中考数学一轮复习：专题3.14 一次方程与方程组章末十六大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习：专题3.14 一次方程与方程组章末十六大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（解析版），共60页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc310" 【题型1 解含参数的一元一次方程】 PAGEREF _Tc310 \h 1
\l "_Tc7698" 【题型2 整体代入法解一元一次方程】 PAGEREF _Tc7698 \h 3
\l "_Tc23506" 【题型3 解含绝对值的一元一次方程】 PAGEREF _Tc23506 \h 6
\l "_Tc24395" 【题型4 利用一元一次方程解决规律问题】 PAGEREF _Tc24395 \h 8
\l "_Tc29094" 【题型5 一元一次方程中的动点问题】 PAGEREF _Tc29094 \h 13
\l "_Tc11117" 【题型6 一元一次方程中的数形结合问题】 PAGEREF _Tc11117 \h 17
\l "_Tc5635" 【题型7 一元一次方程的新定义问题】 PAGEREF _Tc5635 \h 24
\l "_Tc3895" 【题型8 一元一次方程的应用】 PAGEREF _Tc3895 \h 30
\l "_Tc13989" 【题型9 二元一次方程的整数解】 PAGEREF _Tc13989 \h 34
\l "_Tc3433" 【题型10 由方程组的错解问题求参数的值】 PAGEREF _Tc3433 \h 36
\l "_Tc20325" 【题型11 解含参数的二元一次方程组】 PAGEREF _Tc20325 \h 38
\l "_Tc28228" 【题型12 根据二元一次方程方程有公共解求解】 PAGEREF _Tc28228 \h 40
\l "_Tc31780" 【题型13 整体思想解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc31780 \h 43
\l "_Tc2112" 【题型14 二元一次方程组的新定义问题】 PAGEREF _Tc2112 \h 47
\l "_Tc8994" 【题型15 二元一次方程组的规律探究】 PAGEREF _Tc8994 \h 50
\l "_Tc13189" 【题型16 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc13189 \h 54
【题型1 解含参数的一元一次方程】
【例1】已知关于x的一元一次方程x2023+a=2023x的解是x=2022，关于y的一元一次方程b2023+2023c=−a的解是y=−2021（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（ ）
A．b=−y−1,c=y+1B．b=1−y,c=y−1
C．b=y+1,c=−y−1D．b=y−1,c=1−y
【答案】B
【分析】根据x=2022，y=−2021得到x=1−y，得到1−y2023+2023y−1=−a的解为y=−2021，类比b2023+2023c=−a得到答案．
【详解】∵x=2022，y=−2021得到x=1−y，
∴1−y2023+2023y−1=−a的解为y=−2021，
∵方程b2023+2023c=−a的解是y=−2021，
∴b=1−y,c=y−1，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
【变式1-1】已知关于x的方程kx−2x=5的解为正整数，则整数k的值为 ．
【答案】3或7．
【分析】解方程用含有k的式子表示x，再根据5除以几得正整数，求出整数k．
【详解】解：kx−2x=5，
解得，x=5k−2，
∵k为整数，关于x的方程kx−2x=5的解为正整数，
∴k-2=1或k-2=5，
解得，k=3或k=7，
故答案为：3或7．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解题关键是根据方程的解为正整数，k为整数，确定未知数的系数的值．
【变式1-2】已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程kx−a3=1−2x+bk2的解总是x＝2，则ab= ．
【答案】−4
【分析】根据一元一次方程的解法，去分母并把方程整理成关于a、b的形式，然后根据方程的解与k无关分别列出方程求解即可．
【详解】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx-a）=6-3（2x+bk），
∴2kx-2a=6-6x-3bk，
整理得（2x+3b）k+6x=2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2，
∴2a+6=6×2，2×2+3b=0，
解得a=3，b=−43，
∴ab=3×(−43)=−4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，根据方程的解与k无关，则k的系数为0列出方程是解题的关键．
【变式1-3】已知关于x的方程x−2−ax6=x3−2有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（ ）
A．−23B．23C．−34D．34
【答案】C
【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将a的值算出，最后相加即可得出答案．
【详解】解：x−2−ax6=x3−2
去分母，得6x−2−ax=2x−12
去括号，得6x−2+ax=2x−12
移项、合并同类项，得4+ax=−10
将系数化为1，得x=−104+a
∵ x=−104+a是非负整数解
∴a=−5或−6，−9，−14时，x的解都是非负整数
则−5+−6+−9+−14=−34
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．
【题型2 整体代入法解一元一次方程】
【例2】已知关于x的一元一次方程12020x+3=2x+b的解为x=2，那么关于的y一元一次方程12020(y−1)=2y+b−5解为 ．
【答案】y=3．
【分析】将方程12020x+3=2x+b变形为12020(y−1)+3=2(y−1)+b，在根据方程12020x+3=2x+b的解为x=2得到2=y−1，即可求解．
【详解】解：将关于y的一元一次方程12020(y−1)=2y+b−5变形为12020(y−1)+3=2y+b−2，
即12020(y−1)+3=2(y−1)+b，
∵一元一次方程12020x+3=2x+b，
∴x=y−1，
∵x=2，
∴2=y−1，
∴y=3．
故答案为： y=3 ．
【点睛】本题考查了换元法解一元一次方程，将关于y的一元一次方程12020(y−1)=2y+b−5变形为12020(y−1)+3=2(y−1)+b是解题关键．
【变式2-1】在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程32x−1−3(2x−1)+3=5时，把2x−1看作一个整体．
令a=2x−1，得：3a−(3a+3)=5，
去括号，得：3a−9a−9=5，
合并同类项，得：−6a=14，
系数化为1，得：a=−73，
故2x−1=−73，解得x=−23．
阅读以上材料，请用同样的方法解方程：42(x+2)−12(2x+4)+5=1.
【答案】x=134
【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可．
【详解】解：令a=x+2，则2a=2x+4，
原方程得：42a−(12×2a+5)=1，
去括号，得：4a-20=1，
移项，得：4a=21，
系数化为1，得：a=214．
故x+2=214，
解得x=134．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．
【变式2-2】在解方程3x+1−13x−1=2x−1−12x+1时，可先将x+1，x−1分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程72x+1=73(x−1)，然后再继续求解，这种方法叫做整体求解法，请用这种方法解方程：
(1)7x+3+4=24−3x+3；
(2)52x+3−34x−2=2x−2−122x+3．
【答案】(1)x=−1
(2)x=−83
【分析】（1）将x+3看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．
（2）将2x+3、x−2分别看成一个整体，移项、合并同类项、系数化成1即可．
【详解】（1）移项，得7x+3+3x+3=24−4，
整体合并，得10x+3=20，
即x+3=2，解得x=−1.
（2）52x+3−34x−2=2x−2−122x+3.
移项、合并同类项得1122x+3=114x−2，
去分母，得222x+3=11x−2，
去括号，得44x+66=11x−22，
移项、合并同类项，得33x=−88，
解得x=−83.
【点睛】本题考查了解一元一次方程的应用，解决本题的关键是要注意用了整体代入思想．
【变式2-3】当x＝1时，式子ax3+bx+1的值是2，则方程ax+12+2bx−34=x4的解是 _____．
【答案】x＝1
【分析】把x＝1代入代数式，使其值为2，求出a+b的值，方程变形后代入计算即可求出解．
【详解】解：把x＝1代入得：a+b+1＝2，即a+b＝1，
方程去分母得：2ax+2+2bx﹣3＝x，
整理得：（2a+2b﹣1）x＝1，
即[2（a+b）﹣1]x＝1，
把a+b＝1代入得：x＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【题型3 解含绝对值的一元一次方程】
【例3】若关于x的方程x−2−1=a有三个整数解，则a的值是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质可得|x−2|−1=±a,然后讨论x≥2及x<2的情况下解的情况，再根据方程有三个整数解可得出a的值．
【详解】解：①若|x−2|−1=a,
当x≥2时，x−2−1=a,解得：x=a+3，a≥−1；
当x<2时，2−x−1=a,解得：x=1−a；a>−1；
②若|x−2|−1=−a,
当x≥2时，x−2−1=−a,解得：x=−a+3，a≤1；
当x<2时，2−x−1=−a,解得：x=a+1，a<1；
又∵方程有三个整数解，
∴可得：a=−1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．
即a只能取1．
故选：B．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，掌握绝对值的性质及不等式的解集的求法是关键．
【变式3-1】方程x−3x+1=2的解为x= ．
【答案】12或−34
【分析】由绝对值的性质可得出3x+1=x±2，从而可分类讨论：①当3x+1=x−2时和②当3x+1=x+2时，再根据方程有意义可得出x的取值范围，最后再次根据绝对值的性质解方程即可．
【详解】解：∵x−3x+1=2
∴x−3x+1=±2，
∴3x+1=x±2；
分类讨论：①当3x+1=x−2时，
∵方程有意义，
∴x−2≥0，
解得：x≥2，
∴3x+1≥7，
∴3x+1=x−2
解得，x=−32，舍去；
②当3x+1=x+2时，
∵方程有意义，
∴x+2≥0，
解得：x≥−2，
∴3x+1=±(x+2)，即3x+1=x+2或3x+1=−x−2，
解得：x=12或x=−34．
故答案为：12或−34．
【点睛】本题考查绝对值的性质，解一元一次方程．根据绝对值的性质去绝对值是解题关键．
【变式3-2】设y1=2+x，y2=2−x，当y1=y2时，x的取值范围是 ．
【答案】−2≤x≤0
【分析】根据题意，得到2+x=2−x，即2+x+x=2，由绝对值的代数意义分情况讨论去掉绝对值，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ y1=2+x，y2=2−x，当y1=y2时，
∴ 2+x=2−x，即2+x+x=2，
当x≤−2时，2+x<0,x<0，则−2+x−x=2，即2x=−4，解得x=−2；
当−20,x<0，则2+x−x=2恒成立，即−2当x≥0时，2+x>0,x≥0，则2+x+x=2，即2x=0，解得x=0；
综上所述，当y1=y2时，x的取值范围是−2≤x≤0，
故答案为：−2≤x≤0．
【点睛】本题考查含绝对值方程的解法，熟记绝对值的代数意义去绝对值是解决问题的关键．
【变式3-3】解方程：|3x+1|−|1−x|=2．
【答案】−13⩽x<1时，x=12；x<−13时x=−2
【分析】令3x+1=0，1−x=0，得x=−13，x=1，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求x值.
【详解】解：①当x⩾1时，3x+1+1−x=2，
x=0，不存在；
②当−13⩽x<1时，3x+1+x−1=2，x=12；
③当x<−13时，−3x−1−1+x=2，x=−2，
∴|3x+1|−|1−x|=2的解是−13⩽x<1时，x=12；x<−13时x=−2．
【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将x的值分段去绝对值解方程．
【题型4 利用一元一次方程解决规律问题】
【例4】如图，某链条每节长为2.8cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm，按这种连接方式，完成下面各题．
(1)2节链条的总长度为______cm；3节链条的总长度为______cm；4节链条的总长度为______cm；
(2)根据上述规律，n节链条的总长度为多少cm；（用含n的式子表示，不用说理）
(3)一根链条的总长度能否为73cm？若能，请求出该链条由几节组成；若不能，请说明理由．
【答案】(1)4.6 6.4；8.2
(2)1.8n+1cm
(3)能，由40节组成
【分析】（1）结合图形计算即可；
（2）根据（1）中规律求解即可；
（3）利用（2）中结论列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
1节链条的长度=2.8cm，
2节链条的总长度=[2.8+(2.8−1)]=4.6cm，
3节链条的总长度=[2.8+(2.8−1)×2]=6.4cm，
4节链条的总长度=[2.8+(2.8−1)×3]=8.2cm，
故答案为：4.6；6.4；8.2；
（2）根据（1）可得，n节链条的总长度为2.8+2.8−1n−1=1.8n+1cm；
（3）一根链条的总长度可以为73cm，
设该链条由x节组成，根据题意得1.8x+1=73，
解得x=40，
∴总长度为73cm的链条由40节组成．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类、解一元一次方程，从图形找规律是解题的关键．
【变式4-1】观察下面有规律排列的三行数：

(1)第一行数中，第7个数是______，第8个数是______
(2)观察第二行、第三行数与第一行数的关系，解决下列问题：
①第二行数中，第7个数是______，第三行数中，第7个数是______；
②取每行数的第2022个数，计算这三个数的和是______；
③如图，在第二行、第三行数中，用两个长方形组成“阶梯形”方框，框住4个数，左右移动“阶梯形”方框，是否存在框住的4个数的和为−5118，若存在，求这四个数中最左边的数，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)−128，256
(2)①−129，258；②1；③1023
【分析】（1）根据已知数据都是前一个数乘2得到的，再利用第奇数个系数为负求解即可；
（2）①根据第二行的数比第一行的数小1，第三行的数等于第二行的数乘以−2，即可求解；
②根据第一行的第n个数为−2n，第二行的数为−2n−1，第三行的数为−2n+1+2，可得−22022+−22022−1+−22023+2，再进行求解即可；
③设第二行最左边的数为x−1，则其第二个数为−2x−1，第三行第一个数为−2−2x−1=4x+2，第二个数为−24x−1=−8x+2，再列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，第7个数是−128，第8个数是256，
故答案为：−128，256；
（2）解：①由题意可得，∵−128−1=−129，−129×−2=258，
∴第二行数中，第7个数是−129，第三行数中，第7个数是258，
故答案为：−129，258；
②∵第一行的第n个数为−2n，第二行的数为−2n−1，第三行的数为−2n+1+2，
∴第一行的第2022个数为−22022，第二行的第2022个数为−22022−1，第三行的第2022个数为−22023+2，
∴−22022+−22022−1+−22023+2
=−22022+−22022+−22023+1
−220221+1−2+1
=1，
故答案为：1；
③设第二行最左边的数为x−1，则其第二个数为−2x−1，第三行第一个数为−2−2x−1=4x+2，第二个数为−24x−1=−8x+2，
∴x−1+−2x−1+4x+2+−8x+2=−5118，
解得x=1024，
∴x−1=1023，
答：这四个数中最左边的数为1023．
【点睛】本题考查数字规律型、用字母表示数、解一元一次方程，观察数据的规律，弄清数量关系列方程是解题的关键．
【变式4-2】如上表，方程①、方程②、方程③、方程④．．．．是按照一定规律排列的一列方程：
(1)将上表补充完整，
(2)按上述方程所包含的某种规律写出方程⑤及其解；
(3)写出表内这列方程中的第n（n为正整数）个方程和它的解．
【答案】(1)2，4
(2)x=6
(3)x=2n−2
【分析】（1）求解方程③和④可得解；
（2）按照方程根的规律列出方程即可；
（3）先按照规律列出方程的第n个方程，再求解并检验．
【详解】（1）解：第3个方程2x−2−3x−3=3，
−x=−2，
∴x=2，
第4个方程2x−2−3x−4=4，
−x=−4，
∴x=4，
故答案为：2，4
（2）解：方程①2x−2−3x−1=1，其解为x=2×1−2=−2；
方程②2x−2−3x−2=2，其解为x=2×2−2=0；
方程③2x−2−3x−3=3，其解为x=2×3−2=2；
方程④2x−2−3x−4=4，其解为x=2×4−2=4；
∴方程⑤为2x−2−3x−5=5，其解为x=6；
（3）由上表可得每个方程的左边是2项的差，第一项是2x−2，第2项是−3x−n，右边是n，方程的解为x=2n−2，
∴第n（n为正整数）个方程为2x−2−3x−n=n，方程的解为x=2n−2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练求解一元一次方程是解题的关键．
【变式4-3】某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．

(1)第4个图案L4有白色地砖__________块地砖；第n个图案Ln有白色地砖__________块地砖（用含n的代数式表示）；
(2)已知L1的长度为3米，L2的长度为5米，…，Ln的长度为2023米，求图案Ln中白色正方形地砖有多少块．
【答案】(1)15；3n+3
(2)3036
【分析】（1）由题意知，第1个图案L1有白色地砖3×2=6块地砖；第2个图案L2有白色地砖3×3=9块地砖；第3个图案L3有白色地砖3×4=12块地砖；第4个图案L4有白色地砖3×5=15块地砖；⋯⋯，可推导一般性规律为：第n个图案Ln有白色地砖3n+1=3n+3块地砖，然后进行作答即可；
（2）由L1的长度为1+2=3 米；L2的长度为2+3=5米；⋯⋯，可推导一般性规律：Ln的长度为n+n+1=2n+1 米；∴令2n+1=2023，解得，n=1011，然后根据L1011中白色正方形地砖有3n+3=3×1011+3，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，第1个图案L1有白色地砖3×2=6块地砖；
第2个图案L2有白色地砖3×3=9块地砖；
第3个图案L3有白色地砖3×4=12块地砖；
第4个图案L4有白色地砖3×5=15块地砖；
⋯⋯
∴可推导一般性规律为：第n个图案Ln有白色地砖3n+1=3n+3块地砖；
故答案为：15；3n+3；
（2）解：∵L1的长度为1+2=3 米；
L2的长度为2+3=5米；
⋯⋯，
∴可推导一般性规律：Ln的长度为n+n+1=2n+1 米；
∴令2n+1=2023，解得，n=1011，
∴L1011中白色正方形地砖有3n+3=3×1011+3=3036（块），
∴图案Ln中白色正方形地砖有3036块．
【点睛】本题考查了图形的规律探究，一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．
【题型5 一元一次方程中的动点问题】
【例5】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．

(1)当点P在AB上时，t=______时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
(2)当点P在AB上时，t=______时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？
(3)当点P在所有运动过程中，连接PC或PB，求当t为何值时，△BCP的面积为12？
【答案】(1)6
(2)6.5
(3)t为2或6.5秒时，△BCP的面积为12
【分析】（1）先求出△ABC的周长为24，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12，再根据时间=路程÷速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上，根据三角形面积公式进行计算即可求解．
【详解】（1）解：△ABC中，∵AC=8，BC=6，AB=10，
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，
点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，
∴2t=12，解得t=6．
故答案为：6；
（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
此时CA+AP=8+5=13cm，
∴2t=13，解得t=6.5．
故答案为：6.5；
（3）解：分两种情况：①当P在AC上时，

∵△BCP的面积=12，
∴12×6×CP=12，
∴CP=4，
∴2t=4，则t=2；
②当P在AB上时，

∵△BCP的面积=12=△ABC面积的一半，
∴P为AB中点，
∴2t=13，则t=6.5．
故t为2或6.5秒时，△BCP的面积为12．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
【变式5-1】如图，在△ABC中，AB=20 cm，AC=12 cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其2中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是以A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是（ ）

A．2.5秒B．3秒C．3.5秒D．4秒
【答案】D
【分析】根据AP=AQ即可求解．
【详解】解：设运动时间为t秒时，△APQ是以A为顶角的等腰三角形
即AP=AQ
∵AP=20−3t,AQ=2t
∴20−3t=2t
解得：t=4
故选：D
【点睛】本题考查了一元一次方程的简单应用．抓住AP=AQ是解题关键．
【变式5-2】如图，在长方形ABCD中，AB=CD=4cm，AD=BC=3cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，点P以每秒1cm的速度沿长方形的边运动，方向为A→B→C最终到达点C停止，设点P运动的时间为t秒；

(1)试用含t的式子表示线段BP的长；
(2)求出当t为何值时，三角形AEP的面积等于5cm2．
【答案】(1)当P在AB上时，BP=4−tcmt≤4
当P在BC上时，BP=t−4cmt>4
(2)当t为103或5时，三角形AEP的面积等于5cm2
【分析】（1）根据题意及线段的和差分两种情况求解即可得出答案；
（2）分当P在AB上时及当P在BC上时两种情况分别画出图形，利用三角形的面积公式计算即可得出答案．
【详解】（1）解：当P在AB上时，BP=4−tcmt≤4
当P在BC上时，BP=t−4cmt>4
（2）解：①当P在AB上时，如图

∵△APE的面积等于5，
∴12t⋅3=5，
解得t=103．
②当P在BC上时，如图

∵△APE的面积等于5，
∴S矩形ABCD−S△CPE−S△ADE−S△ABP=5，
即4×3−12[3−(t−4)]×12×4−12×3×12×4−12×4×(t−4)=5，
解得t=5．
当t为103或5时，三角形AEP的面积等于5cm2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．
【变式5-3】如图，在长方形ABCD中，AD=32cm，AB=15cm．动点P从点A出发，沿线段AB，BC向点C运动，速度为3cm/s；动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为2cms，当点P运动到点C时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间是ts．

(1)当点P在AB上运动时，用含t的代数式表示下列线段的长度AP=_________ BQ=_________ PB= _________
(2)当点P在AB上运动时，t为何值，能使PB=BQ？
(3)点P能否追上点Q？如果能，求出t的值：如果不能，说明理由．
【答案】(1)3t， 2t，15−3t
(2)3秒
(3)能，15
【分析】（1）由动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，速度为2cms，得BQ=2t；由点P从点A出发在AB上运动，速度为3cm/s，得BP=15−3tcm，于是得到问题的答案；
（2）由点P在AB上运动，且BP=BQ，得15−3t=2t，解方程求出t的值即可；
（3）先假设能够追上列方程，再解方程并检验即可．
【详解】（1）解：根据题意得AP=3t，BQ=2t，AB=15cm，AD=BC=32cm，
当点P在AB上运动，则BP=15−3tcm．
（2）当BP=BQ时，则15−3t=2t， 解得t=3，
∴当t的值是3时，BP=BQ．
（3）假设点P能追上点Q，则有3t−2t=15，解得t=15；
当t=15时，3t=45<15+32=47，
所以，当t=15，点P能追上点Q．
【点睛】本题考查的是列代数式，一元一次方程的应用，理解题意，列出正确的代数式与方程是解本题的关键．
【题型6 一元一次方程中的数形结合问题】
【例6】如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是－20，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止．（点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒）

(1)在点M到达B点前，
①经过______秒M、N之间间隔6个单位长度：
②经过______秒原点刚好位于M、N的最中间；
③经过______秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离（即BM=AN）；
(2)当动点M到达点B后，点N开始改变速度以a个单位长度/秒的速度继续运动，4秒后，M、N两点之间相距4个单位长度，求a的值．
【答案】(1)①6；②8；③12
(2)a=1或a=3或a=7或a=9．
【分析】（1）设运动时间为t，依题意，点M表示的数为−20+3t，点N表示的数为−20+2t，①根据MN=6，列方程，即可求解；
②根据MO=NO，列出一元一次方程，解方程，即可求解；
③根据BM=AN，列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）分情况讨论，①当a<5时，点M返回时，4秒后M表示的数为40−4×3=28，点N表示的数为20+4a，②当a>5时，则N点到达B点时返回，点M继续运动，4秒后M表示的数为40−4×3=28，点N表示的数为20+40−4a=60−4a，根据题意，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设运动时间为t，依题意，点M表示的数为−20+3t，点N表示的数为−20+2t，
①∵−20+3t>−20+2t
∴MN=6时，即−20+3t−−20+2t=6
解得t=6，
故答案为：6．
②当原点刚好位于M、N的最中间，即−20+3t=0−−20+2t
解得：t=8
故答案为：8．
③当BM=AN时，40−−20+3t=−20+2t−−20
解得：t=12，
故答案为12；
（2）当动点M到达点B后，此时−20+3t=40
解得：t=20
此时点N表示的数为−20+2×20=20，

①当M返回时，4秒后M表示的数为40−4×3=28，点N表示的数为20+4a，
当20+4a<40，即a<5，
依题意，20+4a−28=4，
解得：a=1或a=3；
②当a>5时，则N点到达B点时返回，点M继续运动，4秒后M表示的数为40−4×3=28，点N表示的数为20+40−4a=60−4a
依题意，60−4a−28=4，
解得：a=7或a=9；
综上所述，a=1或a=3或a=7或a=9．
【点睛】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键．
【变式6-1】如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)数轴上点B表示的数是________，当t=2s时，点P表示的数是________；
(2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【答案】(1)−4，−6
(2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可解答；
（2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解．
【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA=6，
则OB=AB−OA=4，
∵点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为−4；
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴点P运动t秒的长度为6t，
∴P所表示的数为：6−6t；
当t=2s时，点P表示的数是6−6×2=−6；
故答案为：−4，−6；
（2）解：①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t=10+4t，解得t=5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②当P不超过Q时，则10+4t−6t=8，解得t=1；
当P超过Q时，则10+4t+8=6t，解得t=9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
【变式6-2】如图①，在数轴上，点O为坐标原点，点A、B、C、D表示的数分别是−8、3、9、13．动点P、Q同时出发，动点P从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向点C运动，当点P运动到点C后，立即按原来的速度返回．动点Q从点C出发，沿数轴以每秒1个単位的速度向终点D运动．当点Q到达点D时，点P也停止运动，设点P的运动时间为tt>0秒．

(1)点A与原点O的距离是______．
(2)点P从点B向点C运动过程中，点P与原点O的距离是______（用含t的代数式表示）．
(3)点P从点B向点C运动过程中，当点P与原点O的距离恰好等于点P与点Q的距离时，求t的值．
(4)在点P、Q的整个运动过程中，若将数轴在点O和点P处各折一下，使点Q与点A重合，如图②所示，当所构成的三角形OPQ中恰好有两条边相等时，直接写出t的值．
【答案】(1)8
(2)2t+3
(3)t=1
(4)1，52，72
【分析】（1）由点A表示的数是−8，得OA=|−8|=8，于是得到问题的答案；
（2）由OB=|3|=3，BP=2t，得OP=BP+OB=2t+3，于是得到问题的答案；
（3）当点P与点C重合时，则2t=9−3，求得t=3，当点P从点B向点C运动时，0≤t≤3，由OP=2t+3，PQ=9+t−(2t+3)=6−t，且OP=PQ，得2t+3=6−t，求得t=1；
（4）当点Q与点D重合时，则t=13−9=4，所以0≤t≤4，当点P从点C按原来的速度返回时，点P表示的数是9−2(t−3)，即15−2t(3【详解】（1）解： ∵点A表示的数是−8，
∴OA=|−8|=8，
故答案为：8．
（2）∵点B表示的数是3，
∴OB=|3|=3，
∵BP=2t，
∴OP=BP+OB=2t+3，
故答案为：2t+3．
（3）当点P与点C重合时，则2t=9−3，
解得t=3，
∴当点P从点B向点C运动时，0≤t≤3，
∵点P表示的数是2t+3，点Q表示的数是9+t，且点Q在点P右侧，
∴PQ=9+t−(2t+3)=6−t，
∵OP=2t+3，且OP=PQ，
∴2t+3=6−t，
解得t=1，
∴t的值是1．
（4）t的值是52或72或1，理由如下：
当点Q与点D重合时，则t=13−9=4，
∴0≤t≤4，
∴当点P从点C按原来的速度返回时，点P表示的数是9−2(t−3)，即15−2t(3∴OP=15−2t，PQ=9+t−(15−2t)=3t−6，
∴三角形OPQ的三边长分别为OQ=OA=8，OP=2t+3，PQ=6−t，或OP=15−2t，PQ=3t−6，
当OP=OQ时，则2t+3=8或15−2t=8，
解得t=52或t=72；
当OP=PQ且点P从点B向点C运动时，由（3）得t=1；
当OP=PQ且点P从点C按原来的速度返回时，则15−2t=3t−6，
解得t=215，不符合题意，舍去；
当PQ=OQ=8且点P从点B向点C运动时，则6−t=8，
解得t=−2，不符合题意，舍去；
当PQ=OQ=8且点P从点C按原来的速度返回时，则3t−6=8，
解得t=143，不符合题意，舍去，
综上所述，t的值是52或72或1．
【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地用代数式表示点P和点Q对应的数是解题的关键．
【变式6-3】将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”，图中点A表示−10，点B表示10，点C表示18．我们称点A和点C在数轴上的“友好距离”为28个单位长度．动点P从点A出发，以2单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为原来的一半．经过点B后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向其负方向运动，当运动到点B与点O之间时速度变为原来的两倍，经过O后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．

(1)动点P从点A运动至点C需要 秒，动点Q从点C运动至点A需要 秒；
(2)P，Q两点相遇时，求出相遇点M在“折线数轴”上所对应的数；
(3)是否存在t值，使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)19，23
(2)163
(3)存在；t的值为83秒或533秒
【分析】（1）先求出AC、QC的长度，再根据路程除以速度等于时间即可解答；
（2）根据相遇时，点P和点Q所用的时间相等，列方程即可解答；
（3）由路程、速度、时间三者关系，根据PQ=AB列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，动点P从点A运动至点C需要的时间是：10÷2+10÷1+8÷2=19（秒），动点Q从点C运动至点A需要的时间是：10÷1+10÷2+8÷1=23（秒）；
（2）解：根据题意可知，P、Q两点在OB上相遇于M点，设OM=x,
则10÷2+x÷1=8÷1+10−x÷2，
解得x=163，
即点M在“折线数轴”上所对应的数是163；
（3）解：设存在t使得点P和点Q任“折线数轴”上的“友好距离”等于点A和点B在“折线数轴”上的“友好距离”，即PQ=AB，
当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得：10−2t+10+8−t=20，解得t=83；
当点P、Q两点都在OB上运动时，PQ当P在BC上，Q在OA上运动时，依题意得：t−18−10−10÷2+10+2t−10÷2−10÷1=20，解得t=533；
∴存在，t的值为83秒或533秒．
【点睛】本题主要考查了数轴与有理数的关系、一元一次方程在数轴上的应用以及路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握一元一次方程的应用是解答本题的关键．
【题型7 一元一次方程的新定义问题】
【例7】已知x＝m与x＝n分别是关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）的解．
（1）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与方程6x-7＝4x-5的解相同，求m的值；
（2）当n＝1时，求代数式3c2+cd+2c-2（12cd+32c2-d）的值；
（3）若|m-n|=12，则称关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）为“差半点方程”．试判断关于x的方程4042x−92=9×2020﹣2020t+x，与4040x+4＝8×2021﹣2020t﹣x，是否为“差半点方程”，并说明理由．
【答案】（1）m＝1；（2）0；（3）是“差半点方程”，理由见解析．
【分析】（1）解方程6x-7＝4x-5，结合题意，即可求出m的值；
（2）根据方程解的定义求得c+d＝0，然后化简代数式，把c+d＝0代入即可求得代数式的值；
（3）分别解出两个一元一次方程的解（都用t的式子来表示），求出两个解的差绝对值即可．
【详解】（1）6x-7＝4x-5
解得：x＝1
∵关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与方程6x-7＝4x-5的解相同，
∴m＝1；
（2）∵x＝1是关于x的方程cx+d＝0（c≠0）的解
∴c+d＝0
则3c2+cd+2c-2（12cd+32c2-d）
＝3c2+cd+2c-cd-3c2+2d
＝2c+2d
＝2（c+d）
＝0；
（3）4042x−92=9×2020-2020t+x
解得：x=9×2020−2020t+924041
4040x+4＝8×2021-2020t-x
解得：x=8×2021−2020t−44041
∵9×2020−2020t+924041−8×2021−2020t−44041
=9×2020+92−8×2020+1+44041
=2020+92−44041
=40414041×12
=12
∴关于x的方程4042x−92=9×2020-2020t+x与4040x+4＝8×2021-2020t-x是“差半点方程”．
【点睛】本题考查了一元一次方程、绝对值、有理数混合运算、整式加减的知识；准确把握题意和熟知解一元一次方程的知识是解决本题的关键．
【变式7-1】定义：若整数k的值使关于x的方程x+42+1=kx的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”.
(1)判断当k=1时是否为方程x+42+1=kx的“友好系数”，写出判断过程；
(2)方程x+42+1=kx“友好系数”的个数是有限个数，还是无穷多？如果是有限个数，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由．
【答案】(1)1
(2)有限个，分别为1，0，2，-1
【分析】（1）把k=1代入x+42+1=kx，解方程得x=6，根据“友好系数”定义即可求解；
（2）解关于x方程x+42+1=kx得x=62k−1，得到当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x为整数，求出k的值为：1，0，32，−12，2，-1，72，−52，根据友好系数”定义得k的值为1，0，2，-1.，从而得到结论．
【详解】（1）解：当k=1时，原方程化为：x+42+1=x，
整理得：x+6=2x，
解得：x=6，
即当k=1时，方程的解为整数．
根据新定义可得：k=1是方程x+42+1=kx的“友好系数”；
（2）解：x+42+1=kx，
去分母得：x+4+2=2kx，
整理得：2k−1x=6，
方程的解为：x=62k−1，
当2k−1=±1，2k−1=±2，2k−1=±3，2k−1=±6时，满足方程的解x为整数，
此时k的值为：1，0，32，−12，2，-1，72，−52，
经检验，取上述k的值，2k−1均不为0，
其中k为整数才称为“友好系数”，所以k的值为：1，0，2，-1．
所以方程x+42+1=kx“友好系数”的个数是有限个，
分别为1，0，2，-1．
【点睛】本题为新定义问题，考查了一元一次方程的解法，理解新定义“友好系数”，正确解出含有字母系数的一元一次方程是解题关键，注意当x=62k−1时，若x为整数，则2k−1为6的整数因数．
【变式7-2】我们规定：若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b+a，则称该方程为“和解方程”．例如：方程2x=−4的解为x=−2，而−2=−4+2，则方程2x=−4为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
(1)下列关于x的一元一次方程是“和解方程”的有 ．
①12x=−12；②−3x=94；③5x=−2．
(2)已知关于x的一元一次方程2x+2=−m是“和解方程”，求m的值；
(3)若关于x的一元一次方程3x=mn+m和−3x=mn+n都是“和解方程”，求代数式5−4m+4n的值．
【答案】(1)②
(2)m=0
(3)32
【分析】（1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可；
（2）先解方程得出方程的解，再根据和解方程的含义建立方程即可求得答案；
（3）根据和解方程得出方程的解与m−n=−92−94=−274，再整体代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：①12x＝−12的解是x=−1，
∵−1≠12+−12=0，
∴①不是“和解方程”；
②−3x=94的解是x=−34，
∵−34=−3+94，
∴②是“和解方程”；
③5x=−2的解是x=−25，
∵−25≠−2+5=3，
∴③不是“和解方程”；
故答案为：②．
（2）∵2x+2=−m，
∴x+2=−m2，
∴x=−m2−2，
∵2x+2=−m即2x=−4−m是“和解方程”，
∴2−4−m=−m2−2，
∴m=0；
（3）∵3x=mn+m，
∴x=13mn+m，
而3x=mn+m是“和解方程”，
∴3+mn+m=13mn+m，
∴mn+m=−92，（①式）
∵−3x=mn+n，
∴x=−13mn+n，
而−3x=mn+n是“和解方程”，
∴−3+mn+n=−13mn+n，
∴mn+n=94，（②式），
由①-②得：m−n=−92−94=−274，
∴5−4m+4n
=5−4m−n
=5−4×−274
=5+27
=32．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，新定义运算，求解代数式的值，正确理解新定义再建立新的方程求解是解题的关键．
【变式7-3】在学习一元一次方程后，我们给一个定义：若x0是关于x的一元一次方程ax+b=0a≠0的解，y0是关于y的方程的所有解的其中一个解，且x0，y0满足x0+y0=99，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”．例如：一元一次方程3x−2x−98=0的解是x0=98，方程y+1=2的所有解是y=1或y=−1，当y0=1，x0+y0=99，所以y+1=2=2为一元一次方程3x−2x−98=0的“久久方程”．
(1)已知关于y的方程：①2y−2=4，②y=2，其中哪个方程是一元一次方程3x−1=2x+98的“久久方程”？请直接写出正确的序号________．
(2)若关于y的方程2y−2+2=4是关于x的一元一次方程x−3x−2a4=a+34的“久久方程”，请求出a的值．
(3)若关于y的方程ay−49+a+b=ay+650是关于x的一元一次方程ax+50b=55a的“久久方程”，求出a+bb的值．
【答案】(1)②
(2)a=48或47
(3)11
【分析】（1）分别求出三个方程的解，再验证即可；
（2）先解方程2y−2+2=4，求得y=0或y=2，再求出关于x的方程的解，根据题意可分别求得a的值；
（3）由ax+50b=55a及x+y=99，可求得y=44+50ba，代入ay−49+a+b=ay+650中，可求得a与b的关系，从而可求得结果．
【详解】（1）解：解2y−2=4得：y=3；解y=2得，y=±2；解3x−1=2x+98得：x=101，而101+(−2)=99，所以y=2是一元一次方程3x−1=2x+98的“久久方程”；
故答案为：②；
（2）解：∵2y−2+2=4，
∴2y−2=2，
即2y−2=2或2y−2=−2，
解得：y=0或y=2；
对于x−3x−2a4=a+34，去分母得：4x−(3x−2a)=4a+3，
去括号、移项、合并同类项得：x=2a+3；
由题意，当y=0时，2a+3+0=99，解得：a=48；
当y=2时，2a+3+2=99，解得：a=47；
所以a=48或47；
（3）解：由题意，x+y=99，即ax+ay=99a
由ax+50b=55a得：ax=55a−50b，
所以55a−50b+ay=99a，
则y=44+50ba，
把上式代入ay−49+a+b=ay+650中，整理得：a50b−5aa+a+b=a+b，
即a50b−5aa=0，
∴50b−5a=0，
∴a=10b，
∴a+bb=10b+bb=11．
【点睛】本题是新定义题，考查了解一元一次方程及含绝对值的方程，求代数式的值等知识，有一定的综合性，理解题中新定义，会解含有参量的一元一次方程是解题的关键．
【题型8 一元一次方程的应用】
【例8】篝火晚会，学年统一为各班准备了发光手环，每名同学一个，1班有50人，2班有48人，考虑到发光手环易坏，学年又额外给1班、2班共18个手环．
(1)要使1班、2班的手环数一样多，请问应额外给1班多少个手环？
(2)为营造氛围，各班还需要集体购买发光头饰．姜经理看到商机，准备寻找进货途径．他在甲、乙两个批发商处，发现了同款高端发光头饰，均标价20元甲说：“如果你在我这里买，一律九折”，乙说：“如果你在我这里买，超出40个，则超出部分一律八折”（每次只能在一个批发商处进货）．
①请问购进多少个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多？
②姜经理第一次购进60个发光头饰，正好全部售出．第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个．两次均以最优惠的方式购进．如果第一次的总售价为1150元，且两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%，则第二次每个发光头饰的售价为多少元？
【答案】(1)8
(2)①80，②22
【分析】（1）先设出应额外给1班x个手环，然后根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）①设未知数，根据题意列出一元一次方程进行求解即可；②由①可得当进购数量少于80时，选择甲进货商，当进购数量多于80时，选择乙进货商，再根据两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%列出一元一次方程即可．
【详解】（1）解：设应额外给1班x个手环，则额外给2班18−x个手环，
∵要使1班、2班的手环数一样多，
∴50+x=48+18−x，
解得：x=8，
所以应额外给1班8个手环；
（2）解：①设购进y个发光头饰，去两个批发商处的进货价一样多，
对于甲批发商处进货价为：20y×0.9元，
对于乙批发商处进货价为：40×20+y−40×20×0.8元，
∵去两个批发商处的进货价一样多，
∴20y×0.9=40×20+y−40×20×0.8，
解得：y=80，
所以购进80个发光头饰时，去两个批发商处的进货价一样多；
②设第二次每个发光头饰的售价为z元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%，
由①可得当进购数量少于80时，选择甲进货商，当进购数量多于80时，选择乙进货商，
第一次进购60个，所以第一次进价为：60×20×0.9=1080元，
∵第二次购进的数量比第一次的3倍还多20个，
∴第二次进购了200个，
第二次进价为：40×20+200−40×20×0.8=3360元，
∵两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%，
∴1150+200z−1080+3360=1080+3360×0.25，
解得：z=22，
所以第二次每个发光头饰的售价为22元时两批发光头饰全部售完后，总利润恰好为总进价的25%．
【点睛】本题考查了实际问题与一元一次方程，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．
【变式8-1】轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3ℎ，若静水时船速为26km/h，水速为2km/h，则A港和B港相距 km．
【答案】504
【分析】根据逆流速度等于静水速度减水流速度，顺流速度等于静水速度加水流速度，表示出逆流速度与顺流速度，根据题意列出方程，求出方程的解，即可得到答案．
【详解】解：设A港和B港相距xkm，根据题意得：
x26+2+3=x26−2，
解得：x=504，
则A港和B港相距504km，
故答案为：504．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
【变式8-2】某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下．根据表格提供的信息解答下列问题：
（1）列一元一次方程求出胜一场、负一场各积多少分？
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？若能，试求胜场数和负场数；若不能，说出理由．
（3）试就某队的胜场数求出该队的负场总积分是它的胜场总积分的正整数倍的情况？
【答案】（1）胜一场积2分，负一场积1分．（2）胜6场，负12场．（3）胜2场时，负场总积分是它的胜场总积分的4倍；胜6场时，负场总积分是它的胜场总积分的1倍．
【分析】（1）依题意找出等量关系，设胜一场积为x分，则负一场积29−11x7分，列方程，解方程得到胜一场积分数，再求出负一场积分数即可.
（2）依题意找出等量关系，设胜场数是a，负场数是（18﹣a），列方程，如果有解，即某队的胜场总积分能等于它的负场总积分；无解则某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分.
（3）依题意找出等量关系，设胜场数是a，负场数是（18﹣a），某队的胜场数它的胜场总积分的k倍，列方程，解出a＝182k+1，2k+1是奇数，依题意找到符合题意的数，解出k即可.
【详解】解：（1）设胜一场积x分，则负一场积29−11x7分，
依题意得：14x+4×29−11x7＝32
解得：x＝2
此时29−11x7＝1
∴胜一场积2分，负一场积1分．
（2）答：能．理由如下：
设胜场数是a，负场数是（18﹣a），依题意得：
2a＝18﹣a
解得：a＝6
18﹣a＝18﹣6＝12
答：胜6场，负12场．
（3）设胜场数是a，负场数是（18﹣a），
依题意得：18﹣a＝2ka
解得：a＝182k+1
显然，k是正整数，2k+1是奇数
符合题意的有：2k+1＝9，k＝4，a＝2；2k+1＝3，k＝1，a＝6．
答：胜2场时，负场总积分是它的胜场总积分的4倍；胜6场时，负场总积分是它的胜场总积分的1倍．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程和解方程，正确找出等量关系是解题的关键.
【变式8-3】小真、小善和小美三人是好朋友，同住幸福小区．为了鼓励节约用水，幸福小区对自来水的收费标准作如下规定：
另外：每立方米收污水处理费1元．
(1)11月小真家用水10立方米，交费 ___________元；小善家用水26立方米，交费 ___________元．
(2)幸福小区某个家庭用水量记为x18≤x≤40立方米，请列式表示应交费___________元？
(3)已知小美家12月份缴水费204元，他家12月用水多少立方米？
【答案】(1)40，108
(2)4.5x−9
(3)小美家12月用水46立方米
【分析】（1）用水量在0～18的供水价格加污水处理费用，即可求得小真家的交费金额，用水量为18立方米的供水价格加污水处理费用与用水量18～40的供水价格加污水处理费用，即可求得小真家的交费金额；
（2）当用水量18≤x≤40时，可求得应交费用为4.5x−9
（3）由（2）知，小美家12月份用水量超过40立方米，设小美家12月用水x立方米，可得到方程5.5x=253，即可求得小美家12月份用水量
【详解】（1）∵11月小真家用水10立方米，
∴小真家交费为：3×10+1×10=40（元）
∵小善家用水26立方米，
∴小善家交费为：3×18+3.5×26−18+1×26=108（元）
故答案为：40，108
（2）当18≤x≤40时，应交费用为：
3×18+3.5x−18+x=4.5x−9（元）
故答案为：4.5x−9
（3）由（2）知，当用水量为40立方米时，应交费用为：4.5×40−9=171（元），
∵204>171，
∴小美家12月份用水量超过40立方米，
设小美家12月用水x立方米，
∴3×18+3.540−18+4.5×x−40+x=204，
整理得：5.5x=253，
解得：x=46，
答：小美家12月用水46立方米
【点睛】本题考查了电费和水费问题(一元一次方程的应用)及有理数的混合运算，解题的关键是：根据数量关系，正确列出一元一次方程
【题型9 二元一次方程的整数解】
【例9】方程x+y=7的正整数解的对数是（ ）
A．5B．7C．6D．无数对
【答案】C
【分析】要求方程x+y=7的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的取值，再进一步求得另一个未知数的值．
【详解】解：由已知，得y=7−x，
要使x，y都是正整数，
合适的x值只能是1，2，3，4，5，6，
相应的y=6，5，4，3，2，1．
共6对．
故选：C．
【点睛】本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．
【变式9-1】二元一次方程2x+y=−6的负整数解是 ．
【答案】x=−1y=−4或x=−2y=−2
【分析】要求2x+y=−6的负整数解，就要先将方程做适当的变形，根据解为负整数，求解即可．
【详解】解：由2x+y=−6可得，y=−6−2x
因为二元一次方程2x+y=−6的负整数解，
则当x=−1时，y=−4；当x=−2时y=−2；当x=−3时，y=0（不符合题意，舍去）
则二元一次方程2x+y=−6的负整数解是x=−1y=−4或x=−2y=−2
故答案为：x=−1y=−4或x=−2y=−2
【点睛】此题考查了二元一次方程的求解，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
【变式9-2】在方程3x+5y＝143的正整数解中，使|x﹣y|的值最小的解是 ．
【答案】x=16y=19
【分析】要求方程3x+5y＝143的正整数解，就要先将方程做适当变形，确定其中一组解，进一步得到通解，然后确定出所有的解，即可求得使|x﹣y|的值最小的解．
【详解】解：由3x+5y＝143，得y＝28+3−3x5，
∴x=1y=28是方程组的一个解，其通解为x=1−5ty=28+3t（t为整数），
∵x，y都是正整数，
∴x=1y=28，x=6y=25，x=11y=22，x=16y=19，x=21y=16，x=26y=13，x=31y=10，x=36y=7，x=41y=4，x=46y=1，
∴使|x﹣y|的值最小的解是x=16y=19
故答案为x=16y=19．
【点睛】本题考查了绝对值、二元一次方程的正整数解，解题关键是确定二元一次方程的正整数解，再判断符合题意值.
【变式9-3】如果将二元一次方程：y=−2x+7的一组正整数解x=1y=5写成1,5的形式，并称1,5为方程y=−2x+7的一个正整数点，请写出方程y=−2x+7剩下的正整数点 ．
【答案】(2，3)， (3，1)
【分析】根据题意得出x，y的取值范围，以及x， y为整数，找到符合条件的x的值，代入方程y=−2x+7，即可求解．
【详解】由题意可得：x>0y>0，即x>0−2x+7>0，且x，y为整数，
解得：0< x < 3.5且x， y为整数，
则x = 1或2或3，
当x= 1时，y=-2×1+7=5，
当x=2时，y=-2×2+7=3，
当x = 3时，y=-2×3+7= 1，
那么方程y= - 2x + 7的正整数点为(1， 5)，(2，3)，(3，1)．
则方程y = -2x十7的剩余的正整数点为(2，3)， (3，1)．
故答案为： (2，3)， (3，1)．
【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，以及一元一次不等式，解题的关键是弄清题意，掌握正整数点的求解方法，找出符合条件的正整数点．
【题型10 由方程组的错解问题求参数的值】
【例10】（23·24八年级上·陕西西安·期中）甲、乙两人都解方程组ax+y=22x−by=1，甲看错a解得x=1y=2，乙看错b解得x=1y=1，则方程组正确的解是 ．
【答案】x=45y=65
【分析】根据甲看错a则求得的解满足b，乙看错了b则求得的解满足a，据此求出a、b的值进而得到原方程组，再利用代入消元法求解即可．
【详解】解：∵甲、乙两人在解方程组ax+y=2①2x−by=1②时，
甲看错了方程①中的a，解得x=1y=2，
∴2×1−2b=1，解得b=12，
∵乙看错了方程②中的b，解得x=1y=1，
∴a+1=2，解得a=1，
∴原方程组为x+y=2①2x−12y=1②，
由①得：x=2−y③，
把③代入②得22−y−12y=1，解得y=65，
将y=65代入③得x=2−65=45，
∴方程组的解为x=45y=65．
故答案为：x=45y=65．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出a、b的值是解题的关键．
【变式10-1】已知▲x+•y=1□x−7y=1是一个被墨水污染的方程组．圆圆说：“这个方程组的解是x=3y=−1，而我由于看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1．”请你根据以上信息，把方程组复原出来．
【答案】2x+5y=1−2x−7y=1
【分析】设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，利用方程组解的意义列出关于a，b，c的方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：设被墨水污染的三角形为a，圆点为b，正方形为c，
∵这个方程组的解是x=3y=−1，
∴3a−b=13c+7=1，
∴c=−2．
∵看错了第二个方程中的x的系数，求出的解是x=−2y=1，
∴−2a+b=1，
∴−2a+b=13a−b=1，
解得：a=2b=5．
∴原方程组为2x+5y=1−2x−7y=1．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解以及解法，熟练掌握二元一次方程组的解的意义是解题的关键．
【变式10-2】小朋同学在解方程组y−ax=by=−2x的过程中，错把b看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为x=−1y=2．又已知方程y−ax=b的一个解是x=−2y=1，则b的值应该是 ．
【答案】9
【分析】根据题意，把x=−1y=2代入y−ax=6，求出a的值，再把x=−2y=1和a的值代入y−ax=b，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：x=−1y=2是y−ax=6是一个解，
∴2+a=6，
∴a=4，
把a=4和x=−2y=1代入y−ax=b，得：1+2×4=b，
∴b=9；
故答案为：9．
【点睛】本题考查二元一次方程的解．熟练在为方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
【变式10-3】一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组ax+by=16①bx+ay=2②由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为x=3y=2；小文抄错了方程②，得到方程组的解为x=−1y=2，试求a2+b2−2ab的值．
【答案】608449
【分析】根据题意将小明所得方程组的解代入方程②，将小文所得方程组的解代入方程①，即可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：由题意得：−a+2b=163b+2a=2 ，
解方程组得a=−447b=347 ，
∴a2+b2−2ab=a−b2=608449．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的知识，理解抄错了方程①，得到方程组的解即只满足方程②，同理抄错了方程②，得到方程组的解即只满足方程①，是解答本题的关键．
【题型11 解含参数的二元一次方程组】
【例11】已知方程组3x−y=5−2kx+3y=k+5，那么x+y= ．
【答案】3
【分析】把k看做常数解二元一次方程组，求得x=2−12k，y=1+12k，再代入计算即可．
【详解】解：3x−y=5−2k①x+3y=k+5②
由①×3+②，得10x=20−5k，
解得：x=2−12k，
把x=2−12k代入②，得y=1+12k，
∴x+y=2−12k+1+12k=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握用加减法求解二元一次方程是解题的关键．
【变式11-1】整数a为 时，方程组2x+ay=4x+4y=8有正整数解．
【答案】−4
【分析】先求出方程组的解，再根据方程组有正整数解，求出a的值．
【详解】解：∵ 2x+ay=4①x+4y=8②，
∴①−②×2，得
a−8y=−12，
∴ y=128−a，
将y=128−a代入②式，得：
x=8−488−a，
又∵方程组是正整数解，
∴8−a=12时满足x、y均为正整数，
解得：a=−4，
故答案为：−4．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【变式11-2】已知x，y是整数，且满足x−y+3=0，ax−y−1=0，则整数a的所有可能值有（ ）个
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】先联立两个方程组成方程组，再消去y可得x=4a−1,再根据整数解的条件进行讨论，并检验即可得到答案．
【详解】解：由题意得：{x−y=−3①ax−y=1②
②-①得：(a−1)x=4,
当a≠1时，x=4a−1,
∵a,x都为整数，
∴a=−3或a=−1或a=0或a=2或a=3或a=5,
此时y=x+3也为整数，
所以a的所有的可能的值有6个，
故选C
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的整数解问题，掌握“二元一次方程组的解法及整数解的含义”是解本题的关键．
【变式11-3】已知关于x，y的方程组x+my=7mx−y=2+m，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当m每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为 ．
【答案】x=5y=−4
【分析】根据题意①+②得x-y-9+m（x+y-1）=0，然后根据题意列出方程组即可求得公共解．
【详解】解：x+my=7①mx−y=2+m②，①+②得，
x+my+mx-y=9+m，
则x-y-9+mx+my-m=0，
则x-y-9+m（x+y-1）=0，
根据题意，这些方程有一个公共解，与m的取值无关，
x−y−9=0x+y−1=0，
解得x=5y=−4，
故答案为：x=5y=−4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的问题和解二元一次方程组，解集本题的关键是理解题意，明确这些方程的解与m的取值无关．同时应掌握二元一次方程组的基本解法——代入消元法和加减消元法．
【题型12 根据二元一次方程方程有公共解求解】
【例12】若2a−b=0，且关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0，当a取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为（ ）
A．x=3y=−1B．x=1y=−12C．x=5y=−32D．x=2y=32
【答案】C
【分析】由2a−b=0得：b=2a，把b=2a代入a−1x+by+5−2a=0得a−1x+2ay+5−2a=0，整理得：x+2y−2a−x+5=0，根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出x+2y−2=0−x+5=0，解关于x、y的方程组即可．
【详解】解：由2a−b=0得：b=2a，
∴关于x，y的二元一次方程a−1x+by+5−2a=0可变为：
a−1x+2ay+5−2a=0，
整理得：x+2y−2a−x+5=0，
∵当a取不同值时，方程都有一个公共解，
∴x+2y−2=0−x+5=0，
解得：x=5y=−32，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出x+2y−2=0−x+5=0．
【变式12-1】关于x，y的二元一次方程y=kx−2k+3（k为常数），当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A．x=3y=1B．x=2y=3C．x=1y=3D．x=3y=−1
【答案】B
【分析】由题意可令x=2时，代入进行求解即可．
【详解】解：由y=kx−2k+3可变形为y=kx−2+3，
∵当k取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，
∴当x=2时，则y=3，
∴这个公共解为x=2y=3；
故选B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．
【变式12-2】已知关于x、y的二元一次方程m−2x+m−3y+2m−3=0，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这个公共解是（ ）
A．x=3y=−1B．x=1y=−3C．x=−1y=3D．x=−3y=1
【答案】D
【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，根据“当m每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于x和y的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：原方程可整理得：
m（x+y+2）-（2x+3y+3）=0，
根据题意得：x+y+2=02x+3y+3=0
解得x=−3y=1．
故选D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．
【变式12-3】定义一种新的运算：a☆b=2a−b，例如：3☆−1=2×3−−1=7．若a☆b=0，且关于x，y的二元一次方程a+1x−by−a+3=0，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为 ．
【答案】x=−3y=−2
【分析】根据公式求得b=2a，将方程转化得到(x−2y−1)a=−3−x，由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到x−2y−1=0−3−x=0，解方程组即可．
【详解】解：∵a☆b=0，
∴2a−b=0，
∴b=2a，
则方程a+1x−by−a+3=0可转化为a+1x−2ay−a+3=0，
∴(x−2y−1)a=−3−x，
∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，
∴x−2y−1=0−3−x=0，
解得x=−3y=−2，
故答案为：x=−3y=−2．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，正确理解由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解是解题的关键．
【题型13 整体思想解二元一次方程组】
【例13】若关于m，n的二元一次方程组3m−an=162m−bn=15的解是m=7n=3,那么关于x，y的二元一次方程组3x+y−ax−y=162x+y−bx−y=15的解 ．
【答案】x=5y=2
【分析】把关于 x、y 的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15 看作关于x+y 和 x+y的二元一次方程组，利用关于 m,n 的二元一次方程组 3m−an=162m+bn=15 的解为 m=7n=3,得到 x+y=7，x−y=3，从而求出x、y即可；
【详解】解：∵关于 m,n 的二元一次方程组3m−an=162m+bn=15 的解为 m=7n=3，
把关于 x、y 的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15 看作关于 x+y 和 x+y 的二元一次方程组，
∴x+y=7x−y=3,
∴关于 x,y 的二元一次方程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)+b(x−y)=15 的解为 x=5y=2；
故答案为： x=5y=2；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．
【变式13-1】综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：4x+3y3+6x−y8=84x+3y6+6x−y2=11．
观察发现：
（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的(4x+3y)看成一个整体，把(6x−y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设4x+3y=m，6x−y=n，则原方程组可化为 ，解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，解方程组，得 ．
探索猜想：
（2）运用上述方法解下列方程组：32x+y−2x−2y=2622x+y+3x−2y=13．
【答案】（1）m3+n8=8m6+n2=11，x=3y=2；（2）x=3y=2
【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；
【详解】解：（1）设4x+3y=m，6x−y=n，
则原方程组可化为m3+n8=8m6+n2=11，
解关于m，n的方程组，得m=18n=16，
所以4x+3y=186x−y=16，
解方程组，得x=3y=2，
故答案为：m3+n8=8m6+n2=11，x=3y=2；
（2）设2x+y=m，x−2y=n，
则原方程组可化为3m−2n=262m+3n=13，
解关于m，n的方程组，得m=8n=−1，
所以2x+y=8x−2y=−1，
解方程组，得x=3y=2；
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．
【变式13-2】阅读理解，并根据所得规律答题解二元一次方程组的基本方法有“代入法”、“加减法”两种消元策略，有一种方程组，不是二元一次方程组，但结构类似，如2x+3y=5①5x−2y=3②，我们分析x≠0，y≠0，可以采用“换元法”来解：设1x=m，1y=n，原方程组转化为2m+3n=55m−2n=3，解得m=1n=1，∴1x=1，1y=1，由倒数定义得，原方程组的解为x=1y=1．
(1)直接写出满足方程3x+2y=4的一个解______；
(2)解方程组3x+2y=4①5x−6y=2②．
【答案】(1)x=1y=2（答案不确定，满足方程即可）
(2)x=1y=2
【分析】（1）根据方程解的定义，先假定x等于一个数，再求出对应的y即可；
（2）仿照例题，设1x=m，1y=n，，则原方程组可变形为关于m、n的方程组，求出m，n的值，进而求出方程组的解．
【详解】（1）解：当x=1y=2时，3x+2y=4方程成立，
故方程的解可以是：x=1y=2，
故答案为：x=1y=2（答案不确定，满足方程即可）
（2）设1x=m，1y=n，原方程组转化为3m+2n=45m−6n=2，
解得m=1n=12，
∴1x=1，1y=12由倒数定义得，原方程组的解为x=1y=2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m，n的方程组是解此题的关键．
【变式13-3】问题：已知关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8的解满足方程x+2y=5，求m的值．同学们正在讨论着不同的解题思路：
甲同学说：可以先解关于x，y的方程组3x+7y=5m−32x+3y=8，再求m的值．
乙同学说：可以先将方程组3x+7y=5m−32x+3y=8中的两个方程相加，再求m的值；
丙同学说：可以先解方程组x+2y=52x+3y=8，再求m的值．
…
请用2种不同的方法解决上面的问题．
【答案】m=4
【分析】解法1：利用加减法求出x=13−3my=2m−6，再代入x+2y=5，即可得到m的值；
解法2：①+②得，5x+10y=5m+5，则x+2y=m+1，由x+2y=5得到m+1=5，即可得到m的值；
解法3：解方程组x+2y=52x+3y=8得到x=1y=2，把x=1y=2代入3x+7y=5m−3，即可得到m的值．
【详解】解法1：3x+7y=5m−3①2x+3y=8②
①×2−②×3得，5y=10m−30，
解得y=2m−6，
把y=2m−6代入②得，2x+32m−6=8，
解得x=13−3m，
∴x=13−3my=2m−6，
∵x+2y=5，
∴13−3m+22m−6=5，
解得m=4；
解法2：3x+7y=5m−3①2x+3y=8②
①+②得，5x+10y=5m+5，
则x+2y=m+1，
∵x+2y=5，
∴m+1=5，
解得m=4；
解法3：x+2y=5①2x+3y=8②
①×2−②得，y=2，
把y=2代入①得，x+4=5，
解得x=1，
∴x=1y=2，
把x=1y=2代入3x+7y=5m−3得，
3+14=5m−3，
解得m=4．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减法是解题的关键．
【题型14 二元一次方程组的新定义问题】
【例14】定义：数对x，y经过一种运算可以得到数对x′，y′，将该运算记作：dx，y=x，y′，其中x′=ax+byy′=ax−by（a，b为常数）.例如，当a=1，b=1时，d−2，3=1，−5.
（1）当a=2，b=1时，d3，1= ；
（2）如果组成数对x，y的两个数x，y满足二元一次方程x−3y=0时，总有dx，y=−x，−y，则a= ，b= .
【答案】 7，5 −23 −1
【分析】（1）由题意可得：x′=2x+yy′=2x−y，再将x=3，y=1代入即可求解；
（2）由题意可得：3a+b=−33a−b=−1，求解方程组即可．
【详解】解：（1）当a=2，b=1时，x′=2x+yy′=2x−y，
∵x′=2×3+1=7，y′=2×3−1=5，
∴d3，1=7，5
（2）∵dx，y=−x，−y，x−3y=0，
∴d3y，y=−3y，−y，
∴3ay+by=−3y3ay−by=−y，
化简得：3a+b=−33a−b=−1，
解得：a=−23b=−1，
故答案为：−23，−1．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键．
【变式14-1】定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”．如方程2x=4和3x+6=0为“关联方程”．
(1)若关于x的方程5x+a=0与方程2x−4=x+1是“关联方程”，求a的值；
(2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为m、n，求m、n的值；
(3)若关于x的方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是“关联方程”，求b的值．
【答案】(1)a=25
(2)m=4n=−4或m=−4n=4
(3)b=2
【分析】（1）根据“关联方程”的定义求解即可；
（2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到m−n=8或n−m=8，再结合m+n=0，解方程组即可；
（3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答．
【详解】（1）解：解方程2x−4=x+1得：x=5，
将x=−5代入方程5x+a=0得：5×−5+a=0，
解得：a=25；
（2）解：由题意得：m+n=0m−n=8或m+n=0n−m=8，
解两个二元一次方程组得：m=4n=−4或m=−4n=4，
∴m、n的值为：m=4n=−4或m=−4n=4；
（3）解：解方程2x+3b−2=0得：x=−3b+22，
解：方程3x−5b+4=0得：x=5b−43，
∵方程2x+3b−2=0和3x−5b+4=0是关于x的“关联方程”，
∴−3b+22+5b−43=0，
解得：b=2．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，和解二元一次方程组的应用，正确掌握解一元一次方程的解法和解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
【变式14-2】定义：若一个两位数十位、个位上的数字分别为m、n，我们可将这个两位数记为mn，即mn=10m+n．
(1)若2x−x3=−1，求x的值；
(2)若x2+y3=45x−y=2，求xy的值．
【答案】(1)x=2
(2)x=3y=1
【分析】（1）先按定义列出方程化成一元一次方程求解即可；
（2）先按定义列出二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵2x−x3=−1，
∴2×10+x−x×10−3=−1，解得：x=2．
（2）解：∵x2+y3=45x−y=2，
∴x×10+2+y×10+3=45x−y=2，即x+y=4x−y=2，解得：x=3y=1．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组等知识点，理解新定义是解答本题的关键．
【变式14-3】对于有理数x，y，定义新运算：x∗y=ax+by，x⊗y=ax−by，其中a，b是常数．已知1∗1=1，3⊗2=8．
(1)求a，b的值；
(2)若关于x，y的方程组x∗y=4−mx⊗y=5m 的解也满足方程x+y=5，求m的值；
(3)若关于x，y的方程组2a1x−b1y=c12a2x+b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2的解．
【答案】(1)a=2b=−1
(2)m=32
(3)x=92y=−12
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y=5求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
【详解】（1）解：由题意得a+b=13a−2b=8，
解得：a=2b=−1；
（2）解：依题意得2x−y=4−m2x+y=5m，
解得：x=m+1y=3m−2，
∵x+y=5，
∴m+1+3m−2=5，
解得：m=32；
（3）解：由题意得： 方程组2a1x−b1y=c12a2x+b2y=c2的解为x=4y=5，
∴由方程组a1x+yx∗b1x−y=c1a2x+yx⊗b2x−y=c2得方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2，
∴方程组2a1x+yx−b1x−y=c12a2x+yx+b2x−y=c2的解满足x+y=4x−y=5，
解得x=92y=−12．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
【题型15 二元一次方程组的规律探究】
【例15】下面反映了，按一定规律排列的方程组和它们解之间的对应关系：
按此规律，第n个方程组为___________，它的解为___________（n为正整数）.
【答案】{2x+y=2n+1x−2ny=4n2，{x=2ny=−2n+1
【详解】试题分析：仔细分析所给方程组可得第一个方程的左边不变，均为，右边为从3开始的连续奇数，第二个方程的x项的系数均为1不变，y项的系数是从-2开始的连续负偶数，方程组的解中x的值是从2开始的连续偶数，y的值是从-1开始的连续负奇数，根据得到的规律求解即可.
解：由题意得第n个方程组为{2x+y=2n+1x−2ny=4n2，它的解为{x=2ny=−2n+1（n为正整数）.
考点：找规律-式子的变化
点评：解答此类问题的关键是仔细分析所给式子的特征得到规律，再把得到的规律应用于解题.
【变式15-1】对下列问题，有三位同学提出了各自的想法：
若方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=3y=4，求方程组3a1(x−1)+b1(y+3)=4c13a2(x−1)+b2(y+3)=4c2的解．
甲说：“这个题目的好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以4，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．答： ．
【答案】{x=5y=13
【详解】试题分析：把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得，再根据方程组的解是可得，从而求得结果.
把第二个方程组的两个方程的两边都除以4可得
由题意得，解得{x=5y=13.
考点：解二元一次方程组
点评：解题的关键是读懂题意，找到规律，正确利用题中所提供换元法解题.
【变式15-2】阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：
解方程组17x+19y=21①23x+25y=27②时，小明发现如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，他采用下面的解法则比较简单：
②-①得：6x+6y=6，即x+y=1．③
③×17得：17x+17y=17．④
①-④得：y=2，代入③得x=−1．
所以这个方程组的解是x=−1y=2．
(1)请你运用小明的方法解方程组1997x+1999y=20012017x+2019y=2021．
(2)规律探究：猜想关于x、y的方程组ax+a+2y=a+4bx+b+2y=b+4a≠b的解是______．
【答案】(1)x=−1y=2；
(2)x=−1y=2．
【分析】（1）根据题意，利用例题方法求解即可；
（2）根据题意，利用例题方法求解即可得．
【详解】（1）解：{1997x+1999y=2001①2017x+2019y=2021②，
②−①得：20x+20y=20，即x+y=1，③
③×1997得：1997x+1997y=1997，④
①−④得：2y=4，即y=2，
将y=2代入③得x=−1，
所以这个方程组得解是{x=−1y=2；
（2）解：{ax+(a+2)y=a+4①bx+(b+2)y=b+4②(a≠b)，
②−①得：(b−a)x+(b−a)y=b−a，即x+y=1，③
③×a得：ax+ay=a，④
①−④得：2y=4，解得y=2，
将y=2代入③得：x=−1，
所以这个方程组得解是{x=−1y=2，
故答案为：{x=−1y=2．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键．
【变式15-3】下面是按一定规律呈现的一组二元一次方程组和它的解（如下表）．
根据上面表格中方程组及其解所呈现的规律，完成下面的问题：
（1）方程组①的解为 ；
（2）请依据方程组和它的解变化的规律，直接写出第n个方程组和它的解．第n个方程组为 ，这个方程组的解为 ．
（3）若方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，求a的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律．
【答案】（1）x=1y=0；（2）x+y=1x−ny=n2，x=ny=−n+1；（3）a=5，该方程组符合（2）中的规律．
【分析】（1）根据加减消元法，即可求解；
（2）找出方程组及其解的变化规律，即可得到答案；
（3）把x=5y=−4代入5+4a=25，求出a的值，进而即可判断．
【详解】解：（1）x+y=1①x−y=1②，
①+②得：2x=2，解得：x=1，
①-②得：2y=0，解得：y=0，
∴方程组的解：x=1y=0；
（2）由方程组的变化规律可知：第n个方程组为x+y=1x−ny=n2，这个方程组的解为x=ny=−n+1，
故答案是：x+y=1x−ny=n2，x=ny=−n+1；
（3）∵方程组x+y=1x−ay=25的解是x=5y=−4，
∴5+4a=25，
∴a=5，
此时，方程组为x+y=1x−5y=25，它的解为x=5y=−4，该方程组符合（2）中的规律．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解以及加减消元法，掌握方程组及其解的变化规律是解题的关键．
【题型16 二元一次方程（组）的阅读理解类问题】
【例16】阅读下列材料解决问题：
两个多位数整数，若它们各数位上的数字之和相等，则称这两个多位数互为“调和数”，如37和82，它们各数位上的数字之和分别为3+7和8+2，显然3+7=8+2=10故37和82互为“调和数”．
(1)下列说法错误的是________
A．123和51互为“调和数”B．345和513互为“调和数”
C．2018和8120互为“调和数”D．两位数xy和yx互为“调和数”
(2)若A、B是两个不等的两位数，A=xy， B=mn，A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，求证：y=−x+9．
【答案】(1)B
(2)见解析
【分析】（1）根据“调和数”的定义，逐项判断即可求解；
（2）根据A和B互为“调和数”，且A与B之和是B与A之差的3倍，可得x+y=9−2x+m，从而得到x+y是9的倍数，再由A、B是两个不等的两位数，即可求证．
【详解】（1）解：A．∵1+2+3=5+1=6，
∴123和51互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；
B．∵3+4+5=12≠5+1+3=9，
∴345和513不是“调和数”，故本选项错误，符合题意；
C．∵2+0+1+8=8+1+2+0=11，
∴2018和8120互为“调和数”， 故本选项正确，不符合题意；
D．∵x+y=y+x，
∴两位数xy和yx互为“调和数”，故本选项正确，不符合题意；
故答案为：B
（2）解：根据题意得：
x+y=m+n10x+y+10m+n=310m+n−10x−y，
解得：19x+y=9m，
∴x+y=9−2x+m，
∴x+y是9的倍数，
∴x+y=9或18，
∵A、B是两个不等的两位数，
∴x+y=9，
即y=−x+9．
【点睛】此题主要考查了整除的问题，新定义，解题的关键在于理解新定义，运用整除的思想解决问题．
【变式16-1】阅读下列材料，解决问题．
(1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）；
② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________；
(2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数；
(3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数．
【答案】(1)① 100−x−y；100−x−y3②3x+5y+100−x−y3=100
(2)公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只
(3)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只
【分析】（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费；
②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程；
（2）根据（1）中②的结论结合“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）先根据3x+5y+100−x−y3=100求出x，y之间的关系，然后结合“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”讨论，即可求出结论．
【详解】（1）①∵要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱，
∴买了(100−x−y)只小鸡，买小鸡花了100−x−y3文钱．
故答案为：(100−x−y)；100−x−y3．
②根据题意得：3x+5y+100−x−y3=100．
故答案为：3x+5y+100−x−y3=100．
（2）由题意得
3x+5y+100−x−y3=100x=4y+2，
解得x=18y=4，
∴100−x−y=78只．
答：公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；
（3）根据题意得：3×5y+100−3−y3=100，化简得：x=25−74y，
当y=0时，x=2；当y=4时，x=18；当y=8时，x=11；当y=12时，x=4；当y=16时，x=−3（舍去）．
又因为x+y≤20，且x≤y，
所以仅有x=4，y=12符合题意，此时100−x−y=84．
答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．
【点睛】本题考查了列代数式，以及二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组求解是解答本题的关键．
【变式16-2】阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2可以写成矩阵a1b1c1a2b2c2的形式．例如：3x+4y=165x−6y=33可以写成矩阵34165−633的形式．
根据以上信息解决下列问题：
(1)请求出矩阵4153−23对应的方程组的解；
(2)若矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，求a+b+c的值．
【答案】(1)x=1311y=311
(2)13
【分析】（1）由题意得：矩阵4153−23对应的方程组为4x+y=53x−2y=3，计算求解即可；
（2）由矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，可得a−2+3=7①1+b+4=5②2−1+c=8③，①+②+③得，a+b+c=13．
【详解】（1）解：由题意得：矩阵4153−23对应的方程组为4x+y=53x−2y=3，
解得，x=1311y=311，
∴矩阵4153−23对应的方程组的解为x=1311y=311；
（2）解：∵矩阵a−2371b452−1c8所对应的方程组的解为x=1y=1z=1，
∴将x=1y=1z=1代入ax−2y+3z=7x+by+4z=52x−y+cz=8，得a−2+3=7①1+b+4=5②2−1+c=8③，
①+②+③得，a+b+c=13．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三元一次方程组的解．解题的关键在于理解题意并正确的运算．
【变式16-3】阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解，例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数），要使y=4−23x为正整数，则23x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入y=4−23x=2所以2x+3y=12的正整数解为x=3y=2．
问题：
(1)求方程3x+2y=8的正整数解．
(2)已知一根木条长7m，现将木条截成2m长和1m长这两种规格，为了不造成浪费，结合上述材料，试说明有几种不同的截法（两种规格均有），并一一列出．
【答案】(1)方程3x+2y=8的正整数解为x=2y=1
(2)共有3种不同的截法，截法1：截成2m长的木条1根，1m长的木条5条；截法2：截成2m长的木条2根，1m长的木条3条；截法3：截成2m长的木条3根，1m长的木条1条
【分析】（1）由3x+2y=8，可得出y=4−32x，结合x、y为正整数，即可求出方程3x+2y=8的正整数解；
（2）设可以截成2m长的木条a根，1m长的木条b条，根据木条的总长度为7m，可列出关于x、y的二元一次方程，结合x、y为正整数，即可求得各截法．
【详解】（1）解：∵3x+2y=8，
∴y=8−3x2=4−32x，
∵要使y=4−32x为正整数，则32x为正整数，
∴x为2倍数，
∴x=2，
将x=2代入y=4−32x=4−32×2=1，
∴方程3x+2y=8的正整数解为x=2y=1；
（2）解：设可以截成2m长的木条a根，1m长的木条b条，
根据题意得：2a+b=7，
∴b=7−2a，
又∵a，b均为正整数，
∴ a=1b=5或a=2b=3或a=3b=1，
∴共有3种不同的截法，
截法1：截成2m长的木条1根，1m长的木条5条；
截法2：截成2m长的木条2根，1m长的木条3条；
截法3：截成2m长的木条3根，1m长的木条1条．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用以及倍数，解题的关键是：（1）熟练掌握求二元一次方程整数解的方法；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．序号
方程
方程的解
①
2x−2−3x−1=1
x=−2
②
2x−2−3x−2=2
x=0
③
2x−2−3x−3=3
x=______
④
2x−2−3x−4=4
x=_____
…
…
…
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
A
18
14
4
32
B
18
11
7
29
C
18
9
9
27
用水量（立方米）
0～18
18～40的部分
40以上的部分
费用（元/立方米）
3
3.5
4.5
序号
1
2
3
……
n
方程组
{2x+y=3x−2y=4
{2x+y=5x−4y=16
{2x+y=7x−6y=36
方程组解
{x=2y=−1
{x=4y=−3
{x=6y=−5
序号
二元一次方程组
二元一次方程组的解
①
x+y=1x−y=1
x=y=
②
x+y=1x−2y=4
x=2y=−1
③
x+y=1x−3y=9
x=3y=−2
……
……
……
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？