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专题3-4 二次函数选填压轴7类常考热点问题 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）
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这是一份专题3-4 二次函数选填压轴7类常考热点问题 备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用），文件包含专题3-4二次函数选填压轴7类常考热点问题原卷版docx、专题3-4二次函数选填压轴7类常考热点问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-4" \n \h \z \u \l "_Tc155365975" 【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）
\l "_Tc155365976" 2023年湖南省娄底市中考真题
\l "_Tc155365977" 2023年四川省达州市中考真题
\l "_Tc155365978" 2023年山东省烟台市中考真题
\l "_Tc155365979" 2023年四川省遂宁市中考真题
\l "_Tc155365980" 2022年辽宁省丹东市中考真题
\l "_Tc155365981" 【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）
\l "_Tc155365982" 2023年黑龙江省牡丹江市中考真题
\l "_Tc155365983" 2023年四川省乐山市中考真题
\l "_Tc155365984" 2023年四川省眉山市中考真题
\l "_Tc155365985" 2023年辽宁省营口市中考真题
\l "_Tc155365986" 2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题
\l "_Tc155365987" 2023年四川省广安市中考真题
\l "_Tc155365988" 2023年辽宁省丹东市中考真题
\l "_Tc155365989" 2023武汉市华中科技大学附属中学二模
\l "_Tc155365990" 2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题
\l "_Tc155365991" 2022黑龙江省牡丹江市中考真题
\l "_Tc155365992" 【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）
\l "_Tc155365993" 2022·四川凉山中考真题
\l "_Tc155365994" 2023·湖北武汉中考真题
\l "_Tc155365995" 2023·湖北黄冈中考真题
\l "_Tc155365996" 2023·青海西宁·中考真题
\l "_Tc155365997" 2023年湖南省邵阳市中考真题
\l "_Tc155365998" 2023年湖北省黄石市中考真题
\l "_Tc155365999" 2023年内蒙古呼和浩特市中考真题
\l "_Tc155366000" 【题型4】二次函数实际应用
\l "_Tc155366001" 2022·四川广安中考真题
\l "_Tc155366002" 2023·湖北襄阳中考真题
\l "_Tc155366003" 2023·吉林长春中考真题
\l "_Tc155366004" 2022·四川南充·中考真题
\l "_Tc155366005" 【题型5】求参数的值或范围
\l "_Tc155366006" 2022年吉林省长春市中考真题
\l "_Tc155366007" 2023·湖北十堰中考真题
\l "_Tc155366008" 2022·内蒙古呼和浩特中考真题
\l "_Tc155366009" 2023年福建省中考真题
\l "_Tc155366010" 2022·湖南湘西中考真题
\l "_Tc155366011" 2022·江苏盐城中考真题
\l "_Tc155366012" 2023年四川省南充市中考真题
\l "_Tc155366013" 2023·浙江衢州中考真题
\l "_Tc155366014" 2023年四川省泸州市中考真题
\l "_Tc155366015" 2022·山东济南中考真题
\l "_Tc155366016" 2022·湖北荆门中考真题
\l "_Tc155366017" 【题型6】二次函数新定义问题
\l "_Tc155366018" 2023年山东省菏泽市中考真题
\l "_Tc155366019" 2023·四川巴中中考真题
\l "_Tc155366020" 2023年四川省乐山市中考真题
\l "_Tc155366021" 【题型7】二次函数中的规律探究问题
\l "_Tc155366022" 2023·山东东营·九年级校考
\l "_Tc155366023" 2023·四川达州·统考二模
\l "_Tc155366024" 广东梅州·九年级统考
\l "_Tc155366025" 2023下·河北石家庄·九年级统考阶段练习
二次函数图像与系数a，b，c的关系
如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点
【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）
2023年湖南省娄底市中考真题
已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②④
2023年四川省达州市中考真题
如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2023年山东省烟台市中考真题
如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2023年四川省遂宁市中考真题
抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2022年辽宁省丹东市中考真题
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）
2023年黑龙江省牡丹江市中考真题
如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2023年四川省乐山市中考真题
如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2023年四川省眉山市中考真题
如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2023年辽宁省营口市中考真题
如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题
如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2023年四川省广安市中考真题
如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2023年辽宁省丹东市中考真题
抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2023武汉市华中科技大学附属中学二模
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 ．
2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题
如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2022黑龙江省牡丹江市中考真题
如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）
2022·四川凉山中考真题
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
2023·湖北武汉中考真题
抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
其中正确的是 （填写序号）．
2023·湖北黄冈中考真题
已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①④
2023·青海西宁·中考真题
直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
2023年湖南省邵阳市中考真题
已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2023年湖北省黄石市中考真题
已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
2023年内蒙古呼和浩特市中考真题
关于的二次函数的结论
①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．
②若图象过点，点，点，则当时，．
③若，对应的的整数值有个，则或．
④当且时，，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型4】二次函数实际应用
2022·四川广安中考真题
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
2023·湖北襄阳中考真题
如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．
2023·吉林长春中考真题
年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．
2022·四川南充·中考真题
如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点．
【题型5】求参数的值或范围
2022年吉林省长春市中考真题
已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
2023·湖北十堰中考真题
已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2022·内蒙古呼和浩特中考真题
在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是 ．
2023年福建省中考真题
已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
2022·湖南湘西中考真题
已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
2022·江苏盐城中考真题
若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
2023年四川省南充市中考真题
抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A．B．或
C．D．或
2023·浙江衢州中考真题
已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2023年四川省泸州市中考真题
已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．或
2022·山东济南中考真题
抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
2022·湖北荆门中考真题
如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
【题型6】二次函数新定义问题
2023年山东省菏泽市中考真题
若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2023·四川巴中中考真题
规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
2023年四川省乐山市中考真题
定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则 ．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
【题型7】二次函数中的规律探究问题
2023·山东东营·九年级校考
如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…如此进行下去，直至得．若在第10段抛物线上，则 ．
2023·四川达州·统考二模
如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为( )
A．1012B．C．D．
广东梅州·九年级统考
二次函数y=x2的图象如图所示，点A0 位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2023在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都是等边三角形，则△A2022B2023A2023的周长是（ ）
A．6069B．6066C．6063D．6060
2023下·河北石家庄·九年级统考阶段练习
二次函数的图象如图．点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，点，，，…，在二次函数位于第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形，…，四边形．都是菱形，，则的边长为 ，菱形的周长为 ．
考法
解决方法
本题结果
①a,b,c
a:二次函数图像开口向上时，a＞0；开口向下，则a＜0，
a＞0
b＜0
c＜0
b：和a共同决定了函数对称轴的位置，“左同右异”
c：c为图像和y轴交点的纵坐标
②
两个交点：
一个交点：
没有交点：
③
用特殊值进行判断：
a＋b＋c即为当时的函数值；
4a－2b＋c为当时的函数值
a＋b＋c＜0
a－b＋c＜0
④
只有a，b时，用对称轴代换，消去一个未知数进行判断
∵，∴，
⑤c＋a
只有a，c或只有b，c时，先用对称轴代换，消去一个未知数，然后利用④中的结果判断结果
∵a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，∵a＞0，
∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0
⑥
若c的系数不是1，可以先化成1再进行计算，或这把③中的某个式子中的c的系数变成题里的形式
而，
⑦am2＋bm和a＋b的大小关系
同时加上c，am2＋bm＋c，a＋b＋c
第一个式子是当x＝m时的函数值，第二个式子是当x＝1时的函数值；由图可知，x＝1时函数取最小值
am2＋bm≥a＋b
⑧(a+c)-b2
⑨和的大小关系
可以把代数式变成顶点的纵坐标公式，顶点坐标（-b2a，4ac-b24a）
假如定点纵坐标小于－1，则4ac-b24a＜-1，4ac-b2＜－4a，b2－ 4ac＞4a
⑩若给出的值
a,c的数量关系可以知道，
即，进而可知a,b，c的关系
可以判断关于a,b，c任意式子的正负
也可以求出以a,b，c为参数的方程的根
TOC \ "1-4" \n \h \z \u \l "_Tc155365975" 【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）
\l "_Tc155365976" 2023年湖南省娄底市中考真题
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\l "_Tc155366012" 2023年四川省南充市中考真题
\l "_Tc155366013" 2023·浙江衢州中考真题
\l "_Tc155366014" 2023年四川省泸州市中考真题
\l "_Tc155366015" 2022·山东济南中考真题
\l "_Tc155366016" 2022·湖北荆门中考真题
\l "_Tc155366017" 【题型6】二次函数新定义问题
\l "_Tc155366018" 2023年山东省菏泽市中考真题
\l "_Tc155366019" 2023·四川巴中中考真题
\l "_Tc155366020" 2023年四川省乐山市中考真题
\l "_Tc155366021" 【题型7】二次函数中的规律探究问题
\l "_Tc155366022" 2023·山东东营·九年级校考
\l "_Tc155366023" 2023·四川达州·统考二模
\l "_Tc155366024" 广东梅州·九年级统考
\l "_Tc155366025" 2023下·河北石家庄·九年级统考阶段练习
二次函数图像与系数a，b，c的关系
如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点
【题型1】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴）
2023年湖南省娄底市中考真题
已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②④
2023年四川省达州市中考真题
如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2023年山东省烟台市中考真题
如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①；②；③若图象经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2023年四川省遂宁市中考真题
抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：①；②；③（t为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为．其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2022年辽宁省丹东市中考真题
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2】二次函数图象与系数的关系（给出对称轴和交点坐标）
2023年黑龙江省牡丹江市中考真题
如图，抛物线经过点，．下列结论：①；②；③若抛物线上有点，，，则；④方程的解为，，其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2023年四川省乐山市中考真题
如图，抛物线经过点，且，有下列结论：①；②；③；④若点在抛物线上，则．其中，正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2023年四川省眉山市中考真题
如图，二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④当时，；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2023年辽宁省营口市中考真题
如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考真题
如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2023年四川省广安市中考真题
如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2023年辽宁省丹东市中考真题
抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2023武汉市华中科技大学附属中学二模
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的是 ．
2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考真题
如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2022黑龙江省牡丹江市中考真题
如图，抛物线的对称轴是，并与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④若m为任意实数，则，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型3】二次函数图象与系数的关系（题目没给出图像）
2022·四川凉山中考真题
已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0
B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0）
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
2023·湖北武汉中考真题
抛物线（是常数，）经过三点，且．下列四个结论：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
其中正确的是 （填写序号）．
2023·湖北黄冈中考真题
已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①④
2023·青海西宁·中考真题
直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
2023年湖南省邵阳市中考真题
已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2023年湖北省黄石市中考真题
已知二次函数的图像经过三点，且对称轴为直线．有以下结论：①；②；③当，时，有；④对于任何实数，关于的方程必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
2023年内蒙古呼和浩特市中考真题
关于的二次函数的结论
①对于任意实数，都有对应的函数值与对应的函数值相等．
②若图象过点，点，点，则当时，．
③若，对应的的整数值有个，则或．
④当且时，，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型4】二次函数实际应用
2022·四川广安中考真题
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米．
2023·湖北襄阳中考真题
如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是 （填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．
2023·吉林长春中考真题
年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面 米．
2022·四川南充·中考真题
如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点．
【题型5】求参数的值或范围
2022年吉林省长春市中考真题
已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
2023·湖北十堰中考真题
已知点在直线上，点在抛物线上，若且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2022·内蒙古呼和浩特中考真题
在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是 ．
2023年福建省中考真题
已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是 ．
2022·湖南湘西中考真题
已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
2022·江苏盐城中考真题
若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是 ．
2023年四川省南充市中考真题
抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A．B．或
C．D．或
2023·浙江衢州中考真题
已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2023年四川省泸州市中考真题
已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或D．或
2022·山东济南中考真题
抛物线与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点，为图形G上两点，若，则m的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
2022·湖北荆门中考真题
如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
【题型6】二次函数新定义问题
2023年山东省菏泽市中考真题
若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2023·四川巴中中考真题
规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
2023年四川省乐山市中考真题
定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．
（1）若是“和谐点”，则 ．
（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为 ．
【题型7】二次函数中的规律探究问题
2023·山东东营·九年级校考
如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；…如此进行下去，直至得．若在第10段抛物线上，则 ．
2023·四川达州·统考二模
如图，已知点在函数位于第二象限的图像上，点在函数位于第一象限的图像上，点在轴的正半轴上，若四边形都是正方形，则正方形的边长为( )
A．1012B．C．D．
广东梅州·九年级统考
二次函数y=x2的图象如图所示，点A0 位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2023在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都是等边三角形，则△A2022B2023A2023的周长是（ ）
A．6069B．6066C．6063D．6060
2023下·河北石家庄·九年级统考阶段练习
二次函数的图象如图．点位于坐标原点，点，，，…，在y轴的正半轴上，点，，，…，在二次函数位于第一象限的图象上，点，，，…，在二次函数位于第二象限的图象上，四边形，四边形，四边形，…，四边形．都是菱形，，则的边长为 ，菱形的周长为 ．
考法
解决方法
本题结果
①a,b,c
a:二次函数图像开口向上时，a＞0；开口向下，则a＜0，
a＞0
b＜0
c＜0
b：和a共同决定了函数对称轴的位置，“左同右异”
c：c为图像和y轴交点的纵坐标
②
两个交点：
一个交点：
没有交点：
③
用特殊值进行判断：
a＋b＋c即为当时的函数值；
4a－2b＋c为当时的函数值
a＋b＋c＜0
a－b＋c＜0
④
只有a，b时，用对称轴代换，消去一个未知数进行判断
∵，∴，
⑤c＋a
只有a，c或只有b，c时，先用对称轴代换，消去一个未知数，然后利用④中的结果判断结果
∵a－b＋c＜0，∴a＋c＜b，∵a＞0，
∴b＝－2a＜0，∴a＋c＜0
⑥
若c的系数不是1，可以先化成1再进行计算，或这把③中的某个式子中的c的系数变成题里的形式
而，
⑦am2＋bm和a＋b的大小关系
同时加上c，am2＋bm＋c，a＋b＋c
第一个式子是当x＝m时的函数值，第二个式子是当x＝1时的函数值；由图可知，x＝1时函数取最小值
am2＋bm≥a＋b
⑧(a+c)-b2
⑨和的大小关系
可以把代数式变成顶点的纵坐标公式，顶点坐标（-b2a，4ac-b24a）
假如定点纵坐标小于－1，则4ac-b24a＜-1，4ac-b2＜－4a，b2－ 4ac＞4a
⑩若给出的值
a,c的数量关系可以知道，
即，进而可知a,b，c的关系
可以判断关于a,b，c任意式子的正负
也可以求出以a,b，c为参数的方程的根
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