中考数学一轮复习专题1.5 角平分线的判定与性质【八大题型】（举一反三）（北师大版）（原卷版）

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\l "_Tc17141" 【题型1 利用角平分线的性质求长度】 PAGEREF _Tc17141 \h 1
\l "_Tc22379" 【题型2 利用角平分线的性质求面积】 PAGEREF _Tc22379 \h 2
\l "_Tc19085" 【题型3 利用角平分线的性质证明】 PAGEREF _Tc19085 \h 3
\l "_Tc32587" 【题型4 角平分线的判定】 PAGEREF _Tc32587 \h 4
\l "_Tc6038" 【题型5 尺规作角平分线】 PAGEREF _Tc6038 \h 6
\l "_Tc18514" 【题型6 角平分线的性质与判定综合运用】 PAGEREF _Tc18514 \h 7
\l "_Tc12720" 【题型7 利用角平分线的性质判断多结论问题】 PAGEREF _Tc12720 \h 9
\l "_Tc2449" 【题型8 角平分线的性质的实际应用】 PAGEREF _Tc2449 \h 10
【知识点1 角平分线的性质】
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【题型1 利用角平分线的性质求长度】
【例1】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC=DC，AB=17，AD=9，则AE的长为（ ）

A．13B．12C．11D．10
【变式1-1】（2023春·贵州·八年级统考期末）如图，已知AB∥CD，射线AE平分∠BAC，过点E作EH⊥AC于点H，作EF⊥AB于点F，并延长FE交CD于点G，连接CE．若∠AEC=90°，EH=1则FG的长为 ．

【变式1-2】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠A=90°，CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则△BDE的周长是 cm．

【变式1-3】（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考开学考试）如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E，若BD=5，则CE的值为 ．
【题型2 利用角平分线的性质求面积】
【例2】（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=2，则△ABC的面积是（ ）

A．6B．9C．18D．36
【变式2-1】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=10，DE=3，则△BCE的面积等于（ ）
A．9B．13C．15D．30
【变式2-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，∠B=∠C=90°，AE平分∠BAD，DE平分∠DAC，若S△CDE:S△ABE=2:3，则S△ADE∶S△DCE= ．

【变式2-3】（2023春·山东枣庄·八年级校考期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△EFD的面积分别为50和4.5，则△AED的面积为 ．
【题型3 利用角平分线的性质证明】
【例3】（2023春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知∠C=60°，AE,BD是△ABC的角平分线，且交于点P．
(1)直接写出∠DPE=___________°；

(2)求证：PD=PE；
(3)探究AB、AD、BE的数量关系．
【变式3-1】（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．
【变式3-2】（2023春·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，已知△ABC中，∠BAC、∠ABC的平分线交于O，AO交BC于D，BO交AC于E，连接OC，过O作OF⊥BC于F，

(1)试判断∠AOB与∠COF有何数量关系，并证明你的结论；
(2)若∠ACB=60°，探究OE与OD的数量关系，并证明你的结论．
【知识点2 角平分线的判定】
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【题型4 角平分线的判定】
【例4】（2023春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD（OA
(1)求证：AC=BD；
(2)用α表示∠AMB的大小；
(3)求证：OM平分∠AMD．
【变式4-1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）已知，如图，在△ABC中，AB=AC，在△ADE中，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：∠BFA=∠AFE．
【变式4-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，四边形ABCD中，BC=CD，∠BCD=120°，E，F分别为AB，AD上的点，∠ECF=∠A=60°．

(1)求证：EF=BE+DF．
(2)求证：点C在∠BAD的平分线上．
【知识点3 角平分线的作法】
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
③画射线OC.即射线OC即为所求.
【题型5 尺规作角平分线】
【例5】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，BD是高，BE是角平分线，∠EBD=10°，∠C=60°．

(1)尺规作图（保留作图痕迹）：作△BED的角平分线EF；
(2)在满足（1）的条件下，求证：EF∥AB．
【变式5-1】（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考期末）如图，△ABC，∠C=90°，请在AC上找一点D，使点D到AB的距离等于CD．（尺规作图，不写作法，保留痕迹）

【变式5-2】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）（1）作图（请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

已知：Rt△AOB，∠B=90°．
求作：射线OC，使射线OC与AB交于点C，且∠AOC=∠BOC．
（2）说明
请根据你的作图，说明∠AOC=∠BOC的道理．
（3）应用
若在Rt△AOB中，OA=12，BC=4，则△AOC的面积为________．
【变式5-3】（2023春·北京·八年级校考期中）在△ABC中，AB>BC，直线l垂直平分AC；作∠ABC的平分线交直线l于点D，连接AD，CD；
(1)尺规作图补全图形；
(2)判断∠BAD和∠BCD的数量关系，并证明．
【题型6 角平分线的性质与判定综合运用】
【例6】（2023春·四川达州·八年级校考期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB=100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH=50°．

(1)求∠ACE的度数；
(2)求证：AE平分∠CAF；
(3)若AC+CD=14，AB=10，且S△ACD=21，求△ABE的面积．
【变式6-1】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，连接DE、CD，EF⊥CD于F，DE＝CE．
（1）如图1，求证：DF＝CF；
（2）如图2，若∠AED＝∠ABC，EG⊥BC于G，连接BE交CD于H，求证：∠ABE＝∠CBE；
（3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝6CG，DH＝4，求HF的长．
【变式6-2】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①直接写出∠E与∠A的数量关系___________；
②连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若已知DE=DC=AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
【变式6-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．

(1)如图1，求∠BGC的度数；
(2)如图2，求证：EG=FG；
(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．
【题型7 利用角平分线的性质判断多结论问题】
【例7】（2023春·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，BF是中线，AE与BF相交于O，∠C>∠ABC以下结论正确的有（ ）

①∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠C；②S△ABF=S△CBF；
③∠EAD=12∠C−∠ABC；④S△ABE:S△ACE=AB:AC；
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-1】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，BD，CE交于点O，分别过点O作OM⊥AB于点M，作ON⊥AC于点N．下列结论：①∠BOC=120°；②OE=OD；③AM=AN；④EM=DN．其中正确的有（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个
【变式7-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、角平分线和高线，BE交CF于点G，交AD于点H，下面说法中一定正确的是（ ）
△ACD的面积等于△ABD的面积； ②∠CEG=∠CGE；
③∠ACF=2∠ABE； ④AH=BH．

A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
【变式7-3】（2023春·湖北武汉·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，∠BOD=45°，OF⊥AD，下列结论：①AD平分∠BAC；②AD=OG+OF；③若BD=3，AB=12，则AG=9；④ S△ACD:S△ABD=AB:AC；其中正确的是（ ）

A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④
【题型8 角平分线的性质的实际应用】
【例8】（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，两条公路AO，BO交于点O，村庄M，N的位置如图所示，M在公路OA上，现要修建一个快递站P，使快递站到两条公路的距离相等，且到两村庄的距离也相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

【变式8-1】（2023春·湖南株洲·八年级校考期末）如图，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC=1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为 m．

【变式8-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭P供大家休息，且凉亭P到草坪三边的距离相等，利用直尺和圆规，确定凉亭P的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式8-3】（2023春·陕西西安·八年级统考期中）如图，两条公路AB，CD形成S区域，S区域内有两个农贸市场E，F，现想在S区域内建一个货物中转站M，使M不仅到两条公路距离相等，且到两个农贸市场距离也相等，请在图中求作点M的位置．（要求用尺规作图，保留作图痕迹）