辽宁省辽东南协作体2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

这是一份辽宁省辽东南协作体2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时间：90分钟满分：120分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷(选择题，共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数的虚部为（ ）
A．﹣2B．2C．1D．﹣1
3．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466﹣485年间．其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同。已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（ ）尺
A．B．C．D．
7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种B．10种C．9种D．8种
8．已知椭圆()的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（ ）
A．±1B．±2C．±4D．±8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为π
B．函数在上单调递增
C．将函数图像的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位后关于y轴对称
D．函数在上的最小值为
10．已知正方体的棱长为a，点E，F，G分别棱AB，，的中点，下列结论正确的是（ ）
A．平面B．四面体的体积等于
C．FG与平面ABCD所成角的正切值为D．平面EFG
11．已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．函数在上单调递增
C．函数在上有3个零点D．点是函数的图象的一个对称中心
第Ⅱ卷(非选择题，共92分)
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为5：2：3，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则n＝_______；
13．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为_______；
14．已知函数．若，且，则的取值范围是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(本小题满分13分)已知函数，
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程
(2)若曲线与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．
16．(本小题满分15分)某校积极响应习近平总书记关于共建学习型社会的号召，开展了“学党史，强信仰，跟党走”的主题学习活动．在一次“党史”知识竞赛活动中，给出了A、B、C三道题，答对A、B、C分别得2分、2分、4分，答错不得分．已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为、、，乙同学答对问题A、B、C的概率均为，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立。
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)请结合统计的知识判断甲、乙两人在本次“党史”知识竞赛中，哪位同学得分高．
17．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P﹣ACBD中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是棱PB的中点．
(1)证明：平面平面PBC．
(2)若BC＝3，求二面角A﹣CE﹣D的余弦值．
18．(本小题满分17分)已知抛物线C：上的点到其焦点的距离为2．
(1)求点P的坐标及抛物线C的方程；
(2)若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点．
19．(本小题满分17分)
对于给定的正整数m和实数a，若数列满足如下两个性质：
①；②对任意的，，则称数列具有性质．
(Ⅰ)若数列具有性质，求数列的前10项和；
(Ⅱ)对于给定的正奇数t，若数列同时具有性质和，求数列的通项式；
(Ⅲ)若数列具有性质，求证：存在自然数N，对任意的正整数k，不等式均成立．
高三数学答案
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 20013． 14．(3，＋∞)
四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
解：（1）当时，，，
∴，
∴曲线y＝f（x）在点(0，f(0))处的切线的方程为．………………4分
（2）由得，，
当时，，函数在R上单调递增，
此时，
所以当时，曲线y＝f（x）与x轴有且只有一个交点；………………8分
当时，令得，，
∴单调递增，单调递减，
∴当时，函数有极大值，
若曲线y＝f（x）与x轴有且只有一个交点，
则，解得，
综上所述，当或时，曲线y＝f（x）与x轴有且只有一个交点．………………13分
16．（本小题满分15分）
解：（1）设甲同学三道题都答对的事件为，则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为．………………5分
（2）设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则，，
，
所以的概率分布列为：
所以（分） ………………9分
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分
，，
，
所以的概率分布列为：
所以………………13分
由于，
所以乙同学的得分高．………………15分
17．（本小题满分15分）
证明：因为底面，平面，所以．
四边形为矩形，所以，因为，所以平面．
从而，因为，点是棱的中点﹐所以．
因为，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．………………6分
解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示，依题意可得，
设平面的法向量为，由，得
不妨令可得．………………9分
设平面的法向量为，由，得
不妨令，可得．………………12分
易知二面角为锐角，，
所以二面角的余弦值为．………………15分
18．（本小题满分17分）
解：（1）抛物线的焦点，准线为，
因为点到其焦点的距离为2，所以，解得，………………2分
所以抛物线的方程为，………………4分
因为点在抛物线上，所以，解得，所以，
综上，P点坐标为，抛物线的方程为．………………8分
（2）证明：设直线MN的方程为，
，，联立，得，
所以，，所以，………………10分
同理可得， ………………12分
因，所以，所以，
所以，即（满足），
直线MN的方程为，
所以直线MN过定点．………………17分
19．（本小题满分17分）
解：（Ⅰ）依题意，且，
所以数列的前10项和为5． ………………5分
（Ⅱ）由于数列具有性质和，其中为大于零的奇数，
令，，则有，
所以．
综上为常数列．
又因为具有性质，所以．
所以． ………………10分
（Ⅲ）要证，
只需证，
即只需证，
令数列，由于数列具有性质，则数列具有性质．
令，
设的最小值为，
对，令，，，
由于具有性质，所以．
所以．
所以成立． ………………17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
A
D
C
B
A
B
AB
ABC
AD