中考数学一轮复习专题1.7 三角形中的最值问题十大考点（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题1.7 三角形中的最值问题十大考点（北师大版）（解析版），共52页。

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\l "_Tc26211" 【题型1 两点之间线段最短】 PAGEREF _Tc26211 \h 1
\l "_Tc27960" 【题型2 垂线段最短】 PAGEREF _Tc27960 \h 4
\l "_Tc30887" 【题型3 平行线之间的距离最短】 PAGEREF _Tc30887 \h 9
\l "_Tc5892" 【题型4 将军饮马（两定一动）】 PAGEREF _Tc5892 \h 14
\l "_Tc22693" 【题型5 三点共线（两定一动最大值）】 PAGEREF _Tc22693 \h 18
\l "_Tc24968" 【题型6 双对称周长最小】 PAGEREF _Tc24968 \h 22
\l "_Tc12728" 【题型7 两定两动】 PAGEREF _Tc12728 \h 29
\l "_Tc17418" 【题型8 两定一定长】 PAGEREF _Tc17418 \h 36
\l "_Tc31265" 【题型9 两动一定】 PAGEREF _Tc31265 \h 41
\l "_Tc28588" 【题型10 费马点】 PAGEREF _Tc28588 \h 45
【题型1 两点之间线段最短】
【例1】（2023春·福建宁德·八年级校考期中）如图，平地上A，B两点位分别位于一条排水沟的两旁，其上用钢梁覆盖，位于A处的蚂蚁从第 号钢梁上通过到达B处，才能使得全程路程最短．

【答案】4
【分析】将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点A′，再连接A′B，与哪个钢梁相交，就从哪个钢梁上通过．
【详解】解：将点A向右移动两个钢梁之间的距离长度，得到点A′，再连接A′B，如下图：

线段A′B与4号钢梁相交，则从4号钢梁上通过时，全程路程最短，
故答案为：4
【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，先对A点进行平移．
【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）在同一平面内，线段AB=5cm，C为任意一点，则AC+BC的最小值为 ．
【答案】5cm
【分析】分三种情况讨论∶ 当点C在线段AB上时， 当点C在线段AB的延长线或反向延长线上时， 点C在线段AB外时，结合两点之间，线段最短，即可求解．
【详解】解：当点C在线段AB上时， AC+BC=AB=5cm，
当点C在线段AB的延长线或反向延长线上时，
∴AC+BC>AB=5cm，
点C在线段AB外时，
∵两点之间，线段最短，
∴AC+BC>AB=5cm，
综上所述，AC+BC的最小值为5cm．
故答案为：5cm．
【点睛】本题主要考查了线段之间的数量关系，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
【变式1-2】（2023春·山西运城·八年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边关系解题即可．
【详解】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，
∴ A′C=AC，
∴ AC+BC=A′B，
在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，
∴ AC′+BC′=A′C′+BC′，
在ΔA′C′B中，两边之和大于第三边，
∴ A′C′+BC′>A′B，
∴ AC′+BC′>AC+BC，
∴点C到两小区送奶站距离之和最小．

故选：C．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．本题还会有变式：请你找出点C的位置．
【变式1-3】（2023春·全国·八年级课堂例题）[应用意识]如图，P，Q两村之间隔着两条河，需要架设两座桥，桥与河岸垂直．设两条河的宽度相同且保持不变，则桥建在何处才能使两村之间的路程最短？（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【分析】根据两点之间线段最短，利用平移思想进行作图即可．
【详解】解：如图所示：

（1）过点P作PA⊥l1，垂足为A，过点Q作QB⊥l4，垂足为B；
（2）分别在PA和QB上截取PC=QD=河的宽度；
（3）连接CD，分别交l2和l3于点E和M；
（4）过点E和M分别作l1和l4的垂线段，垂足分别为F和N；
（5）连接PF和QN．则桥建在FE和MN处才能使两村之间的路程最短．
【点睛】本题考查最短路径问题．解题的关键是掌握两点之间线段最短，利用平移思想进行转化求解．
【题型2 垂线段最短】
【例2】（2023春·四川成都·八年级校考开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在线段BC上，CD=3.3，点E是AC边上一动点，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，当BF有最小值时，写出AE的值为 .

【答案】1.3
【分析】过D作BD垂线且使得B′ D=BD，连接B′ E，构造△ B′ DE≌△BDF得BF= B′ E，根据点到直线垂线段最短知B′ E⊥AC时，B′ E取最小值，求出此时AE即可．
【详解】解：如图，过D作BD垂线且使得B′ D=BD，连接B′ E，

∵∠EDF=∠ B′ DB=90°，
∴∠BDF+∠ B′ DF=∠ B′ DF+∠ B′ DE，
∴∠BDF=∠ B′ DE，
在△ B′ DE与△BDF中，
B′D=BD∠B′DE=∠BDFDE=DF，
∴△ B′ DE≌△BDFSAS，
∴BF= B′ E，
∵点到直线垂线段最短，
∴ B′ E⊥AC时，B′ E取最小值，
过点B′作B′ G⊥AC交AC于G，
∵∠C=∠CD B′ =∠CG B′ =90°，
∴ AC∥BD,B′G∥CD，
∴ B′ G=CD=3.3，CG= B′ D=BD=8−3.3=4.7，
∴BF取最小值时AE=AG=AC−CG=1.3，
故答案为：1.3．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线垂线段最短，平行线之间的距离相等，作出辅助线构造△ B′ DE≌△BDF是本题的关键．
【变式2-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，边长为4的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 ．

【答案】1
【分析】取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
【详解】解：取BC的中点G，连接MG，如图所示：

∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的高线，
∴HB=12AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
BG=BH∠MBG=∠NBHMB=NB，
∴△MBG≌△NBH(SAS)，
∴MG=NH，
根据垂线段最短，当MG⊥CH时，MG最短，此时即HN最短，
∵∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×4=2，
在Rt△CGM中，∠MCG=30°，∠CMG=90°，MG=12CG=12×2=1，
∴HN=MG=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，含30°的直角三角形等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
【变式2-2】（2023春·全国·八年级课堂例题）如图，OB平分∠MON,A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为E,AE=3,D为OM上的一个动点，BC∥OM,C是DA的延长线与BC的交点，求线段CD的最小值．

【答案】6
【分析】根据BC∥OM，OA=AB，可以证明△OAD≌△BAC，得到AD=AC继而得到CD=2AD，故线段CD的最小值转化为线段DA得最小值，根据垂线段最短，结合角的平分线的性质定理计算即可．
【详解】∵BC∥OM，
∴∠DOA=∠CBA，
∵点A为OB的中点
∴OA=AB，
∵∠DOA=∠CBAOA=BA∠DAO=∠CAB，
∴△OAD≌△BACASA，
∴AD=AC，
∴CD=2AD，
∴线段CD的最小值转化为线段DA得最小值，
根据垂线段最短，
∴DA⊥OM，
∵AE⊥ON，OB平分∠MON，
∴AE=AD，
∵AE=3，
∴AD=3，
∴CD=2AD=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握角的平分线性质定理，三角形全等，垂线段最短是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·江苏无锡·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为AC上一动点，连接BD，以AD，BD为邻边作▱ADBE，连接DE，则DE长的最小值为 ．

【答案】9.6
【分析】过B作BF⊥AC于点F，利用勾股定理建立方程便可求得BF，由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE有最小值，由于平行线间的距离处处相等，故这个最小值也就是BF的长度．
【详解】解：过B作BF⊥AC于点F，

∵平行四边形ADBE中，AD∥BE，即AC∥BE，
∵AB=AC=10，BC=12，
设CF=x，则AF=10−x，
∵BF2=CB2−CF2=AB2−AF2，
即122−x2=102−10−x2，
解得，x=7.2，
∴CF=3.6，
∴BF= BC2−CF2=122−7.22=9.6.，
由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE有最小值，
由于平行线间的距离处处相等，AC∥BE，故这个最小值也就是BF的长度．
∴DE的最小值为9.6．
故答案为：9.6．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识；构造直角形求出BF是解题的关键．
【题型3 平行线之间的距离最短】
【例3】如图，直线，且a，b之间相距．点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，则在Q点的运动过程中，线段的最小值是 ．

【答案】8
【分析】根据垂线段最短进行求解即可
【详解】解：∵直线，点P是直线a上一定点，点Q在直线b上运动，
∴根据垂线段最短可知，在运动过程中，当时，线段有最小值，
∵a，b之间相距，
∴线段的最小值为，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了平行线之间的距离的定义和垂线段最短，牢记平行线之间距离的定义和垂线段最短是本题的关键．
【变式3-1】如图，，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，，则BD的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BD⊥AC时，BD有最小值，根据题意求解即可．
【详解】解：由题意可知当BD⊥AC时，BD有最小值，
此时，AD=CD，∠ABC=90°，
∴BD=AD=BD=AC=2，
∴BD的最小值为2．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解．
【变式3-2】（2023春·北京海淀·八年级首都师范大学附属中学校考开学考试）直线，对平面内不在上，且不在上的任意一点，若到，的距离分别为，，则记．
(1)若，则线段与的公共点个数可能为______；
(2)若取最小值且，则的取值范围是______．
【答案】(1)0或1
(2)
【分析】（1）分两种情况进行讨论：当点A和B均在直线上方且到的距离相等时；当点A和B在直线，之间时，作出相应图形即可求解；
（2）根据题意得出，分两种情况分析：当点P在上方或下方时，当点P在，之间时，结合图形求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，当点A和B均在直线上方且到的距离相等时，
此时线段与的公共点个数为0；

当点A和B在直线，之间时，如图所示：
此时线段与的公共点个数为1；

故答案为：0或1；
（2）当取最小值且时，如图所示：
此时点A恰好在，的中间直线上，
∴，之间的距离为2，即，

当点P在上方或下方时，如图所示：

此时即为，之间的距离为2；
当点P在，之间时，如图所示：

∵，
∴当点P在，的中间直线上时，，
当点P不在，的中间直线上时，；
综上可得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查垂线的定义及点到直线的距离，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
【变式3-3】（2023春·八年级课时练习）如图，直线，点A，D在直线b上，射线AB交直线a于点B，于点C，交射线AB于点E，，，P为射线AB上一动点，P从A点出发沿射线AB方向运动，速度为1cm/s，设点P运动时间为t，M为直线a上一定点，连接PC，PD．
（1）当时，有最小值，求m的值；
（2）当（m为（1）中的取值）时，探究、与的关系，并说明理由；
（3）当（m为（1）中的取值）时，直接写出、与的关系．
【答案】（1）10；（2），见解析；（3）或
【分析】（1）根据P、C、D三点共线时，即点P与点E重合时PC+PD的值最小，解答即可；
（2）当t＜m时，过P在AE上，过点P作PH∥a∥b，根据平行线的性质可得结论；
（3）分两种情况讨论，当点P在线段BE上时，当点P在线段AB的延长线上时，然后仿照第（2）问的证明方法，作出辅助线，根据平行线的性质可得结论．
【详解】解：（1）当点P与E不重合时，在中，，
当点P与E重合时，此时最小，
∴．
∵，，
∴．
∴．
故时，值最小；
（2），理由如下：
如图，当即时，点P在AE上，过点P作，
∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴；
（3）当m＜t≤15即10＜t≤15时，点P在线段BE上，过点P作PHa，如图：
又∵ab，
∴PHab，
∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，
∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，
又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，
∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，
即当10＜t≤15时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；
当t＞15时，点P在线段AB的延长线上，过点P作PGa，如图：
又∵ab，
∴PGab，
∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，
∴∠CPG＝180°－∠PCM， ∠DPG＝180°－∠PDA，
又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，
∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）
＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM
＝∠PCM－∠PDA，
∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
综上所述，当t＞10时，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．
【点睛】本题主要考查平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质及正确作出辅助线是解题的关键．
【题型4 将军饮马（两定一动）】
【例4】（2023春·广东揭阳·八年级统考期末）△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2， P为线段AB上一动点，D为BC边的中点，则PC+PD的最小值为 ．
【答案】5
【分析】作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于P点，连接C′B，根据勾股定理即可求出C′D的长，即 PC+PD的值最小值.
【详解】
解：如图，作C点关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于P点，则PC+PD=PC′+PD=C′D，根据“两点之间线段最短”可知此时PC+PD的值最小，
连接C′B，
∵∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴∠ABC=45°，
∵C点与C′关于AB对称，
∴C′B=CB=2,∠C′BA=∠CBA=45°,
∴∠C′BC=90°,
∵BC=2, D为BC边的中点，
∴BD=1,
∴C′D=C′B2+BD2=22+12=5,
∴PC+PD的最小值为5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了轴对称以及求最短路径问题，熟练掌握将军饮马模型是解题的关键.
【变式4-1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

【答案】17km
【分析】如图（见详解），将小河看成直线MN，由题意先作A关于MN的对称点A′，连接A′B，构建直角三角形，则A′B就是最短路线；在Rt△A′DB中，∠A′DB=90°，BD=8km，A′D=AD+A′A，利用勾股定理即可求出A′B．
【详解】如图，做出点A关于小河MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度．

由题意知：A′D=4+4+7=15km，BD=8km，∠D=90°，
在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B=A′D2+BD2=17km，
则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，掌握轴对称的性质和勾股定理是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是 ．
【答案】4
【分析】根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到∠ABC=∠A′BC′=60°，A′B=AB=BC=2，证明△CBD≌△A′BD，得到CD=A′D，推出当A、D、A′三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A′B+AB=4．
【详解】解：如图，连接A′D，
∵正△ABC的边长为2，△ABC与△A′BC′关于直线l对称，
∴∠ABC=∠A′BC′=60°，A′B=AB=BC=2，
∴∠CBC′=60°，
∴∠CBC′=∠A′BC′，
∵BD=BD，
∴△CBD≌△A′BD，
∴CD=A′D，
∴AD+CD=A′D+CD，
∴当A、D、A′三点共线时，AD+CD最小，此时AD+CD=A′B+AB=4，
故答案为：4．
．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．
【变式4-3】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB边的垂直平分线DE交AB于点D，若AE=3，
(1)求BC的长；
(2)若点P是直线DE上的动点，直接写出PA+PC的最小值为_________．
【答案】(1)9
(2)9
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证△ABE为等腰三角形，由角度可证△ACE为30°直角三角形，再由线段之间的关系即可求出BC的长；
（2）根据将军饮马原理即可得出PA+PC的最小值为BC的长度．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=30°
∵AB边的垂直平分线交AB于点D，
∴BE=AE=3，
∴∠BAE=∠B=30°
∴∠CAE=∠BAC−∠BAE=120°−30°=90°
在Rt△CAE中，∠C=30°
∴CE=2AE=6
∴BC=BE+CE=3+6=9
（2）解：如图，
取点A关于直线DE的对称点，即点B；连接B,C两点，与直线DE交于点P(E)，
∵ PA=PB
∴ PA+PC=PB+PC
根据两点之间线段最短
则BC即为PA+PC的最小值，最小值为9
【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．
【题型5 三点共线（两定一动最大值）】
【例5】（2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA−PB的最大值为 .
【答案】8cm
【分析】根据垂直平分线的性质得到MA=MC，再利用三角形两边之差小于第三边解答即可．
【详解】解：∵MN垂直平分AC，
∴MA=MC，
又∵C△BMC=BM+MC+BC=20cm，BM+MA=AB=12cm，
∴BC=20−12=8cm，
在MN上取点P，连接PA、PB、PC，
∵MN垂直平分AC，
∴PA=PC，
∴PA−PB=PC−PB，
在△PBC中PC−PB