中考数学一轮复习专题3.1 概率的进一步认识【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题3.1 概率的进一步认识【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共41页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3900" 【题型1 根据概率公式计算概率】 PAGEREF _Tc3900 \h 1
\l "_Tc24704" 【题型2 几何概率】 PAGEREF _Tc24704 \h 3
\l "_Tc3486" 【题型3 游戏的公平性】 PAGEREF _Tc3486 \h 6
\l "_Tc25335" 【题型4 概率在比赛中的应用】 PAGEREF _Tc25335 \h 10
\l "_Tc20093" 【题型5 概率在电路问题中的应用】 PAGEREF _Tc20093 \h 14
\l "_Tc1062" 【题型6 概率在转盘抽奖中的应用】 PAGEREF _Tc1062 \h 18
\l "_Tc2478" 【题型7 概率在摸球试验中的应用】 PAGEREF _Tc2478 \h 22
\l "_Tc6144" 【题型8 概率中的其他应用】 PAGEREF _Tc6144 \h 26
\l "_Tc6394" 【题型9 概率与统计的综合】 PAGEREF _Tc6394 \h 29
\l "_Tc14379" 【题型10 用频率估计概率】 PAGEREF _Tc14379 \h 36
【知识点1 概率】
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=mn。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤mn≤1，因此0≤P（A）≤1、
当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.
【题型1 根据概率公式计算概率】
【例1】（2023春·四川广元·九年级统考期末）在一个不透明的盒子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜色外其余都相同.搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为12，应在该盒子中再添加红球（ ）
A．2个B．3个C．4个D．1个
【答案】D
【分析】首先设应在该盒子中再添加红球x个，根据题意得x+1x+1+2＝12，解此分式方程即可求得答案．
【详解】解：设应在该盒子中再添加红球x个，
根据题意得：x+1x+1+2＝12，
解得：x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解．
故选：D．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【变式1-1】（2023春·辽宁铁岭·九年级统考期末）四张完全相同的卡片上，分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形，现从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是轴对称图形的概率为（ ）
A．14B．12C．34D．1
【答案】C
【分析】首先由等边三角形、平行四边形、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，再直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵等边三角形、平行四边形、、菱形、正五边形中是轴对称图形的有等边三角形、菱形、正五边形，
∴现从中随机抽取一张，卡片上画的图形恰好是轴对称图形的概率是：34，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了概率公式，轴对称图形的识别，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【变式1-2】（2023春·山东烟台·九年级统考期末）李明用6个球设计了一个摸球游戏，共有四种方案，肯定不能成功的是（ ）
A．摸到黄球、红球的概率均为12
B．摸到黄球的概率是23，摸到红球、白球的概率均为13
C．摸到黄球、红球、白球的概率分别为12、13、16
D．摸到黄球、红球、白球的概率都是13
【答案】B
【分析】分析各个选项中的概率之和即可选出不成功的选项．
【详解】A.P摸到黄球+P摸到红球=12+12=1；
B.P摸到黄球+P摸到红球+P摸到b白球=23+13+13>1，不成立；
C.P摸到黄球+P摸到红球+P摸到b白球=12+13+16=1;
D.P摸到黄球+P摸到红球+P摸到b白球=13+13+13=1;
故选：B．
【点睛】本题考查简单事件的概率．一次试验中有n种等可能的结果，每种结果出现的概率之和为1．
【变式1-3】（2023春·四川泸州·九年级统考期末）九年级学生李明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为29，那么他遇到绿灯的概率为（ ）
A．19B．29C．49D．59
【答案】C
【分析】利用十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，遇到每种信号灯的概率之和为1，进而求出即可．
【详解】解：∵十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为29，
∴他遇到绿灯的概率为： 1−13−29=49．
故选：C．
【点睛】本题考查了概率公式，掌握遇到每种信号灯的概率之和为1是关键．
【知识点2 用列表法、树状图法求概率】
列表法：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现得结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件发生得各种情况出现的次数与方式，以及某一事件发生的可能的次数与方式，并求出概率的方法。
树状图法：当一次试验要涉及3个或更多得因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能得结果，通常采用树形图。树形图就是反映事件发生得各种情况出现得次数与方式，并求出概率得方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现得总次数不就是很大时求概率得方法。
（2）在用列表法与树形图法求随机事件得概率时，应注意各种情况出现得可能性务必相同。
【题型2 几何概率】
【例2】（2023春·山东淄博·九年级统考期末）一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，停留位置是随机的，则停留在阴影区域上的概率是（ ）
A．23B．12C．13D．16
【答案】C
【分析】设每小格的面积为1，易得整个方砖的面积为9，阴影区域的面积3，然后根据概率的定义计算即可．
【详解】解：设每小格的面积为1，
∴整个方砖的面积为9，
阴影区域的面积为3，
∴最终停在阴影区域上的概率为：39=13．
故选：C．
【点睛】本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n,再计算出其中某个区域的几何图形的面积m,然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率=mn．
【变式2-1】（2023·广西河池·九年级统考期末）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（ ）
A．2πB．π2C．12πD．2π
【答案】A
【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可.
【详解】因为⊙O的直径为2分米，则半径为22分米，⊙O的面积为π222=π2平方分米；
正方形的边长为222+222=1分米，面积为1平方分米；
因为豆子落在圆内每一个地方是均等的，
所以P（豆子落在正方形ABCD内）=1π2=2π．
故答案为A．
【点睛】此题主要考查几何概率的意义：一般地，如果试验的基本事件为m，随机事件A所包含的基本事件数为n，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）=nm，熟记概率公式是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·河北唐山·九年级统考期末）如图，在△ABC中，AD为中线，点E，F，G为AD的四等分点，在△ABC内任意抛一粒豆子，豆子落在阴影部分的概率为 ．
【答案】38
【分析】先求出阴影部分的面积与总面积的关系，再根据概率=相应的面积与总面积之比即可求出答案．
【详解】解：∵在△ABC中，AD为中线，
∴S△ADC=12S△ABC，S△ADC=S△ADB，
∵点E、F、G为AD的四等分点，
∴S△EDC=34S△ADC，S△CGF=14S△ADC，S△BGF=14S△ADB，
∴，S△EDC=34×12S△ABC=38S△ABC，
∴S阴影部分=38S△ABC，
∴豆子落在阴影部分的概率为38．
故答案为：38．
【点睛】此题考查了几何概率，关键是求出阴影部分的面积与总面积的关系，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
【变式2-3】（2023春·江苏泰州·九年级统考期末）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率是 ．
【答案】316
【分析】设正方形的边长为4，将△BIC的面积和▱GHEF的面积计算出来，再用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求出此点取自黑色部分的概率.
【详解】设正方形ABDF的边长为4，
则S正方形ABDF=42=16,且BC=CD=DE=EF=2
∵△BIC是等腰直角三角形
∴∠IBC=45°
∴IC=BCsin45°=2×22=2
∴BI=2
∴S△BIC=12×2×2=1
∵Rt△CDE中，CD=2,∠ECD=45°
∴CE=2CD=22
∴HE=12CE=2
OH=IC=2
∴S▱GHEF=HE⋅OH=2×2=2
∴S阴影=S△BIC+SGHEF▱=1+2=3
∴此点取自黑色部分的概率是S阴影S正方形ABDF=316
【点睛】本题主要考查了几何概率的求法，解题的关键是正确计算出阴影部分的面积.
【题型3 游戏的公平性】
【例3】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）一个不透明的布袋里装有20个除颜色外均相同的小球，其中白球有x个，红球有2x个，其他均为黄球．现从布袋中随机摸出一个球，若是红球则甲同学获胜，若为黄球，则乙同学获胜．
(1)当x=5时，谁获胜的可能性大？
(2)要使游戏对甲乙双方是公平的，x应取何值？
【答案】(1)摸到红球的可能性更大
(2)x=4
【分析】（1）根据x=5时，红球的个数多于黄球的个数，即可得出结论；
（2）根据概率相等时，游戏公平，列式求解即可．
【详解】（1）解：当x=5时，则红球有10个，黄球有5个，
∵红球的个数多于黄球的个数，
∴摸到红球的可能性更大，
∴当x=5时，甲同学获胜可能性大；
（2）要使游戏对甲乙双方公平，必须有：2x20=20−3x20
解得x=4；
∴当x=4时，游戏对甲乙双方是公平的．
【点睛】本题考查利用概率解决游戏公平性．熟练掌握概率公式，是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期末）有3张背面相同的纸牌A，B，C，其正面分别画有三个不同的图形（如图），将这3张纸牌洗匀后，背面朝上放在桌面上．
(1)随机地摸出一张，求摸出牌面图形是轴对称图形的概率；
(2)小华和小明玩游戏，规则是：随机地摸出一张，放回洗匀后再摸一张．若摸出两张牌面图形都是轴对称图形的纸牌，则小华赢；否则，小明赢．你认为该游戏公平吗？请用画树状图或列表法说明理由．（纸牌可用A，B，C表示）
【答案】(1)23
(2)不公平，理由见解析
【分析】（1）随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有2种，再利用概率公式计算即可得；
（2）先画出树状图，从而可得摸出两张牌的所有等可能的结果，再找出摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果，然后利用概率公式求出摸出两张牌面图形都是轴对称图形、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意，随机地摸出一张共有3种等可能的结果，其中摸出牌面图形是轴对称图形的结果有纸牌A,B，共2种，
则摸出牌面图形是轴对称图形的概率为P=23．
（2）解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，摸出两张牌共有9种等可能的结果，其中摸出两张牌面图形都是轴对称图形的结果有4种、摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的结果有5种，
则摸出两张牌面图形都是轴对称图形的概率是49，摸出两张牌面图形不都是轴对称图形的概率是59，
因为49≠59，
所以这个游戏不公平．
【点睛】本题考查了简单的概率计算、利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
【变式3-2】（2023·北京海淀·九年级期末）在一只不透明的袋中，装着标有数字4，5，7，9的质地、大小均相同的四个小球．小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于13时小明获胜，反之小东获胜．
(1)请用列表的方法，求小明获胜的概率；
(2)这个游戏公平吗？请说明理由．
【答案】(1)12；
(2)游戏公平，理由如下．
【分析】（1）根据题意以小明为横排，小东为竖列，列出所有情况，找到和小于13时的情况及大于或等于13的情况，根据P(m)=mn即可得到答案；
（2）比较小东、小明的概率即可得到公平性．
【详解】（1）解：由题意可得，以小明为横排，小东为竖列，列表如下：
根据表可知：总共有12种情况，小于13的有6种，大于或等于13的有6种，
∴P(小明)=612=12 ；
（2）解：这个游戏公平，理由如下，
由（1）得，
P(小东)=612=12，
∴P(小明)=P(小东)=12
∴这个游戏公平．
【点睛】本题考查用列表法求概率及判断游戏公平性，解题的关键是，列出表格，找到所有情况及小于13的情况．
【变式3-3】（2023春·黑龙江黑河·九年级统考期末）淘淘和明明玩骰子游戏，每人将一个各面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子掷一次，把两人掷得的点数相加，并约定：点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于7，明明赢；点数之和是其它数，两人不分胜负．
(1)请你用“画树状图”或“列表”的方法分析说明此游戏是否公平．
(2)请你基于（1）问中得到的数据，设计出一种公平的游戏规则．(列出一种即可)
【答案】(1)此游戏不公平，见解析
(2)点数之和等于6，淘淘赢；点数之和等于8，明明赢
【分析】（1）画树状图求出淘淘和明明获胜的概率，再比较概率即可判定游戏是否公平；
（2）设计一个两人获胜概率一样的游戏规则即可．
【详解】（1）解：画树状图：
由图可知，点数之和共有36种可能的结果，其中6出现5次，7出现6次，
故P(和为6)=536，P(和为7)=636．
P(和为6)5，
∴李同学应该买一个小盲盒好．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和概率的应用．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．理解和掌握概率公式的应用是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，如图所示，并规定：顾客消费200元（含200元）以上，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准九折、八折、七折区域，顾客就可以获得此项优惠，如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘．
（1）某顾客正好消费220元，他转一次转盘，他获得九折、八折、七折优惠的概率分别是多少？
（2）某顾客消费中获得了转动一次转盘的机会，实际付费168元，请问他消费所购物品的原价应为多少元．
【答案】（1）12，13，16；（2）210元或240元
【分析】（1）由圆盘可知，七折圆心角为30°，八折圆心角为60°，九折圆心角为90°，利用它们所占圆的百分比即可算出概率；
（2）对于实际花费的168元进行三种情况的计算，即可得到答案．
【详解】（1）获得九折的概率为90°×2360°=12
获得八折的概率为60°×2360°=13，
获得七折的概率为30°×2360°=16，
（2）∵200×0.9=180>168
∴他没有获得九折优惠．
∵200×0.8=160