专题16 全等三角形的核心知识点精讲（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习（全国通用）

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1.熟悉全等三角形常考5种模型
2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。
考点1：全等三角形的概念及性质
考点2：全等三角形的判定
模型一：平移型
模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.
模型示例

模型二：轴对称模型
模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.
模型三：旋转型
模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：
①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角
②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.

模型四：一线三垂直型
模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角

【题型1：平移型】
【典例1】（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵B是AD的中点，
∴AB＝BD，
∵BC∥DE，
∴∠ABC＝∠D，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（SAS），
∴∠C＝∠E．
1．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵AD＝CF，
∴AD+CD＝CF+CD，
∴AC＝DF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠B＝∠E
2．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．
你选取的条件为（填写序号） ① （只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 SSS （填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【答案】（1）①，SSS；（答案不唯一）．
（2）证明过程见解答．
【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．
故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE
【题型2：对称型】
【典例2】（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵∠AOD＝∠COB，
∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD，
即∠AOB＝∠COD．
在△AOB 和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
∴AB＝CD．
1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
【答案】（1）见解答；
（2）4．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE＝6，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，
∵AB＝AC＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
2．（2022•西藏）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
【题型3：旋转型】
【典例3】（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵∠ACF+∠AED＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝∠AED，
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AB＝AD．
1．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．
【答案】见解答过程．
【解答】证明：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴AC＝BD．
2．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．
【答案】见解答．
【解答】证明：∵BD∥CE，
∴∠ABD＝∠C，
在△ABD和△ECB中，
∴△ABD≌△ECB（SAS），
∴AD＝EB
3．（2023•西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．
【答案】见解析．
【解答】证明：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SSS），
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
∴∠1＝∠2．
【题型4：一线三等角】
【典例4】（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．求证：CE＝AB．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：∵DC⊥AC于点C，
∴∠ACB+∠DCB＝90°
∵∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠A＝90°
∴∠A＝∠DCE
∵DE⊥BC于点E，
∴∠E＝90°
∴∠B＝∠E．
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS）．
∴AB＝CE．
1．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：AF＝BE．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠EBA＝90°，
∴∠EBA＝∠FAC，
在△ACF和△BAE中，
，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴AF＝BE．
一．选择题（共8小题）
1．下列各组图案中，不是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、两图形全等，不合题意；
B、两图形全等，不合题意；
C、两图形全等，不合题意；
D、两图形不全等，符合题意；
故选：D．
2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（ ）
A．50°B．58°C．60°D．72°
【答案】B
【解答】解：
∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，
∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，
故选：B．
3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝CE，∠DCE＝∠ACB，
∴∠CEB＝∠B＝70°，
∴∠ECB＝180°﹣∠CEB﹣∠B＝40°，
∵∠ACD+∠ACE＝∠ECB+∠ACE，
∴∠ACD＝∠ECB＝40°．
故选：B．
4．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（ ）
A．10B．6C．4D．2
【答案】D
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AB＝AC＝6，AE＝AD＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2，
故选：D．
5．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DFB．∠B＝∠EC．∠ACB＝∠DFED．BC＝EF
【答案】D
【解答】解：∵∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，
∴当添加条件AC＝DF时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠B＝∠E时，△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意；
当添加条件∠ACB＝∠DFE时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意；
当添加条件BC＝EF时，△ABC≌△DEF（HL），故选项D符合题意；
故选：D．
6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．BD＝CED．AD＝AE
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD．
故选：B．
7．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（ ）
A．AASB．HLC．SASD．ASA
【答案】B
【解答】证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠BEC＝∠BFC＝90°，
在Rt△BCF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL），
∴Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是HL．
故选：B．
8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（ ）
A．28°B．59°C．60°D．62°
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，
∴△CAE≌△DAE（HL），
∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，
∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，
∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，
∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为 70° ．
【答案】70°．
【解答】解：如图，
根据三角形内角和可得∠2＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
因为两个全等三角形，
所以∠1＝∠2＝70°，
故答案为：70°．
10．已知：如图，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件 AC＝BD（答案不唯一） 就可以判断△ABC≌△BAD．
【答案】AC＝BD（答案不唯一）．
【解答】解：添加AC＝BD（答案不唯一）．，
理由：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是 SSS ．
【答案】SSS．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，
在△COD与△C′O′D′中，
，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．
故答案为：SSS．
12．如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝ 3cm ．
【答案】3cm．
【解答】解：过A点作AF⊥CD于F，如图，
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC于点E，
∴AE＝AF，EC＝CF，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BC＝13cm，CD＝7cm，
∴BC＝BE+EC＝BE+CF＝BE+CD+DF＝2BE+CD，
即13＝7+2BE，
解得：BE＝3cm，
故答案为：3cm．
三．解答题（共4小题）
13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，∠D＝45°，
∴∠A＝∠D＝45°，∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE，
∴∠EGC＝∠A＝45°．
14．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的长．
【答案】2.5．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠CBA＝45°，
∴AC＝BC，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠BCE+∠DCA＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵BE＝0.8，DE＝1.7，
∴CD＝0.8，
∴CE＝CD+DE＝0.8+1.7＝2.5，
∴AD＝CE＝2.5．
15．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．
（1）求证：△ABE≌△DBC；
（2）求∠DMA的度数．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）∠DMA＝60°．
【解答】（1）证明：∵△ABD、△BCE为等边三角形，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝60°，BE＝BC，
∴∠ABE＝∠DBC，∠PBQ＝60°，
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
（2）解：由（1）知△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠DMA＝∠BAE+∠BCD＝∠BDC+∠BCD＝60°．
16．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．
（1）求证：△ABC≌△DEC；
（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠ACE＝∠2+∠ACE，
即∠DCE＝∠ACB，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）；
（2）解：∵EC＝BC，∠B＝75°，
∴∠CEB＝∠B＝75°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠B＝∠DEC＝75°，
∵∠3+∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠3＝30°．
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一．选择题（共7小题）
1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正确的个数是（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【解答】解：∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠PBC+∠PCB＝×（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，
故①正确；
∵∠BPC＝120°，
∴∠DPE＝120°，
过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，PF＝PG＝PH，
∵BE、CD分别是∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴AP是∠BAC的平分线，
故②正确；
若AP＝PC，则∠PAC＝∠PCA，则BAC＝BCA＝60°，则△ABC为等边三角形，
这与题干任意画一个∠BAC＝60° 的△ABC不符，
故③错误．
∵∠BAC＝60°∠AFP＝∠AGP＝90°，
∴∠FPG＝120°，
∴∠DPF＝∠EPG，在△PFD与△PGE中，
，
∴△PFD≌△PGE（ASA），
∴PD＝PE，
在Rt△BHP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），
同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，
∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，
两式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，
∵DF＝EG，
∴BC＝BD+CE，
故④正确；
∵AP是角平分线，
∴P到AB、AC的距离相等，
∴S△ABP：S△ACP＝AB：AC，
故⑤正确．
故选：B．
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CEF．其中正确的是（ ）
A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线，
∴∠EBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB＝×（180°﹣∠BAC）＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝120°，
故①正确，符合题意；
在△BDF和△CEF中，
∠BFD＝∠CFE＝60°，但没有相等的边，
∴△BDF和△CEF不一定全等，
∴BD≠CE，故②错误，不符合题意；
∵∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝60°，∠BFC＝120°，
∵FG平分∠BFC，
∴∠BFG＝∠BFC＝60°＝∠DFB，
在△BDF和△BGF中，
，
∴△BDF≌△BGF（ASA），
∴BD＝BG，
同理可得，△CEF≌△CGF，
∴CE＝CG，
∴BC＝BG+CG＝BD+CE，
故③正确，符合题意；
若BE⊥AC，
∴∠ABE＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CD⊥AB，
∴BD＝AB＝AC＝CE，
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（ASA），
故④正确，符合题意；
∴正确的结论是①③④，
故选：C．
3．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：
①BD＝CE
②∠AEF＝∠ADF
③BD⊥CE
④AF平分∠CAD
⑤∠AFE＝45°
其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤
【答案】D
【解答】解：∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠AEF＝∠ADF，故①②符合题意；
设BD与AC交于点G，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABF＝∠ACF，
∵∠ABF+∠BGA＝90°，∠BGA＝∠CGF，
∴∠ACF+∠CGF＝90°，
∴∠CFG＝90°，即BD⊥CE，故③符合题意；
分别过A作AM⊥BD，AN⊥CE垂足分别为M、N，
∵△BAD≌△CAE，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠BFE，
∴∠BFA＝∠EFA，
若AF平分∠CAD，
∴∠CAF＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠EAF，而FA＝FA，
∴△BAF≌△EAF，
∴AB＝AE，与题干条件互相矛盾，故④不符合题意；
∵FA平分∠BFE，BF⊥CF，
∴∠AFE＝45°，故⑤符合题意．
综上，正确的是①②③⑤，
故选：D．
4．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠FAB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵∠EAC＝∠FAB，
∴∠EAC+∠BAC＝∠FAB+∠BAC，
即∠EAB＝∠CAF，
在△ABE和△ACF，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠B＝∠C，AC＝AB，AE＝AF，
故①正确；
∵∠E＝90°，
∴AB＞BE，
∴AC＞BE，
故③错误；
如图，连接AD，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∵ED⊥AE，FD⊥AF，
∴ED＝FD，
故②正确；
在△ACN和△ABM，
，
∴△ACN≌△ABM（ASA）（故④正确）；
综上所述，正确的结论是①②④，共有3个．
故选：C．
5．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【解答】解：由正方形的性质可知，AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝∠ABE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
在△ACB和△BDE中，
，
∴△ACB≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
在Rt△ACB中，AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，
∴S1+S2＝1，
同理可得，S2+S3＝2，S3+S4＝3，
∴S1+2S2+2S3+S4＝1+2+3＝6，
故选：A．
6．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列四个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正确的结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：①∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE＝120°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；①正确；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△ACN和△BCM中，
，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴∠BMC＝∠ANC，②正确；
∵∠CAD＝∠CBE，∠AMO＝∠BMC，
由三角形内角和定理得：∠APM＝∠ACB＝60°，③正确；
∵∠APB＝∠ACB＝60°，
∴A、B、C、P四点共圆，
∴∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠CPD＝120°﹣60°＝60°，
∴CP平分∠MPN，没有条件得出CP平分∠MCN，④错误；
正确的有3个，
故选：C．
7．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠EDF；④若AE＝3，则AB+AC＝6．其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：如图所示：连接BD、DC．
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED＝DF．
∴①正确．
②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴ED＝AD．
同理：DF＝AD．
∴DE+DF＝AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．
假设MD平分∠EDF，则∠ADM＝30°．则∠EDM＝60°，
又∵∠E＝∠BMD＝90°，
∴∠EBM＝120°．
∴∠ABC＝60°．
∵∠ABC是否等于60°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF，
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）．
∴BE＝FC，
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+FC，
又∵AE＝AF，BE＝FC，
∴AB+AC＝2AE，
∵AE＝3，
∴AB+AC＝6，
∴④正确．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
8．如图，以△ABC的每一条边为边，在边AB的同侧作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则∠FCE＝ 150 °．
【答案】150．
【解答】解：过点D作DM⊥AB，
∵甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和，
∴S甲+S乙＝S丙+S丁，则S甲+S乙+S空白＝S丙+S丁+S空白，
∴S△ACF+S△BCE＝S△ABD，
∵△ABD、△BCE和△ACF为等边三角形，DM⊥AB
∴∠BAD＝∠ACF＝∠BCE＝60°，AD＝AB，
则△ABD中AB边上的高为：，
∴＝，
同理可得：，，
∴．
从而AC2+BC2＝AB2．
所以∠ACB＝90°，∠FCE＝360°﹣（90°+60°+60°）＝150°．
故答案为：150．
9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是 （1，6） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ADC和△CEB中，
∵，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC＝BE，AD＝CE，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），
∴OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝8，
∴CD＝OD﹣OC＝6，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝1，
∴BE＝6，
∴则B点的坐标是（1，6）
故答案为（1，6）
10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是 ①②④ （填序号）．
①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．
【答案】①②④．
【解答】解：过点E作EF⊥AD于点F，如图所示：
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴BE＝EF，
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL），
∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴EF＝EC，
∵DC⊥BC，
∴∠C＝90°，
在Rt△EFD和Rt△ECD中，
，
∴Rt△EFD≌Rt△ECD（HL），
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，∠FED＝∠CED，
故②符合题意；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，
故④符合题意；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝×180°＝90°，
故①符合题意，
∵DE≠CE，
∴DE≠BE，
故③不符合题意，
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是 ①②③④ ．（填序号）
【答案】①②③④．
【解答】解：如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PE，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠EPC＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠EPC，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP，故③正确；
如图3，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC，
∴CH＝CD，
∴S△ABC＝AB•CH，
S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC＝AP•CH+OA•CD＝AP•CH+OA•CH＝CH•（AP+OA）＝CH•AC，
∴S△ABC＝S四边形AOCP，故④正确．
故答案为：①②③④．
12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE＝CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，
∴∠A＝∠CBA＝45°，∠ACD＝∠BCD＝45°，CD⊥AB，且CD＝AD＝BD，
在△AED和△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（SAS），
∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF，
∵∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDF+∠CDE＝90°，即：∠EDF＝90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
当DE⊥AC时，DE最短，△DEF的面积最小，
此时，，
，
故答案为：2．
三．解答题（共4小题）
13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；
（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）AE＝BE+2CF．理由见解析．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，
∠DCE＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE．
∵△ACB，△DCE 都是等腰三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC．
在△ACD和△BCE 中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE．
（2）解：AE＝BE+2CF．理由如下：
∵△DCE 是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°．
∵CF⊥DE，
∴∠CFD＝90°
∴△CDF和△CEF都是等腰直角三角形．
∴DF＝EF＝CF．
由（1）可知 AD＝BE，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．
14．如图所示，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．
（1）求证：AP＝AQ；
（2）试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）△APQ是等边三角形，理由见解析过程．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP＝AQ．
（2）解：△APQ是等边三角形，理由如下：
由（1）知：△ABP≌△ACQ，
∴∠BAP＝∠CAQ，AP＝AQ，
∴∠BAP+∠CAP＝∠CAQ+∠CAP，即∠BAC＝∠PAQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠PAQ＝60°，
∵AP＝AQ，
∴△APQ是等边三角形．
15．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为 AC＝BH ，位置关系为 AC∥BH ．
（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交AD于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．
【答案】（1）AC＝BH，AC∥BH；
（2）证明见解析．
【解答】（1）解：∵D为BC边的中点，
∴BD＝CD，
在△ACD和△HBD中，
，
∴△ACD≌△HBD（SAS），
∴AC＝BH，∠C＝∠HBD，
∴AC∥BH，
故答案为：AC＝BH，AC∥BH；
（2）证明：如图2，延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，
∵D为BC边的中点，
∴BD＝CD，
在△ACD和△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC＝BG，∠CAD＝∠BGD，
∵BF＝AC，
∴BG＝BF，
∴∠BGD＝∠BFG＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠CAD，
即∠AFE＝∠EAF，
∴AE＝EF．
16．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE＝AD；
（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；
（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，
∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，
∴△ABM中，∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；
（3）△CPQ为等腰直角三角形．
证明：如图2，由（1）可得，BE＝AD，
∵AD，BE的中点分别为点P、Q，
∴AP＝BQ，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAP＝∠CBQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴CP＝CQ，且∠ACP＝∠BCQ，
又∵∠ACP+∠PCB＝90°，
∴∠BCQ+∠PCB＝90°，
∴∠PCQ＝90°，
∴△CPQ为等腰直角三角形．
1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AO＝BOC．AC＝BOD．AB＝CD
【答案】B
【解答】解：A、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
B、由AC∥BD可得∠A＝∠B，∠C＝∠D，可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；
C、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
D、不能证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：
①a+b＜c；
②a+b＞；
③（a+b）＞c．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【解答】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．
∵DF∥AC，AC⊥AE，
∴DF⊥AE．
又∵BG⊥FD，
∴BG∥AE，
∴四边形ABGF为矩形．
同理可得，四边形BCDG也为矩形．
∴FD＝FG+GD＝a+b．
∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．
故①正确．
②∵△EAB≌△BCD，
∴AE＝BC＝b，
∴在Rt△EAB中，BE＝＝．
∵AB+AE＞BE，
∴a+b＞．
故②正确．
③∵△EAB≌△BCD，
∴∠AEB＝∠CBD，
又∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠CBD+∠ABE＝90°，
∴∠EBD＝90°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠BDE＝45°，
∴BE＝＝c•sin45°＝c．
∴c＝．
∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），
∴＞，
∴＞c．
故③正确．
故选：D．
3．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件 OB＝OD（答案不唯一） ，使△AOB≌△COD．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：添加的条件是OB＝OD，
理由是：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS），
故答案为：OB＝OD（答案不唯一）．
4．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
又BC＝8，
∴EF＝8，
∵EC＝5，
∴CF＝EF﹣EC＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
5．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AF＝BE，AE＝CF，
∵BE＝4，CF＝1，
∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，
∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
6．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是 ．
【答案】．
【解答】解：设AC，BD的交点为O，AB，BC，CD，DA的中点分别是P，Q，R，S，连接PQ，QR，RS，SP，OQ，OS，QS，如图：
∵AC，BD互相垂直，
∴△AOD和△BOC为直角三角形，且AD，BC分别为斜边，
∴AD＝2OS，BC＝2OQ，
∴AD+BC＝2（OS+OQ），
∴当OS+OQ为最小时，AD+BC为最小，
根据“两点之间线段最短”得：OQ+OS≥QS，
∴当点O在线段QS上时，OQ+OS为最小，最小值为线段QS的长，
∵点P，Q分别为AB，BC的中点，
∴PQ为△ABC的中位线，
∴PQ＝AC＝2，PQ∥AC，
同理：QR＝BD＝3，QR∥BD，RS＝AC＝2，RS∥AC，SP＝BD＝3，SP∥BD，
∴PQ∥AC∥RS，QR∥BD∥SP，
∴四边形PQRS为平行四边形，
∵AC⊥BD，PQ∥AC，SP∥BD，
∴PQ⊥SP，
∴四边形PQRS为矩形，
在Rt△PQS中，PQ＝2，SP＝3，
由勾股定理得：，
∴OQ+OS的最小值为，
∴AD+BC的最小值为．
故答案为：
7．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝BC．
【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C，
在△BDE和△ACB中，
，
∴△BDE≌△ACB（AAS），
∴DE＝BC．
8．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．
【答案】证明过程见解析．
【解答】解：证明：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（ASA），
∴AC＝DC．
9．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．
【答案】∠D＝50°．
【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，
在△BAC与△EAD中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS），
∴∠D＝∠C＝50°．
10．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．
【答案】（1）见解析过程；
（2）BD＝﹣1．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAD＝22.5°，
∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，
∴AC＝CD＝1，
∴BD＝﹣1．
概念
两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．
性质
1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．
2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．
3.全等三角形的周长、面积相等．