中考数学一轮复习：专题3.10 二元一次方程组的四种解法（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题3.10 二元一次方程组的四种解法（沪科版）（解析版），共26页。
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生二元一次方程组的四种解法的理解！
【题型1 用代入消元法解二元一次方程组】
1．（2023春·吉林长春·七年级校联考期中）用代入消元法解方程组：y=2x−1,3x+2y=5.
【答案】x=1,y=1.
【分析】用代入消元法解方程，把第一个方程代入另一个方程即可消去y,求得x=1，再代入求y.
【详解】解：给方程组编号，
y=2x−1,①3x+2y=5.②
把①代入②，得3x+2(2x−1)=5，
解得x=1，
把x=1代入①，
得y=2×1−1=1，
∴方程组的解是x=1,y=1.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法和加减消元法是关键.
2．（2023春·吉林·七年级统考阶段练习）用代入消元法解方程组x=2y①4x+3y=22②
【答案】x=4y=2
【分析】根据代入消元法，解方程即可．
【详解】解：x=2y①4x+3y=22②，
将①代入②得4×2y+3y=22，
合并同类型，得11y=22，
系数化为1，得y=2，
把y=2代入①，可得x=4，
∴原方程的解为x=4y=2．
【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程，熟知计算法则是解题的关键．
3．（2023春·浙江·七年级期中）用代入消元法解方程组：
(1)y=6−2x⋯①x+2y=6⋯②；
(2)5x−2y−4=0⋯①x+y−5=0⋯②．
【答案】(1)原方程组的解为x=2y=2
(2)原方程组的解为x=2y=3
【分析】（1）用直接代入消元即可解答．
（2）用代入消元法解答即可．
【详解】（1）y=6−2x①x+2y=6②，
将①代入②得：x+26−2x=6，
解得x=2．
将 x=2代入①得：y=6−2x=6−4=2，
所以原方程组的解为：x=2y=2．
（2）5x−2y−4=0①x+y−5=0②，
由②得：x=5−y③，
将③代入①得：55−y−2y−4=0．
解得y=3．
将 y=3代入③得：x=2．
所以原方程组的解为 x=2y=3．
【点睛】本题考查了代入消元法解方程组，熟练掌握消元法是解题的关键．
4．（2023秋·全国·七年级期中）用代入消元法求解下列方程组
(1)x+5y=63x−6y−4=0，
(2)2x+3y=44x−4y=3．
【答案】(1)x=83y=23
(2)x=1.25y=0.5
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】（1）解：x+5y＝6①3x−6y−4＝0②，
由①得：x=−5y+6③，
把③代入②得：−15y+18−6y−4=0，
解得y=23，
把y=23代入③得：x=83．
则方程组的解为x=83y=23 ；
（2）解：2x+3y＝4①4x−4y＝3②，
由②得：x=y+0.75③，
把③代入①得：2y+1.5+3y=4，
解得y=0.5，
把y=0.5代入③得：x=1.25．
则方程组的解为x=1.25y=0.5
【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
5．（2023·七年级课时练习）用代入消元法解二元一次方程组：
（1）x=3y−5,2x+3y=8;
（2）2x−y=1,5x−3y=8;
（3）x3+1=y,2(x+1)−y=6.
【答案】（1）x=1,y=2.;（2）x=−5,y=−11.;（3）x=3,y=2..
【分析】（1）编号，再直接把方程①代入②，消去x，得到关于y的一元一次方程，然后可得解；
（2）编号，由①，得y=2x−1代入②，消去y，得到关于x的一元一次方程，然后可得解；
（3）编号，先去分母，由①得到x=3y−3.然后代入消元关于y的一元一次方程，然后可得解.
【详解】解：（1）x=3y−5,①2x+3y=8,②把①代入②，得2(3y−5)+3y=8，解得y=2.
把y=2代入①，得x=1.
所以原方程组的解为x=1,y=2.
（2）2x−y=1,①5x−3y=8,②
由①，得y=2x−1，③
把③代入②，得5x−3(2x−1)=8，
解得x=−5.
把x=−5代入③，得y=−11.
所以原方程组的解为x=−5,y=−11.
（3）x3+1=y,①2(x+1)−y=6,②
由①，得x+3=3y，即x=3y−3.③
由②，得2x−y=4，④
把③代入④，得2(3y−3)−y=4，解得y=2.
把y=2代入③，得x=3.
所以原方程组的解为x=3,y=2.
【点睛】此题考查了用代入消元法解二元一次方程组，注意根据方程的特点灵活运用消元思想，尽量使消元过程比较简便．
6．（2023春·七年级课时练习）用代入消元法解下列方程组：
（1）x−3y=2y=x （2）x+y=52x+y=8 （3）4x+3y=5x−2y=4 （4）m−n2=22m+3n=12
【答案】（1）x=−1y=−1 （2）x=3y=2 （3）x=2y=−1 （4）m=3n=2
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】解：（1）x−3y=2①y=x②，
把②代入①得：
x-3x=2，
解得：x=-1，
把x=-1代入②得：
y=-1，
则原方程组的解为：x=−1y=−1；
（2）x+y=5①2x+y=8②，
由①得：y=5-x③
把③代入②中得：
2x+5-x=8,
解得：x=3，
把x=3代入③中得：
y=5-3=2，
则原方程组的解为：x=3y=2；
（3）4x+3y=5①x−2y=4②，
由②得：x=4+2y③，
将③代入①得：
4×（4+2y）+3y=5,
解得：y=-1,
将y=-1代入③中得：
x=4+2×（-1）=2，
则原方程组的解为：x=2y=−1；
（4）m−n2=2①2m+3n=12②，
由①得：m=n2+2③，
将③代入②得：
2×（n2+2）+3n=12，
解得：n=2，
将n=2代入③中得：
m=22+2=3，
则原方程组的解为：m=3n=2．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．（2023春·七年级课时练习）用代入消元法解下列方程
（1）{x−2y=0x=3y+1 （2） {y=x−3y−2x=5
（3）{2x−y=5x+y=1 （4）{x−3y=52x+y=5
（5）{y=x−32x+3y=6 （6）{2p−3q=13−p+5=4q
【答案】（1）{x=−2y=−1；（2）{x=−8y=−11；（3）{x=2y=−1；（4）{x=207y=−57；（5）{x=3y=0；（6）{p=6711q=−311.
【详解】试题分析：
这是一组要求用“代入消元法”解二元一次方程组的题目，按照“代入消元法”解二元一次方程组的一般步骤解答即可；
试题解析：
（1）{x−2y=0（1）x=3y+1（2）
把方程（2）代入方程（1）得：3y+1−2y=0，解得：y=y=−1，
把y=−1代入方程（2）得：x=3×(−1)+1=−2，
∴原方程组的解为：x=−2y=−1.
（2）{y=x−3（1）y−2x=5（2）
把方程（1）代入方程（2）得：x−3−2x=5，解得：x=−8，
把x=−8代入方程（1）得：y=−8−3=−11，
∴原方程组的解为：x=−8y=−11 .
（3）{2x−y=5（1）x+y=1（2）
由方程（1）可得：y=2x−5，把y=2x−5代入方程（2）得：
x+2x−5=1，解得：x=2，
把x=2代入方程y=2x−5得：y=2×2−5=−1，
∴原方程组的解为：x=2y=−1 .
（4）{x−3y=5（1）2x+y=5（2）
由方程（1）可得：x=3y+5，把x=3y+5代入方程（2）得：
2(3y+5)+y=5，解得：y=−57，
把y=−57代入方程x=3y+5可得：x=3×(−57)+5=207，
∴原方程组的解为：x=207y=−57 .
（5）{y=x−3（1）2x+3y=6（2）
把方程（1）的代入方程（2）得：2x+3(x−3)=6，解得：x=3，
把x=3代入方程（1）得：y=3−3=0，
∴原方程组的解为：x=3y=0 .
（6）{2p−3q=13（1）−p+5=4q（2）
由方程（2）可得：p=−4q+5，把方程p=−4q+5代入方程（1）得：
2(−4q+5)−3q=13，解得：q=−311，
把q=−311代入方程p=−4q+5可得：p=6711，
∴原方程组的解为：p=6711q=−311 .
8．（2023秋·七年级课时练习）用代入消元法解下列方程
（1）x−2y=0x=3y+1 （2） y=x−3y−2x=5
（3）2x−y=5x+y=1 （4）x−3y=52x+y=5
（5）y=x−32x+3y=6 （6）2p−3q=13−p+5=4q
【答案】（1）x=−2y=−1；（2）x=−8y=−11；（3）x=2y=−1；（4）x=207y=−57；（5）x=3y=0；（6）p=6711q=−311.
【详解】试题分析:(1) 把②代入①即可求出y，把y的值代入②即可求出x；
(2)把①代入②即可求出x, 把x的值代入①即可求出y.
(3)把①变形得到y=2x-5，再代入②得到x的值，再把x的值代入y=2x-5求得y的值.
(4)把①变形得到x=5+3y，再代入②得到y的值，再把y的值代入x=5+3y求得x的值.
(5)把①代入②即可求出x, 把x的值代入①即可求出y.
(6)把②变形得到p=5-4q，再代入①得到q的值，再把q的值代入p=5-4q求得p的值.
试题解析:
(1) x−2y=0①x=3y+1②
把②代入①得：3y+1−2y=0，
解得：y=−1，
把y=−1代入②得：x+2=0，
x=−2，
即方程组的解为x=−2y=−1.
（2）y=x−3①y−2x=5②
将①代入②，
(x−3)−2x=5，
x=−8，
把x=−8代入①，
y=−11，
∴方程组的解为x=−8y=−11.
（3）2x−y=5①x+y=1②
由①得，y=2x-5 ③
把③代入②得x+2x-5=1
解得x=2
把x=2代入①得2×2-y=5
解得y=-1
∴方程组的解为x=2y=−1.
(4) x−3y=5①2x+y=5②
由①得，x=5+3y，③
把③代入②得2(5+3y)+y=5,
解得y=−57，
代入①得,x−3×(−57)=5，
解得x=207.
故原方程组的解为x=207y=−57.
(5)y=x−3①2x+3y=6②
把①代入②得：2x+3(x-3)=6，
解得：x=3，
把x=3代入①得：y=0，
即方程组的解为x=3y=0.
（6）2p−3q=13①−p+5=4q②
由②得，p=5-4q，③
把③代入①得2(5-4q)-3q=13,
解得q=−311，
代入③得,p=5-4×(−311)，
解得p=6711.
故原方程组的解为p=6711q=−311.
【题型2 用加减消元法解二元一次方程组】
1．（2023·吉林长春·七年级统考期末）用加减消元法解方程组：3x−5y=3.x2−y3=1.
【答案】x=83,y=1.
【分析】将第二个方程的 x的系数化为3，利用加减消元法将两式加减运算约掉x，得到一元一次方程，即可求出．
【详解】解：原方程组可化为3x−5y=3,①3x−2y=6,②
②-①，得3y=3，解得y=1，
把y=1代入①，得x=83，
∴方程组的解是x=83,y=1.
【点睛】此题考查的是二元一次方程的解法，运用加减消元法解二元一次方程常用的方法，同学们应熟练掌握此方法．
2．（2023秋·四川成都·七年级校联考期末）用加减消元法解下列方程组：x+y=75x+3y=31．
【答案】x=5y=2
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】x+y=7①5x+3y=31②，
②﹣①×3得：2x＝10，即x＝5，
把x＝5代入①得：y＝2，
则方程组的解为x=5y=2 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．（2023春·江苏·七年级期中）解方程组：3x+2y=1x−2y=3（用加减消元法）．
【答案】x=1y=−1
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可求得．
【详解】解：3x+2y=1①x−2y=3②，
①+②，得4x＝4，
解得x＝1，
把x＝1代入②，得y＝﹣1，
故原方程组的解为：x=1y=−1．
【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，把某一个未知数的系数化为相等或互为相反数是解决本题的关键．
4．（2023春·全国·七年级期中）用加减消元法解方程组：2x+y=28x+3y=9．
【答案】x=32y=−1
【分析】先把该未知数y的系数变成相等的数，再用加减消元法消去未知数y，得到x的解，再将x的解带入求出未知数y的解．
【详解】解：2x+y=2①8x+3y=9②，
①×3 得：6x+3y=6③，
②−③得：2x=3，
解得x=32，
把x=32代入①得：3+y=2，
解得y=−1，
故原方程组的解是x=32y=−1．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法．
5．（2023春·河北唐山·七年级统考期中）解方程组：5x+y=2x−3y=4（用加减消元法）．
【答案】x=58y=98
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可求得．
【详解】解：5x+y=2①x−3y=4②，
①×3，得：15x+3y=6③，
③+②，得:16x=10，
解得：x=58，
把x=58代入①得：y=−98，
所以原方程组的解是x=58y=98．
【点睛】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，把某一个未知数的系数化为相等或互为相反数是解决本题的关键．
6．（2023春·全国·七年级期中）用加减消元法解方程组：
(1)3x+y=−14x+2y=1；
(2)3x−2y=34x+y=15．
【答案】(1)x=−32y=72
(2)x=3y=3
【分析】（1）3x+y=−1①4x+2y=1②，①×2−②解得x，再把x值代入①即可解得y；
（2）3x−2y=3①4x+y=15②，①+②×2解得x，再把x值代入①即可解得y．
【详解】（1）解：3x+y=−1①4x+2y=1②，
①×2−②得：2x=−2−1，
解得x=−32，
将x=−32代入①得−92+y=−1，
解得y=72，
∴方程组的解为：x=−32y=72；
（2）解：3x−2y=3①4x+y=15②，
①+②×2得：11x=33，
解得x=3，
将x=3代入①得9−2y=3，
解得y=3，
∴方程组的解为：x=3y=3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
7．（2023春·全国·七年级期中）用加减消元法解方程组：
(1)3x−5y=−14x+5y=8；
(2)3x−2y+8y=4x3+y2=2．
【答案】(1)x=1y=45
(2)x=−125y=285
【分析】（1）用加减消元法求解，用①+②可消去y，得到关于x的一无一次方程，求出x值，再代入①②中任一方程，求出y值即可；
（2）用加减消元法求解，先化简方程组为3x+2y=4①2x+3y=12②，再用②×3−①×2可消去x，得到关于y的一无一次方程，求出y值，再代入①②中任一方程，求出x值即可．
【详解】（1）解：3x−5y=−1①4x+5y=8②
①+②，得7x=7，解得x=1，
将x=1代入②中，得4+5y=8
解得y=45，
∴原方程组的解为x=1y=45；
（2）解：原方程组可化为3x+2y=4①2x+3y=12②
由②×3−①×2，得5y=28
解得y=285
将y=285代入①中，解得x=−125
∴原方程组的解为x=−125y=285
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法求解二元一次方程组是解题的关键．
8．（2023春·全国·七年级期中）用加减消元法解下列方程组：
（1）4x−3y=14,5x+3y=31; （2）2x−5y=−21,4x+3y=23; （3）4x+7y=−19,4x−5y=17; （4）3x−1=y+5,5y−1=3x+5.
【答案】（1）x=5,y=2; （2）x=2,y=5; （3）x=12,y=−3; （4）x=5,y=7.
【分析】(1)利用加减消元法，将方程①+②，即可求解；
(2)利用加减消元法，将方程②-①×2，即可求解；
(3)利用加减消元法，将方程①-②，即可求解；
(4)方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：(1)4x−3y=14①5x+3y=31②
①+②得：9x=45，即x=5，把x=5代入①得：y=2，
则方程组的解为x=5y=2；
(2)2x−5y=−21①4x+3y=23②
②-①×2得：13y=65，即y=5，把y=5代入②得：x=2
则方程组的解为x=2y=5；
(3)4x+7y=−19①4x−5y=17②
①-②得：12y=-36，即y=-3，把y=-3代入①得：x=12
则方程组的解为x=12y=−3；
(4)3x−1=y+55y−1=3x+5
方程组整理得：3x−y=8①3x−5y=−20②
①-②得：4y=28，即y=7，
把y=7代入①得：x=5，
则方程组的解为x=5y=7．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，做题的关键是当未知数系数相等时将方程相减，未知数系数相反时将方程相加．
9．（2023春·山东烟台·七年级统考期末）用代入消元法和加减消元法两种方法解二元一次方程组：2x+y=2,8x+3y=9.
【答案】x=32y=−1
【分析】代入法：由2x+y=2得y=2−2x，再代入8x+3y=9消去y，解出x,再把x代入y=2−2x解出y，从而得到方程组的解；
加减法：先把2x+y=2两边同乘以3得6x+3y=6，再用8x+3y=9减去6x+3y=6消去y,解出x，再把x代入2x+y=2解出y，从而得到方程组的解．
【详解】解法一：代入法
由2x+y=2得y=2−2x①
把①代入8x+3y=9，得：2x=3
解得：x=32
把x=32代入① ，得y=−1
∴ 原方程组的解为x=32y=−1；
解法二：加减法
2x+y=2①8x+3y=9②
② −① ×3，得2x=3
解得：x=32
把x=32代入① ，得y=−1
∴ 原方程组的解为x=32y=−1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，熟练掌握代入法与加减消元法是解题关键．
【题型3 用整体换元法解二元一次方程组】
1．（2023春·四川巴中·七年级期末）已知关于x，y的方程组ax+by=10mx−ny=8的解是x=1y=2，求关于x，y的方程组12ax+y+13bx−y=1012mx+y−13nx−y=8的解．
【答案】x=4y=−2
【分析】利用令ℎ=12x+y，t=13x−y得到关于h，t的方程组，根据题意求得h，t，再求解即可．
【详解】解：令ℎ=12x+y，t=13x−y，代入方程组12ax+y+13bx−y=1012mx+y−13nx−y=8可得
关于ℎ，t的方程组aℎ+bt=10mℎ−nt=8，
因为关于x，y的方程组ax+by=10mx−ny=8的解是x=1y=2
则关于ℎ，t的方程组aℎ+bt=10mℎ−nt=8的解是ℎ=1t=2
则12x+y=113x−y=2，化简可得：x+y=2x−y=6
解得x=4y=−2
【点睛】此题考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是利用换元法对式子进行变形，得到12x+y=113x−y=2．
2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）解方程组2x−3y+2=05−2x+3y7+2y=9
【答案】x=5y=4
【分析】将①变形为2x−3y=−2③，再整体代入②中，即可求出y的值．再将y的值代入③，即可求出x的值，方程组得解．
【详解】解：2x−3y+2=0①5−2x+3y7+2y=9②
由①得，2x−3y=−2③，
代入②得5+27+2y=9，
解得y=4，
把y=4代入③得，2x−3×4=−2，
解得x=5．
故原方程组的解为x=5y=4．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，掌握“整体代入法”的步骤是解题关键．
3．（2023春·湖南长沙·七年级统考期末）方法迁移与运用：
(1)已知方程组3a−2b=114a+3b=9的解为a=3b=−1，则由3x+y−2x−y=114x+y+3x−y=9可得出x+y=______，x−y=______，从而求得x=______，y=______；
(2)解方程组3x+y+2x−y=362x+y−3x−y=24．
【答案】(1)3，−1，1，2；
(2)x=6y=6
【分析】（1）令x+y=a，x−y=b，将其代入3x+y−2x−y=114x+y+3x−y=9，即可得3a−2b=114a+3b=9，则根据a=3b=−1可得：x+y=3x−y=−1，解方程即可求解；
（2）采用换元法即可求解．
【详解】（1）令x+y=a，x−y=b，将其代入3x+y−2x−y=114x+y+3x−y=9，
即可得3a−2b=114a+3b=9，
∵方程组3a−2b=114a+3b=9的解为a=3b=−1，
可得：x+y=3x−y=−1，
解得：x=1y=2，
故答案为：3，−1，1，2；
（2）令x+y=a，x−y=b，将其代入3x+y+2x−y=362x+y−3x−y=24，
即可得3a+2b=362a−3b=24，
解得：a=12b=0，
∴x+y=12x−y=0，
即解得x=6y=6．
【点睛】此题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是第一问，要知道两个方程组之间的关系．
4．（2023春·江苏·七年级期中）解方程组x+y3+x−y2=12(x+y)−3x+3y=6．
【答案】x=32y=32
【分析】设x+y=m，x−y=n，则原方程组可变形为2m+3n=62m−3n=6，用加减消元法解得m=3n=0，得出x+y=3x−y=0，解得x=32y=32即可．
【详解】解：设x+y=m，x−y=n，
则原方程组可变形为m3+n2=12m−3n=6，整理可得2m+3n=62m−3n=6，
用加减消元法解得m=3n=0，
∴x+y=3x−y=0，
解得x=32y=32，
∴原方程组的解为x=32y=32．
【点睛】本题主要考查了加减法解二元一次方程组以及换元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和换元法是解题的关键．
5．（2023春·甘肃定西·七年级期末）解方程组2x−3y=22x−3y+57+2y=9．
【答案】x=7y=4
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程①代入方程②，得到1+2y=9，解得y=4，再将y=4代入①得：x=7，即可得出答案．
【详解】解：{2x−3y=2①2x−3y+57+2y=9②，
将①代入②得：1+2y=9，即y=4，，
将y=4，代入①得：x=7，
∴原方程组的解为：x=7y=4．
【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．
6．（2023·全国·七年级期中）解方程组：1x+1x+y=33x−1x+y=1．
【答案】x=1y=−0.5．
【分析】设1x=a，1x+y=b，把原方程组转化为二元一次方程组，求解后，再解分式方程即可．
【详解】解：设1x=a，1x+y=b，
则原方程组化为：a+b=3①3a−b=1②，
①+②得：4a=4，
解得：a=1，
把a=1代入①得：1+b=3，
解得：b=2，
即1x=11x+y=2，
解得：x=1y=−0.5，
经检验x=1y=−0.5是原方程组的解，
所以原方程组的解是x=1y=−0.5．
【点睛】本题考查了换元法解方程组，解题关键是抓住方程组的特征，巧妙换元，熟练的解二元一次方程组和分式方程，注意：分式方程要检验．
7．（2023春·浙江·七年级期中）若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=4，求方程组3a1(x−1)+b1(y+3)=4c13a2(x−1)+b2(y+3)=4c2的解．
【答案】方程组3a1(x−1)+b1(y+3)=4c13a2(x−1)+b2(y+3)=4c2的解为x=5y=13
【分析】将第二个方程组变形为第一个方程组的形式，从而得到3x−14=3y+34=4，求出x、y的值即可得到答案．
【详解】解：将方程组3a1(x−1)+b1(y+3)=4c13a2(x−1)+b2(y+3)=4c2的两个方程的两边同时除以4，得
a1⋅34(x−1)+b1⋅y+34=c1a2⋅3(x−1)4+b2⋅y+34=c2，
∵方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=4，
∴3x−14=3y+34=4，
解得：x=5y=13，
∴方程组3a1(x−1)+b1(y+3)=4c13a2(x−1)+b2(y+3)=4c2的解为x=5y=13．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能根据题意得出关于x、y的方程组3x−14=3y+34=4是解题的关键．
【题型4 用构造法解二元一次方程组】
1．（2023春·山西朔州·七年级期末）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题：解方程组19x+18y=17①17x+16y=15②时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便．
解：①−②得，2x+2y=2，所以x+y=1，③
将③×16，得16x+16y=16，④
②−④，得x=−1，由③，得y=2，
所以方程组的解是x=−1y=2．
(1)解方程组2019x+2018y=2017①2017x+2016y=2015②．
(2)猜想：下列关于x、y的方程组(a+2)x+(a+1)y=aax+(a−1)y=a−2的解是什么？
【答案】(1)x=−1y=2
(2)x=−1y=2
【分析】（1）根据题目信息，两个方程相减求出x+y的值，然后再利用加减消元法求解；
（2）根据题目信息以及（1）的结论猜想方程组的解．
【详解】（1）解：2019x+2018y=2017①2017x+2016y=2015②，
①−②得，2x+2y=2，
所以，x+y=1③，
将③×2016，得2016x+2016y=2016④，
②−④，得x=−1，
把x=−1代入③得，y=2，
∴方程组的解是x=−1y=2；
（2）猜想：关于x、y的方程组(a+2)x+(a+1)y=aax+(a−1)y=a−2的解是x=−1y=2．
理由：a+2x+a+1y=a①ax+a−1y=a−2②，
①−②得，2x+2y=2，
所以，x+y=1③，
将③×a−1，得a−1x+a−1y=a−1④，
②−④，得x=−1，
把x=−1代入③得，y=2，
∴方程组的解是x=−1y=2．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，仔细阅读题目信息，理清方程组求解的方法思路是解题的关键．
2．（2023秋·广西崇左·七年级期末）已知m、n满足23m+24n=3124m+23n=16，求(m+n)(m−n)的值．
【答案】−15
【分析】两式相加，求出m+n的值，两式相减，求出m−n的值，即可求出(m+n)(m−n)的值．
【详解】解：23m+24n=31①24m+23n=16②，
①+②得，47m+47n=47即m+n=1；
①−②得，−m+n=15即m−n=−15；
∴(m+n)(m−n)=1×−15=−15．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组问题，要熟练掌握，注意整体思想的应用．
3．（2023·全国·七年级期中）解方程组：2015x+2016y=2017①2016x+2017y=2018②．
【答案】x=−1y=2
【分析】根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法即可求解.
【详解】解：②−①，得x+y=1③，
由③，得x=1−y④，
把④代入方程①，得2015(1−y)+2016y=2017，
解这个方程，得y=2，
把y=2代入方程③，得x=−1，
所以原方程组的解为x=−1y=2．
【点睛】本题主要考查数值较大的二元一次方程组的解法，找出方程组中对应数值的关系是解题的关键．
4．（2023春·北京通州·七年级统考期末）解答题：
解方程组32x+35y=38①30x+33y=36②时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
①−②得2x+2y=2，所以x+y=1③，
③×35−①得3x=−3，
解得x=−1，从而y=2，
所以原方程组的解是x=−1y=2．
请你运用上述方法解方程组：2016x+2018y=20202019x+2021y=2023．
【答案】x=−1y=2
【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．
【详解】解：2016x+2018y=2020①2019x+2021y=2023②，
②−①得：3x+3y=3，
∴x+y=1③，
③×2018−①得：2x=−2，
解得：x=−1，
将x=−1代入③得：y=2，
∴原方程组的解为x=−1y=2．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．
5．（2023春·浙江·七年级期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组{14x+15y=16①17x+18y=19②时，由于x，y的系数及常数项的数值较大．如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量将会很大，且容易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
②－①得3x+3y=3，∴x+y=1③．
③×14得14x+14y=14④．
①－④得y=2，从而得x=−1．
∴原方程组的解是{x=−1y=2
(1)请运用上述方法解方程组{2015x+2016y=20172018x+2019y=2020．
(2)请直接写出方程组{998x+999y=10009998x+9999y=10000的解是______
(3)猜测关于x，y的方程组{mx+(m+1)y=m+2nx+(n+1)y=n+2(m≠n)的解，并加以验证．
【答案】(1){x=−1y=2.
(2){x=−1y=2.
(3){x=−1y=2.检验见解析
【分析】（1）先把两个方程相减得到x+y=1, 再利用加减法解方程即可；
（2）先把两个方程相减得到x+y=1, 再利用加减法解方程即可；
（3）先把两个方程相减得到x+y=1, 再利用加减法解方程即可；再把方程的解代入方程组中的两个方程进行检验即可．
【详解】（1）解：{2015x+2016y=2017①2018x+2019y=2020②
②-①得：3x+3y=3, 即x+y=1,
所以：2015x+2015y=2015③
①-③得：y=2,
∴x=−1,
∴方程组的解为：{x=−1y=2.
（2）{998x+999y=1000①9998x+9999y=10000②
②-①得：9000x+9000y=9000, 即x+y=1,
∴998x+998y=998③，
①-③得：y=2,
∴x=−1,
∴方程组的解为：{x=−1y=2.
（3）{mx+(m+1)y=m+2①nx+(n+1)y=n+2②
①-②得：(m−n)x+(m−n)y=m−n,
∵m≠n,
∴x+y=1,
∴mx+my=m③，
①-③得：y=2,
∴x=−1,
∴方程组的解为：{x=−1y=2.
把{x=−1y=2代入①，左边=−m+2m+2=m+2=右边，
把{x=−1y=2代入②，左边=−n+2n+2=n+2=右边，
所以{x=−1y=2是方程组的解．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“根据方程组的系数特点选择合适的解法步骤”是解本题的关键．
6．（2023春·福建泉州·七年级期末）解方程组32x+35y=38①30x+33y=36②时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：
解：①-②得2x+2y=2，所以x+y=1③．
③×35-①得3x=−3，解得x=−1，则y=2．
所以原方程组的解是x=−1y=2．
请你运用上述方法解方程组：1009x+1007y=2019①1011x+1013y=2021②．
【答案】x=2.5y=−0.5
【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．
【详解】解：{1009x+1007y=2019①1011x+1013y=2021②，
①+②得：2020x+2020y=4040，
即x+y=2③，
③×1007-①得：−2x=−5，
解得：x=2.5，
将x=2.5代入③得：y=−0.5，
∴原方程组的解为{x=2.5y=−0.5．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．