陕西省咸阳市2024届高三下学期高考模拟检测(二)（咸阳二模）数学

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注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效，
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则复数的共轭复数的虚部为（ ）
A.B.C.D.
2.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
3.已知在边长为1的菱形中，角A为60°，若点E为线段的中点，则（ ）
A.B.C.D.
4.已知角的始边为轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点，则（ ）
A.B.C.D.
5.已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A.30B.58C.60D.90
6.执行右侧的程序框图，则输出的结果是（ ）
A.5050B.4950C.166650D.171700
7.已知平面区域中的点满足，若在圆面中任取一点P，则该点取自区域的概率为（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，若时，函数的值域为（ ）
A.B.C.D.
9.已知三条不重合的直线，m，n和两个不重合的平面，，则下列说法错误的是（ ）
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，，且直线m，n异面，则
D.若，，，，则
10.若将确定的两个变量y与x之间的关系看成，则函数的大致图像为（ ）
A.B.
C.D.
11.已知点F为双曲线的右焦点，过点F的直线（斜率为k）交双曲线右支于M，N两点，若线段的中垂线交x轴于一点P，则（ ）
A.B.C.D.
12.已知函数，若是函数的唯一极小值点，则a的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且总体的平均值为10.则的最小值为_____________.
14.P为抛物线上任意一点，点，设点P到y轴的距离为d，则的最小值为____________.
15.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，设点D为边的中点，且，则_____________.
16.已知三棱锥中，，，，底面，且，则该三棱锥的外接球的表面积为_____________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“3+1+2”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目.要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合.某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：
附：，其中.
（1）根据表中的数据，判断是否有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关；
（2）从选择物理类的40名学生中按照分层抽样，任意抽取5名同学成立学习小组，该小组设正、副组长各一名，求正、副组长中至少有一名女同学的概率
18.（本小题满分12分）
已知正项数列满足，.
（1）若，请判断并证明数列的单调性；
（2）若，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）求该几何体的体积.
20.（本小题满分12分）
已知两圆：，：，动圆C在圆的内部，且与圆相内切，与圆相外切.
（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点，，过点M的直线交C于P，Q两点，求的内切圆面积的最大值.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线的一般方程；
（2）设直线与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数.
（1）解不等式；
（2）设函数，若函数与的图像无公共点，求参数的取值范围.
咸阳市2024年高考模拟检测（二）
数学（文科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.D 7.A 8.A 9.B 10.C 11.D 12.A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
7.解：（1）将表中的数据带入，得到.
所以有99.5%的把握认为学生选择历史与性别有关.
（2）由题意知，抽取的5名同学中，男生有3名，设为A，B，C，女生2名，设为D，E，
从这5名同学中选取2名同学担任正副组长，所有的可能情况有：
，，，，，，，，，，共计10种基本情况，且每种情况的发生是等可能的，
其中至少有一名女生的情况有，，，，，，，共计有7种情况，
所以（至少有一名女生）.
18.解：（1）因为①，
当时，；
当时，②，
①-②得：，
又时，，
又，所以，
则，
又
所以，数列是单调递减数列.
（2）
则
.
19.解：（1）证明：设M，N分别为，边的中点，连接，，；
因为平面，，，，，
所以，且，
即四边形为平行四边形，可得，
在底面正三角形中，为边的中点，则，
又平面，且平面，所以，
由于，且平面，所以平面，
因为，平面，则平面，
又平面，则平面平面.
（2）过点F做平行于底面的平面，
.
20.解：（1）设点为所求曲线轨迹上任意一点，由题意知：
，，
，
由椭圆的定义知，点C是以（-1，0），（1，0）为焦点，的椭圆.
所以点C的轨迹方程为.
（2）由题意知，直线的斜率不为0，故设直线方程为，
联立，
，
设点，，则，，
，
又的周长为4×3=12，
所以的内切圆半径，
令，则，设函数，
，在上，函数单调递增，即，
则，此时的内切圆面积的最大值.
21.解：（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为，所以等价于，
令，上述不等式等价于，
显然为单调增函数，∴原不等式等价于，即，
令，则，
在上，单调递增；在上，单调递减，
∴，
，即，∴的取值范围是.
（二）选考题：共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，
∴曲线C的直角坐标方程为，即，
又∵直线的参数方程为（为参数），
∴直线的一般方程为.
（2）将直线的参数方程（为参数）带入中，
得到，
化简可以得到：，
则，，
圆心C到直线的距离，
则，
当且仅当，即时取等号.
所以的面积的最大值为2.
23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
解：（1）
若，即或或
解之得或，
则原不等式的解集为.
（2）函数，若函数与的图像无公共点，即在上无解，
可得：在上无解，
即，，
因为函数，当时，，
所以，即的取值范围为.历史
物理
合计
男生
1
24
25
女生
9
16
25
合计
10
40
50
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828