中考数学一轮复习专题1.2 解直角三角形【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版）

这是一份中考数学一轮复习专题1.2 解直角三角形【十大题型】（举一反三）（北师大版）（解析版），共54页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16739" 【题型1 直角三角形中直接解直角三角形】 PAGEREF _Tc16739 \h 1
\l "_Tc3250" 【题型2 构造直角三角形解直角三角形】 PAGEREF _Tc3250 \h 4
\l "_Tc26191" 【题型3 网格中解直角三角形】 PAGEREF _Tc26191 \h 9
\l "_Tc20815" 【题型4 坐标系中解直角三角形】 PAGEREF _Tc20815 \h 15
\l "_Tc26997" 【题型5 四边形中解直角三角形】 PAGEREF _Tc26997 \h 22
\l "_Tc4991" 【题型6 利用解直角三角形求不规则图形的面积】 PAGEREF _Tc4991 \h 26
\l "_Tc1054" 【题型7 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】 PAGEREF _Tc1054 \h 31
\l "_Tc21372" 【题型8 解直角三角形的应用之俯角仰角问题】 PAGEREF _Tc21372 \h 37
\l "_Tc31076" 【题型9 解直角三角形的应用之方向角问题】 PAGEREF _Tc31076 \h 41
\l "_Tc9367" 【题型10 解直角三角形的应用之实物建模问题】 PAGEREF _Tc9367 \h 48
【知识点 解直角三角形】
【题型1 直角三角形中直接解直角三角形】
【例1】（2023秋·上海青浦·九年级校考期中）如果AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，BC=a，∠B=β，那么AD等于（ ）
A．asinβcsβB．acs2βC．asin2βD．asinβtanβ
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，再由锐角三角函数的定义及三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：如图所示，
∵在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，BC=a，∠B=β，
∴AC=αcsβ，AB=αcsβ，
∵AD⊥BC，
∴BC⋅AD=AC⋅AB，，
∴AD=AC⋅ABBC=αsinβ⋅αcsβα=αsinβcsβ，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
【变式1-1】（2023秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB=4，DE=3，∠C=30°，求BE的长．

【答案】43−6
【分析】在Rt△CDE中，CE=DEsin30°=6，在Rt△ABC中，求出
BC=ABtan30°=43，即可得到BE的长．
【详解】解：在Rt△CDE中，sinC=DECE，DE=3，∠C=30°，
∴CE=DEsin30°=6，
在Rt△ABC中，tanC=ABBC．AB=4，
∴BC=ABtan30°=43，
∴BE=BC−CE=43−6．
【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值并准确计算是解题的关键．
【变式1-2】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°．D为线段AB上的动点．

(1)若D运动到某个位置时，∠CDB=60°，CD=10米，求BC的长度．
(2)若点D运动到某个位置时，∠CDB=45°，AD=6米．求BC的长度．（结果可保留根号）
【答案】(1)53米
(2)33+1米
【分析】（1）在△ABC中，在Rt△ABC中利用正弦函数即可
（2）设BC=x，则CB=BD=x，在Rt△ABC中利用三角函数即可；
【详解】（1）解：在△ABC中，∠B=90°，sin∠CDB=BCCD，CD=10米，
则BC=sin∠CDB⋅CD
=sin60°⋅10=32×10=53
答：此时BC长为53米.
（2）解：设BC=x，在Rt△CBD中，∠CDB=45°
则△CBD是等腰直角三角形，CB=BD=x
在Rt△ABC中，∠B=90°，tanA=BCAB，
tan30°=xAB，
则AB=xtan30°=3x
AD=AB−BD=3x−x=6
x=33+1
答：BC的长度为33+1米．
【点睛】本题主要考查了三角函数在解直角三角形中的应用，明确三角函数的定义式及其变形是解题的关键．
【变式1-3】（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，sinB=45，D为线段BC上一点，并且CD=2，求BD及cs∠DAC的值．

【答案】BD=4，cs∠DAC=41717
【分析】根据锐角三角函数关系得出AB的长，再利用勾股定理得出BC的长，即可得出BD的长，直接利用勾股定理得出AD的长，再根据锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，sinB=ACAB=45，
∵AC=8，
∴AB=10，BC=AB2−AC2=6，
又∵BD=BC−CD，CD=2，
∴BD=6−2=4，
在Rt△ACD中，
∴AD=AC2+DC2=64+4=217，
∴cs∠DAC=ACAD=8217=41717．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确利用锐角三角函数关系求出是解题关键．
【题型2 构造直角三角形解直角三角形】
【例2】（2023秋·广西梧州·九年级统考期末）已知在△ABC中，AB=122，AC=13 ，csB=22，则BC的长（ ）
A．7B．8C．8或17D．7或17
【答案】D
【分析】①过A作AD⊥BC交BC于D，可求 BD122=22，AD=BD，从而可求BD=AD=12，CD=AC2−AD2=5，即可求解；②过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，由BC=BD−CD即可求解．
【详解】解：①如图，过A作AD⊥BC交BC于D，

∵ csB=22，
∵BDAB=22，∠B=45°，
∴ BD122=22，AD=BD，
∴BD=AD=12，
∴CD=AC2−AD2
=132−122=5，
∴BC=BD+CD=17；
②如图，过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，

∴BD=AD=12，CD=5，
∴BC=BD−CD=7；
综上所述：BC的长为7或17．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握解法是解题的关键．
【变式2-1】（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，已知将△ABC沿角平分线BE所在直线翻折，点A恰好落在边BC的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的余弦值为 .

【答案】31313
【分析】设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，证出MF为△BCE的中位线，由三角形中位线定理得出MF=12BE，由翻折变换的性质得出：AM⊥BE，AD=MD，同理由三角形中位线定理得出DE=12MF，设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，得出BD=3a，MD=12AM=2a，利用勾股定理求出BM，根据余弦的定义即可得出结果．
【详解】解：设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，如图所示：

∵M为BC的中点，
∴F为CE的中点，
∴MF为△BCE的中位线，
∴MF=12BE，
由翻折变换的性质得：AM⊥BE，AD=MD，
同理：DE是△AMF的中位线，
∴DE=12MF，
设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，
∴BD=3a，MD=12AM=2a，
∵∠BDM=90°，
∴BM=BD2+DM2=13a，
∴cs∠EBC=BDBM=3a13a=31313．
故答案为：31313．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出MF=12BE，DE=12MF是解决问题的关键．
【变式2-2】（2023·江苏·统考中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接正六边形的三个顶点得到△ABC，则tan∠ACB的值是 ．

【答案】233
【分析】如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，根据正六边形的内角为120°，设正六边形的边长为1，求得CD,AD，根据正切的定义，即可求解．
【详解】解：如图所示，补充一个与已知相同的正六边形，

∵正六边形对边互相平行，且内角为120°，
∴∠EDF=30°,∠ADB=90°

过点E作EG⊥FD于G，
∴FD=2FG=2EF×cs30°=3
设正六边形的边长为1，则CD=3，AD=2FD=23，
∴tan∠ACB=ADCD=233
故答案为：233．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
【变式2-3】（2023秋·上海静安·九年级上海市民办扬波中学校考期中）如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于点D，将△BCD绕点B逆时针旋转，旋转角的大小与∠CBA相等，如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置，那么∠EFD的正切值是 ．

【答案】12
【分析】由题意画图如下，过A作AQ⊥BC于Q，过D作DP⊥BC于P，DH⊥BF于H，先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得∠CBA=∠BCA，BQ=CQ=3，AQ=4，利用三角形的面积公式求得BD=245，进而利用勾股定理和锐角三角函数求得CD=185，DP=7225，CP=5425，则BP=9625，由旋转性质和矩形的判定与性质证明四边形BPDH是矩形得到BH=DP=7225，DH=BP=9625，则FH=4825，利用平行线性质证得∠EFD=∠FDH，求解tan∠FDH=FHDH=12即可求解．
【详解】解：由题意画图如下，过A作AQ⊥BC于Q，过D作DP⊥BC于P，DH⊥BF于H，

∵AB=AC=5，BC=6，
∴∠CBA=∠BCA，BQ=CQ=3，则AQ=AB2−BQ2=52−32=4，
由S△ABC=12BC⋅AQ=12AC⋅BD得BD=BC⋅AQAC=6×45=245，
∴CD=BC2−BD2=62−2452=185，
∵sin∠C=AQAC=DPCD，cs∠C=CQAC=CPCD，
∴DP=4×1855=7225，CP=3×1855=5425，则BP=BC−CP=9625，
由旋转性质得BF=BD=245，∠BFE=∠BDC=90°，∠DBF=∠CBA，
∴∠FBC=∠DBF+∠CBD=∠CBA+∠CBD=∠C+∠CBD=90°，
∴∠FBC=∠BPD=∠BHD=90°，
∴四边形BPDH是矩形，
∴BH=DP=7225，DH=BP=9625，
∴FH=BF−BH=245−7225=4825，
∵∠BFE=∠BHD=90°，
∴EF∥DH，
∴∠EFD=∠FDH，
在Rt△FHD中，tan∠FDH=FHDH=12，
∴tan∠EFD=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用锐角三角函数寻求边角关系是解答的关键．
【题型3 网格中解直角三角形】
【例3】（2023·湖北武汉·统考三模）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，C两个点是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图中，点B是格点，先画线段AB的中点D，再在AC上画点E，使AD=DE；

(2)在图中，点B在格线上，过点C作AB的平行线CF；

(3)在图中，点B在格线上，在AB上画点G，使tan∠ACG=47．

【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3)详见解析
【分析】（1）根据网格特点先作线段AB的中点D，然后作AC的垂线，交AC于点E，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出AD=DE；
（2）连接BC，利用正方形网格确定BC中点，然后连接点A与中点，延长，利用网格及矩形的对角线即可确定点F；
（3）根据网格的特点将线段AC绕点A逆时针旋转90°，然后利用网格使得两个相似三角形的比为4:3，连接点C与交点交AB于点G，则点G即为所求．
【详解】（1）解：解：如图所示，点D,E即为所求；

（2）如图所示：CF即为所求；

（3）如图所示：点G即为所求；

【点睛】本题考查了正切的定义，无刻度直尺作图，直角三角形斜边上的中线等于斜边的，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键．
【变式3-1】（2023秋·江苏苏州·九年级统考期中）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为 ．
【答案】3
【分析】作M、N两点，连接CM，DN，根据题意可得CM∥AB，从而 可得∠APD＝∠NCD，然后先利用勾股定理的 逆定理证明△CDN是直角三角形，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：如图所示，作M、N点，连接CM、DN，
由题意得：CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，
由题意得：CN2=12+12=2，DN2=32+32=18，CD2=22+42=20，
∴CN2+DN2=CD2，
∴△CDN是直角三角形，
∴tan∠DCN=DNCN=322=3，
∴∠APD的正切值为：3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式3-2】（2023秋·福建泉州·九年级统考期末）如图，A、B、C、D是正方形网格的格点，AB、CD交于点O，则cs∠BOD的值为 ．
【答案】55
【分析】连接AE、BE，利用正方形的性质证明CD∥AE、∠AEB=90°，这样把求∠BOD的余弦值转化为求∠BAE的余弦值，在Rt△ABE中，利用勾股定理和直角三角形的边角关系求解；
【详解】解：如图，连接AE、BE，
根据勾股定理，得AE=2，AB=10，
∵AE、BE、CD都是正方形的对角线，
∴∠BCD=∠CBD=45°，
∴∠CDB=90°，
同理∠AEB=90°，
∴CD∥AE，
∴∠BOD＝∠BAE，
在Rt△ABE中，
cs∠BAE=AEAB=210=55；
故答案为：55．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式3-3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图是由小正方形组成的8×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点C绕点D旋转180°得到点F，画出点F；再在边AB上画点G，使EG∥BC；
(2)在图（2）中，在边AB上找一点P，使PA=PC；再在线段AC上找一点Q，使tan∠ABQ=34
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）点C绕点D旋转180°即延长CD即可找到点F，最后构造平行四边形ABCF即可解决问题；
（2）先构造正方形，然后找到对角线交点和AC中点，连接两点的直线与AB的交点即为所作点P；点Q就是△ABC边AC高的垂足．
【详解】（1）如图，

如图（1），根据网格可知CD=DF,AD=BD，BH=CE，
∴四边形ACBF是平行四边形，
∴AC∥BF
∴四边形CEHB是平行四边形，
∴EH∥BC，即有EG∥BC，
∴如图（1）点F、G即为所求；
（2）如图，

如图（2），根据网格可知，四边形ABEF为正方形，AQ=CQ，
∴OA=OC=OE=OF，
∴点O在AC垂直平分线上，点S在AC垂直平分线上，
∴MN垂直平分AC，
∴PA=PC，
根据网格易得：∠BAI=90°，AB=AI，H是AI的四等分点，连接BH交AC于点Q，
∴AH=34AI=34AB
在RtABH中，tan∠ABH=AHAB=34ABAB=34，即tan∠ABQ=34，
∴如图（1）点 P、Q 即为所求；
【点睛】本题考查无刻度直尺作图，解题关键是熟练掌握平行四边形，正方形的性质和判定，垂直平分线的性质，锐角三角函数的应用．
【题型4 坐标系中解直角三角形】
【例4】（2023·河南洛阳·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，∠BOC=60°，顶点C的坐标为(a,3)，y=kx的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（ ）

A．−23B．−33C．−43D．−63
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC=60°，顶点C的坐标为(a,3)，可求得OC的长，进而根据菱形的性质，可求得OB的长，且∠AOB=30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y=kx的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．
【详解】解：过点C作CE⊥x轴于点E，

∵顶点C的坐标为(a,3)，
∴OE=−a，CE=3，
∴OC=CEsin60°=23，
∵菱形ABOC中，∠BOC=60°，
∴OB=OC=23，∠BOD=12∠BOC=30°，
∵DB⊥x轴，
∴DB=OB⋅tan30°=23×33=2，
∴点D的坐标为：−23,2，
∵反比例函数y=kx的图象与菱形对角线AO交于点D，
∴k=xy=−43．
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的性质，解直角三角形，反比例函数图象上点的坐标特征．注意准确作出辅助线，求出OC是解本题关键．
【变式4-1】（2023·广东湛江·岭师附中校联考一模）如图，在△ABO中，AB⊥OB，AB=3，OB=1，把△ABO绕点O顺时针旋转120°后，得到△A1B1O，则点A1的坐标为 ．

【答案】1,−3
【分析】首先根据勾股定理得到AO=OB2+AB2=2，然后求出∠A=30°，∠AOB=60°，然后利用旋转的性质得到∠AOA1=120°，OA=OA1，进而得到点A和点A1关于x轴对称，进而求解即可．
【详解】∵AB⊥OB，AB=3，OB=1，
∴AO=OB2+AB2=2，A1,3，
∴sinA=OBOA=12，
∴∠A=30°，∠AOB=60°，
∵如图所示，把△ABO绕点O顺时针旋转120°后，得到△A1B1O，

∴∠AOA1=120°，OA=OA1，
∴∠A1OB=60°，
∴点A和点A1关于x轴对称，
∵A1,3，
∴A11,−3．
故答案为：1,−3．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标是解题的关键．
【变式4-2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点A、点B．OB=3，tan∠BAO=12．

(1)求直线AB的解析式；
(2)若点C在x轴上方的直线AB上，△AOC的面积为15，求tan∠BOC．
【答案】(1)y=12x+3
(2)45
【分析】（1）利用tan∠BAO=12求出OA，再利用待定系数法求AB的解析式；
（2）过点C作CH⊥x轴于点H，根据△AOC的面积求出CH，再根据一次函数的性质求出OH，则tan∠BOC =tan∠OCH=OHCH．
【详解】（1）解：∵ OB=3，点B在y轴正半轴上，
∴ B0,3，
∵ tan∠BAO=12，
∴ OA=OBtan∠BAO=312=6，
∵点A在x轴的负半轴上，
∴ A−6,0，
设直线AB的解析式为y=kx+b，将A−6,0，B0,3代入，得：
−6k+b=0b=3，
解得k=12b=3，
∴直线AB的解析式为y=12x+3，
（2）解：如图，过点C作CH⊥x轴于点H，则CH∥OB，

∵ S△AOC=12OA⋅CH，
∴ CH=2S△AOCOA=2×156=5，
∴点C的纵坐标为5，
∵点C在直线y=12x+3上，将y=5代入，得12x+3=5，
解得x=4
∴点C的横坐标为4，即OH=4，
∴ tan∠OCH=OHCH=45，
∵ CH∥OB，
∴ ∠OCH=∠BOC，
∴ tan∠BOC =tan∠OCH=45．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形．
【变式4-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+6k交x轴于点B，交y轴于点A，AB=2AO．

(1)如图1，求k的值；
(2)如图2，点H在AB上，点F在OB上，连接FH、OH，且FH=OH，过点F作AB的垂线，垂足为点S，设点H的横坐标为t，−3367.5，
∴他们能在19：00之前到达C地．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
【变式9-1】（2023·江苏宿迁·统考三模）宿迁骆马湖两岸风光如画，大家都喜欢坐游船游览观光．如图，在某两段平行航道（不考虑其他因素），甲游船由西向东慢速航行，同时乙游船由东向西航行．喜爱数学的小华在甲游船到达点A处时测得C处的乙游船在甲游船的北偏东67.4°方向，向前行驶156m到点B处测得行驶到D处的乙游船在甲游船的北偏东37°方向，CD=240m，求第二次测量时甲、乙两游船之间的距离．（参考数据sin22.6°≈513，cs22.6°≈1213，tan22.6°≈512，sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）
【答案】300m
【分析】根据题意构造直角三角形，在直角三角形利用三角函数值求出对应的边长关系，设参数建立方程求出参数，即可求出DM和BM长度，最后利用勾股定理即可求出答案.
【详解】解：过点D作DM⊥AB于点M，过点C作CN⊥AB于N，如图所示，

根据题意得：∠1=90°−67.4°=22.6°，∠2=90°−37°=53°，
∵DM⊥AB，CN⊥AB，AB∥CD，
∴∠3=∠4=∠MDC=∠DCN=90°，
∴四边形CDMN为矩形.
∴MN=CD=240m，DM=CN.
∴在Rt△DBM中，tan∠2=tan53°=DMBM=43.
设DM=4xm则BM=3xm，CN=4xm，
∴在Rt△ACN中，tan∠1=tan22.6°=CNAN=125.
∴4x156+3x+240=125.
∴48x=1980+15x.
∴x=60.
∴DM=4×60=240m，BM=3×60=180m.
∴在Rt△DBM中，BD=BM2+DM2=1802+2402=300m.
∴第二次测量时甲、乙两游船之间的距离约是300m.
【点睛】本题考查的是解直角三角形中的实际应用，涉及到有锐角三角函数、勾股定理、矩形的面积，解题的关键在于正确理解题意，合理运用相关数学知识.
【变式9-2】（2023春·安徽合肥·九年级校考开学考试）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东25°方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28°方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58°方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处．（结果保留整数．参考数据：3≈1.73，sin53°≈45，cs53°≈35，tan53°≈43）．
【答案】估计8分钟可以到达事故船A处
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，由题意得：BC=1260m，∠ABD=53°，∠ACB=30°，然后设AD=xm，分别在Rt△ABD和Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，从而根据CD+BD=BC，列出关于x的方程，进行计算可求出AD的长，进而求出AC的长，即可求出结果．
【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，由题意得：
BC=1260m，∠ABD=28°+25°=53°，∠ACB=58°−28°=30°，
设AD=xm，
在Rt△ABD中，BD=ADtan53°≈x43=34xm，
在Rt△ADC中，CD=ADtan30°=x33=3xm，
∵CD+BD=BC，
∴3x+34x=1260，
解得：x≈508.1，
∴AD≈508.1m，
在Rt△ADC中，∠ACD=30°，
∴AC=2AD=1016.2m，
∴1016.2÷120≈8（分钟），
∴估计8分钟可以到达事故船A处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方位角问题，根据已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式9-3】（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）期中测试临近学生都在紧张的复习中，小甘和小西相约周末去图书馆复习，如图，小甘从家A地沿着正东方向走900m到小西家B地，经测量图书馆C地在B地的北偏东15°，C地在A地的东北方向．
(1)求AC的距离：
(2)两人准备从B地出发，实然接到疾控中心通知，一名确诊的新冠阳性患者昨天经过了C地，并沿着C地南偏东22°走了1800m到达D地，根据相关要求，凡是确诊者途径之处800m区域以内都会划为管控区，问：小西家会被划为管控区吗？请说明理由（参考数据：3≈1.73,2≈1.41,6≈2.45,sin37°≈0.6,cs37°≈0.8,tan37°≈0.75）．
【答案】(1)1737m;
(2)小西家会被划为管控区，理由见解析．
【分析】（1）过点B作BE⊥AC于点E，根据题意可得∠BAE=45°,∠CBA=90°+15°=105°,AB=900m，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题；
(2)过点B作BF⊥CD于点F，根据题意可得∠GBC=∠BCH=15°,∠DCH=22°，所以∠BCF=15°+22°=37°，然后根据锐角三角函数即可解决问题．
【详解】（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，
根据题意可知：∠BAE=45°，∠CBA=90°+15°=105°，AB=900m，
∴∠BCE=180°−45°−105°=30°，
∴BE=AE=22AB=4502m，
∴CE=3BE=4506m，∴AC=AE+CE=4502+4506=450(2+6)≈450×3.86≈1737(m)；
∴AC的距离约为1737m;
（2）小西家会被划为管控区，理由如下：
如图，过点B作BF⊥CD于点F，
根据题意可知∶∠GBC=∠BCH=15°,∠DCH=22°，
∴∠BCF=15°+22°=37°,
在Rt△CBF中，CB=2BE=2×4502=9002(m)，
∴BF=CB⋅sin37°≈9002×0.6≈764(m),
∵764