数学小组研究系列算式：12×21，23×32，34×43．．．．，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律：
12×21=121×12+1+10；
23×32=121×22+2+10；
34×43=121×32+3+10；
……
(1)根据以上规律，直接写出78×87的相应变形算式；
(2)请用含n的代数式直接表示10n+n+1与10n+10+n之积的计算结果，并通过计算验证结果的正确性．
【答案】(1)78×87=121×72+7+10
(2)10n+n+1⋅10n+10+n=121×n2+n+10，验证见解析
【分析】（1）根据规律写出等式即可；
（2）先根据规律写出结果，再利用多项式与多项式的乘法法则验证即可．
【详解】（1）根据题中规律，得78×87=121×72+7+10；
（2）10n+n+1⋅10n+10+n=121×n2+n+10；
验证如下：
10n+n+1⋅10n+10+n
=11n+111n+10
=121n2+121n+10
=121×n2+n+10．
【点睛】本题考查了数字类规律探究，多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则是解答本题的关键．
【题型11 整式乘法与面积的综合探究】
【例11】（2023春·湖南株洲·八年级统考期中）从一个边长为a的正方形纸片（如图1）上剪去两个相同的小长方形，得到一个美术字“5”的图案（如图2），再将剪下的两个小长方形拼成一个新长方形（如图3）．
(1)求：新长方形的周长（用含有a，b的式子表示），
(2)求：美术字“5”的图案的面积（用含有a，b的式子表示）．
(3)若a=8，剪去的小长方形的宽为1，求新长方形的周长和美术字“5”的图案的面积．
【答案】(1)4a−8b
(2)4ab−3b2
(3)52
【分析】（1）根据图1和图2得出：新长方形的长为a−b，宽为a−3b，然后再进行计算．
（2）用正方形的面积减去新长方形的面积，列式计算即可；
（3）根据小长方形的宽为1，可知新长方形的宽为2，所以a−3b=2，再把a=8代入求出b，然后代入（1）（2）所求的周长与面积代数式，计算即可．
【详解】（1）解：∵新长方形的长为a−b，宽为a−3b，
∴新长方形的周长=2a−b+a−3b=4a−8b；
（2）解：a2−a−ba−3b
=a2−a2−4ab+3b2
=a2−a2+4ab−3b2
=4ab−3b2；
（3）解：∵小长方形的宽为1，可知新长方形的宽为2，
∴a−3b=2
∵a=8
∴b=2
∴新长方形的周长=4a−8b=4×8−8×2=16，
美术字“5”的图案的面积=4ab−3b2=4×8×2−3×22=52．
【点睛】本题考查了整式运算的应用，熟练掌握列代数式和代数式的求值是解题的关键，注意数形结合题意的应用．
【变式11-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期中）将两张大小完全一样的长方形纸片和另两张大小完全一样的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在长方形ABCD内，其中长方形纸片和正方形纸片的周长相等．设大正方形边长PD=x，小正方形边长GH=y，则图中阴影部分的面积 ．
【答案】2xy
【分析】根据题意表示出AM、BQ、PD、CN的长，根据三角形面积公式进行计算，再计算中间小正方形的面积，即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：∵四边形MEQB和四边形PDNG是大小完全一样的正方形，
∴PD=PG=ME=BQ=x，PD⊥PG，BQ⊥EQ，
∵四边形EHGF是正方形，
∴EH=GH=GF=EF=y
∵PD=x，GH=y，
∴PH=PG−GH=x−y=AM，
∵四边形APHM和四边形FNCQ是两张大小完全一样的长方形纸片，
∴AM⊥MH，CN⊥FN，CN=AM=x−y，
∴S阴影=S△AEH+S△EFB+S△FGC+S△GHD+S正方形EHGF
=12⋅y⋅x−y+12⋅y⋅x+12⋅y⋅x−y+12⋅y⋅x+y2
=2xy，
故答案为：2xy．
【点睛】本题考查了整式的混合运算的应用，三角形的面积计算公式，解题的关键是根据字母表示各图形的线段长．
【变式11-2】（2023春·湖北·八年级统考期末）现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部分）区域种植鲜花．设大长方形的相邻两边长分别am和bm，小长方形的相邻两边长分别为xm和ym．
(1)如图1，若a=45，b=60，求x和y的值；
(2)如图2，
①若小长方形的周长为4m，求大长方形的周长；
②若y比x大3，求种植草坪（空白部分）面积比种植鲜花（阴影部分）的面积的2倍多多少？
【答案】(1)x=10y=25
(2)①12m；②18m2
【分析】（1）根据大长方形的相邻两边长分别为a=45，b=60，列出方程组计算可求小长方形的相邻两边长．
（2）①由小长方形的周长为4m，求得x+y=2，列式求得大长方形的周长，再整体代入计算即可求解；
②依题意得(2x+y)(x+2y)−3xy−6xy，去括号，整理，再将y−x=3整体代入即可求解．
【详解】（1）解：依据题意得，x+2y=602x+y=45，
解得x=10y=25，
所以x和y的值分别为10和25；
（2）解：①由题意得，2x+y=4，所以x+y=2，
所以大方形的周长为2(2x+y+x+2y)=6(x+y)=12m．
②因为y−x=3，
所以(2x+y)(x+2y)−3xy−6xy
=2x2+5xy+2y2−3xy−6xy
=2x2−4xy+2y2
=2(y−x)2 =18m2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式11-3】（2023春·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期中）7张如图1的长为a，宽为bb>0的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形ABCD内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．
(1)如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含a,b的代数式表示），长方形ABCD的面积为____________（用含a,b的代数式表示）
(2)如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，CP=x.
①用含a,b,x的代数式表示AE；
②当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S始终保持不变，那么a,b必须满足什么条件?
【答案】(1)a2−12b2；a2+7ab+12b2
(2)①AE=x+4b−a；②a=3b
【分析】（1）右下角的图形为边长为a的正方形，左上角图形为长方形，其长和宽分别为4b，3b，分别计算面积作差即可，找到长方形ABCD的长和宽分别为a+4b，a+3b，计算面积即可；
（2）①根据AE+DE=BP+CP进行求解即可；②分别表示出右下角和左上角的长方形面积，进而把S表示出来，令含x的项的系数为0，即可得到S与BC长度无关．
【详解】（1）解：如图2所示，右下角的图形为边长为a的正方形，面积为a2．
左上角图形为长方形，其长和宽分别为4b，3b，面积为4b⋅3b=12b2 ．
∴右下角与左上角的阴影部分的面积的差为a2−12b2．
∵矩形ABCD的长和宽分别为a+4b，a+3b，
∴矩形ABCD的面积为a+4ba+3b=a2+7ab+12b2
故答案为：a2−12b2；a2+7ab+12b2；
（2）解：①由题意得，AE+DE=BP+CP，
∴AE+a=x+4b，
∴AE=x+4b−a；
②图3中，右下角的长方形长和宽分别为x，a，则面积为xa．
左上角长方形长和宽分别为x+4b−a，3b，则面积为3bx+4b−a．
∴S=xa−3bx+4b−a
整理得到，S=xa−3bx−12b2+3ab=xa−3b−12b2+3ab
当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a−3b=0时成立，即a=3b．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式在几何图形中的应用，解题关键在于找准各部分图形的边长与边长之间的关系，准确表示出面积的代数式，需要注意的是，长方形的对边与对边长度相等，可互相等量代换求得其他线段的长度．
单项式×单项式：系数相乘，字母相乘．
单项式×多项式：乘法分配律．
多项式×多项式：乘法分配律．
单项式÷单项式：系数相除，字母相除．
多项式÷单项式：除法性质．
多项式÷多项式：大除法．
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