中考数学一轮复习：专题13.1 三角形的三边关系和稳定性【十大题型】（举一反三）（沪科版）（解析版）

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\l "_Tc28370" 【题型1 三角形的识别与有关概念】 PAGEREF _Tc28370 \h 1
\l "_Tc15486" 【题型2 三角形的分类】 PAGEREF _Tc15486 \h 3
\l "_Tc5103" 【题型3 三角形个数的规律探究题】 PAGEREF _Tc5103 \h 5
\l "_Tc8562" 【题型4 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围】 PAGEREF _Tc8562 \h 8
\l "_Tc32217" 【题型5 应用三角形的三边关系求等腰三角形的边长问题】 PAGEREF _Tc32217 \h 10
\l "_Tc22658" 【题型6 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子】 PAGEREF _Tc22658 \h 12
\l "_Tc15574" 【题型7 应用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】 PAGEREF _Tc15574 \h 14
\l "_Tc10014" 【题型8 三角形的稳定性】 PAGEREF _Tc10014 \h 18
【知识点1 三角形的概念】
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
【题型1 三角形的识别与有关概念】
【例1】（2023春·山西·八年级校联考期末）一位同学用三根木棒拼成如下图形，其中符合三角形概念的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】三角形是由三条线段首位顺次连接而成的图形.
【详解】解：根据三角形的定义，
A选项不符合三角形的定义；
B选项符合三角形的定义；
C选项不符合三角形的定义；
D选项不符合三角形的定义；
故选B.
【点睛】本题主要考查三角形的定义，解决本题的关键是要熟练掌握三角形的定义.
【变式1-1】（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）下列说法正确的是( )
A．所有的等腰三角形都是锐角三角形
B．等边三角形属于等腰三角形
C．不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D．一个三角形里有两个锐角，则一定是锐角三角形
【答案】B
【分析】根据锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义一一判断即可．
【详解】A选项：内角为30°，30°，120°的等腰三角形是钝角三角形，故是错误的．
B选项：等边三角形属于等腰三角形，故正确．
C选项：内角为30°，30°，120°的三角形既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形，故错误．
D选项：内角为30°，30°，120°的三角形有两个锐角，是钝角三角形，故错误．
故选B．
【点睛】考查三角形的一个概念，解题的关键是搞清楚锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形的定义．
【变式1-2】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，D，E分别是BC边上的点，连接BE，AD，相交于点F．
(1)△BDF的三个顶点是什么?三条边是什么?
(2)AB是哪些三角形的边?
【答案】(1)△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是BF，BD，DF
(2)AB是△ABE，△ABF，△ABD，△ABC的边
【分析】（1）根据三角形的边和顶点解答即可；
（2）根据三角形的边解答即可．
【详解】（1）解：△BDF的三个顶点是点B，D，F，三条边是BF，BD，DF；
（2）解：AB是△ABE，△ABF，△ABD，△ABC的边．
【点睛】本题考查三角形，解题的关键是掌握三角形的角和边的概念．
【变式1-3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△BCE中，边BE所对的角是________，∠CBE所对的边是________；在△AEC中，边AE所对的角是________，∠A为内角的三角形是________．
【答案】 ∠BCE CE/EC ∠ACE △ABD，△ABC，△ACE
【分析】根据的边、角的定义，即可求解．
【详解】解：在△BCE中，边BE所对的角是∠BCE，∠CBE所对的边是CE；
在△AEC中，边AE所对的角是∠ACE，∠AEC所对的边是AC；
∠A为内角的三角形是△ABD，△ABC，△ACE．
故答案为：∠BCE；CE；∠ACE；△ABD，△ABC，△ACE
【点睛】本题考查了三角形的知识，掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角是解题的关键．
【知识点2 三角形的分类】
按边分类：三角形三边都不相等的三角形 等腰三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形
按角分类：三角形直角三角形 斜三角形锐角三角形钝角三角形
【题型2 三角形的分类】
【例2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
【答案】B
【分析】根据三角形按照边的分类方法解答．
【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，
故选择B．
【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．
【变式2-1】（2023春·八年级单元测试）现有以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的两边之差大于第三边；③三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；④三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．正确的有（ ）
A．4个B．3 个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据三角形的分类，三角形的三边关系，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①等边三角形是等腰三角形，故①正确；
②三角形的两边之差小于第三边，故②错误；
③三角形按边分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形，的说法是错误的（因为等边三角形属于等腰三角形），故③错误
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确
∴上述说法中正确的有2个.
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的分类，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）如图，∠ACD＝90°，则图中的锐角三角形是_________，钝角三角形有______个．
【答案】 △ACE； 4.
【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角是钝角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形，三条边相等的三角形是等边三角形（是特殊的等腰三角形），根据三角形按角分类的方法进行逐项分类即可．
【详解】观察图形可知，△ACE是锐角三角形，；
△CED、△CDB、△CEB、△ACB是钝角三角形，共4个.
故答案为△ACE，4．
【点睛】本题是考查三角形的分类．
【变式2-3】（2023·全国·八年级假期作业）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，如果按角的大小来进行分类，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形按角分类的方法一一判断即可．
【详解】解：观察图形可知：
A、露出的角是直角，因此是直角三角形；
B、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的分类，解题的关键是仔细观察图形，熟练掌握基本知识．
【题型3 三角形个数的规律探究题】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是( )
A．6(n-1) B．6nC．6(n+1) D．12n
【答案】C
【分析】从这三个图中找规律，可以先分别找出每个图形中三角形的个数，再分析三个数字之间的关系，从而得出第n个图形中三角形的个数．
【详解】图（1）中，三角形的个数是6+6=6×2 ,
图（2）中，三角形的个数是6+6+6=6×3 ,
图（3）中，三角形的个数是6+6+6+6=6×4 ,
第n个图形中三角形的个数是6·(n+1)，
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，利用图形之间的练习，得出数字间的运算规律，从而解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想．
【变式3-1】（2023春·八年级单元测试）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有___________对．
【答案】3
【分析】找到以BC为边的三角形，即可得解．
【详解】解：以BC为公共边的“共边三角形”有△BDC与△BEC、△BDC与△BAC、△BEC与△BAC共3对．
故答案为：3．
【点睛】本题考查三角形的定义．理解并掌握“共边三角形”的定义，是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·八年级课时练习）如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形．
【答案】10
【分析】以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答.
【详解】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏.
【变式3-3】（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图1，D1是△ABC的边AB上的一点，则图中有哪几个三角形？
（2）如图2，D1，D2是△ABC的边AB上的两点，则图中有哪几个三角形？
（3）如图3，D1，D2，…，D10是△ABC的边AB上的10个点，则图中共有多少个三角形？
【答案】（1）3；（2）6；（3）66．
【分析】（1）根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形进行分析即可；
（2）根据三角形的定义结合图形进行分析即可得；
（3）根据直线AB上有几条线段就有几个三角形，由线段的计数方法进行计算即可得答案.
【详解】（1）图中三角形有：△ABC、△AD1C、△AD1B共3个；
（2）图中三角形有：△ACD1、△ACD2、△ABC、△D1CD2、△D1CB、△D2CB共6个；
（3）∵直线AB上有12个点，
∴直线AB上的线段共有：12×12−12=66（条），即图中共有66个三角形．
【点睛】本题考查了三角形，规律题，关键在数三角形个数时要做到不重不漏.
【知识点3 三角形的三边关系】
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【题型4 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围】
【例4】（2023·江西上饶·八年级统考期末）已知三角形三边长分别为m，n，k，且m、n满足|n−9|+(m−5)2=0，则这个三角形最长边k的取值范围是________．
【答案】9≤k