2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)2.5一元二次方程的根与系数的关系(分层练习)(原卷版+解析)

这是一份2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)2.5一元二次方程的根与系数的关系(分层练习)(原卷版+解析)，共17页。

基础篇
一、单选题
1．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是( )
A．B．
C．D．
2．（2022·全国·九年级课时练习）关于x的一元二次方程的根的个数是( )
A．0个B．1个C．2个D．无法确定
3．（2022·山东威海·八年级期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1B．-1
C．D．
4．（2022·全国·九年级课时练习）若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A．2B．C．2022D．
5．（2022·全国·九年级课时练习）下列方程没有实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的两个根，则 x1+x2 的值是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣6D．6
二、填空题
7．（2021·河南洛阳·九年级期末）若关于x的一元二次方程的一根为2，则另一个根为___________．
8．（2022·山东济南·八年级期末）若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
9．（2020·江苏无锡·九年级期中）已知α、β为方程x2＋4x＋2＝0的两个实数根，则α＋β＝_______．
10．（2022·江苏宿迁·九年级期末）已知，是一元二次方程的两根，则__________．
三、解答题
11．（2022·河南南阳·九年级期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若，解这个方程；
(2)若该方程有实数根，求的取值范围．
12．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根满足，求m的值．
提升篇
一、填空题
1．（2022·全国·九年级课时练习）若是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，则a＝________，该方程的另一个根x2＝________．
2．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）若是一元二次方程的两个实数根，则的值_________．
3．（2022·全国·九年级课时练习）已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．
4．（2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
5．（2022·全国·九年级专题练习）设，是一元二次方程的两个根，则______．
二、解答题
6．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的方程有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2-15，求k的值．
7．（2022·湖北鄂州·九年级期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
8．（2022·湖南长沙·八年级期末）已知关于的一元二次方程有，两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求及的值；
(3)是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
第二章 一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022·全国·九年级课时练习）如果关于x的一元二次方程的两根分别为，，那么这个一元二次方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系，直接代入计算即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为，，
∴3＋1＝−p，3×1＝q，
∴p＝−4，q＝3，
所以这个一元二次方程是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的字母表达式，并会代入计算．
2．（2022·全国·九年级课时练习）关于x的一元二次方程的根的个数是( )
A．0个B．1个C．2个D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
表示出根的判别式，判断其值与0的关系，确定出方程根的情况即可．
【详解】
解：方程x2+mx-1=0，
∵Δ=m2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】
此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式意义是解本题的关键．
3．（2022·山东威海·八年级期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则k=（ ）
A．1B．-1
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】
解：关于的一元二次方程有两个实数根，
此方程根的判别式，且，
解得且，
又关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，
，
解得或（舍去），
经检验，是所列分式方程的解，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
4．（2022·全国·九年级课时练习）若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）．
A．2B．C．2022D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可以得解．
【详解】
解：根据一元二次方程根与系数的关系可以得到：，
故选D．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系式是解题关键．
5．（2022·全国·九年级课时练习）下列方程没有实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对于A、B、C，先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况；对于D先把方程化为x2-2x-12=0，然后对方程的根进行判断．
【详解】
解：A、Δ=（-7）2-4×1×(-18)=121>0，则此方程有实数根，所以A选项不符合题意；
B、变形为，Δ=（-4）2-4×1×1=12＞0，则此方程有两个不等的实数根，所以B选项不符合题意；
C. Δ=（-2）2-4×1×3=-8<0，则此方程没有实数根，所以C选项符合题意；
D.变形为，Δ=（-2）2-4×1×（-12）=52＞0，则此方程有两个不等的实数根，所以D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
6．（2022·江苏·九年级专题练习）若 x1，x2 是一元二次方程 x2﹣3x﹣6＝0 的两个根，则 x1+x2 的值是（ ）
A．3B．﹣3C．﹣6D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据x1+x2=-可得答案．
【详解】
解：∵x1，x2是一元二次方程x2-3x-6=0的两个根，
∴x1+x2=3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
二、填空题
7．（2021·河南洛阳·九年级期末）若关于x的一元二次方程的一根为2，则另一个根为___________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系，代入求解即可
【详解】
解：设另一个根为，根据根与系数的关系有：
，
即，
解得：，
故答案为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．本根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．
8．（2022·山东济南·八年级期末）若，为一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
将利用多项式的乘法计算得含有m+n和mn的式子，再根据一元二次方程根与系数的关系求得m+n及mn的值，将其代入化简后的式子即可求解．
【详解】
解：∵，为一元二次方程的两个实数根，
∴m+n=2，mn=-2，
∴，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式，求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解本题的关键．
9．（2020·江苏无锡·九年级期中）已知α、β为方程x2＋4x＋2＝0的两个实数根，则α＋β＝_______．
【答案】－4
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系可得出，此题得解．
【详解】
解∶∵α、β为方程x2＋4x＋2＝0的两个实数根，
∴，
故答案为∶ －4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程（a≠0）两根为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
10．（2022·江苏宿迁·九年级期末）已知，是一元二次方程的两根，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2﹣2x1x2的值．
【详解】
解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝3，
x1+x2﹣2x1x2＝4﹣2×3＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，掌握根与系数的关系是解题的关键．
三、解答题
11．（2022·河南南阳·九年级期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若，解这个方程；
(2)若该方程有实数根，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）把代入，得到，再解这个方程即可；
（2）根据该方程有实数根，由根的判别式可求的取值范围．
(1)
解：∵关于的一元二次方程，
∴当时，方程为，
∴，
∴，．
(2)
∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：．
∴的取值范围为．
【点睛】
本题考查了用公式法解一元二次方程和一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的判别式用表示，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
12．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0．
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根满足，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)2
【解析】
【分析】
（1）证明即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系得，x1x2＝2m﹣1，再利用完全平方公式将变形为，代入求解即可．
（1）证明：∵a＝1，b＝m+2，c＝2m﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4．∵无论m为任何实数，（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0．∴无论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由可得，∵，x1x2＝2m﹣1，∴，即m2﹣4m+8＝4，解得m1＝m2＝2，∴当x1﹣x2＝2时，m的值是2．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，当Δ=0，方程有两个相等的实数根，当Δ<0时，方程无实数根．
提升篇
一、填空题
1．（2022·全国·九年级课时练习）若是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，则a＝________，该方程的另一个根x2＝________．
【答案】 4
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系，根据两根之积，即可得到方程的另一根，再由两根之和即可得出一个关于a的方程，从而求得a的值．
【详解】
解：设方程的另一个根为x2，
∵x1是二次方程x2+ax+1＝0的一个根，
∴x1•x2＝1，即（）x2＝1，
∴x2，
∴x1+x2＝﹣a，即a，解得a＝4，
故答案为4，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，注意在解题时要重视解题思路的逆向分析．
2．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）若是一元二次方程的两个实数根，则的值_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由根与系数的关系可求得a+b和ab的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为a和b，
∴a+b＝，ab＝﹣3，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系，掌握两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
3．（2022·全国·九年级课时练习）已知是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用一元二次方程解的定义得到α2+2021α+1=0，β2+2021β+1=0；根据根与系数的关系得到：αβ=1，然后将其代入（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）进行求值即可．
【详解】
解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程解和根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
4．（2022·四川内江·中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．
【详解】
解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，
∴x12＝2x1﹣k+1，
∵＝x12+2x2﹣1，
∴＝2（x1+x2）﹣k，
∴＝4﹣k，
解得k＝2或k＝5，
当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；
当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；
∴k＝2，
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级专题练习）设，是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据根的定义和根与系数的关系进行计算求解．
【详解】
解:∵α，β是一元二次方程x2+3x−7=0的两个根，
∴α2+3α−7=0，，
∴原式＝．
故答案为：0
【点睛】
本题考查根的定义、根与系数的关系，熟练将要求的代数式进行灵活变形是关键．
二、解答题
6．（2022·全国·九年级课时练习）已知关于x的方程有两个实数根
(1)求k的取值范围；
(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝6x1x2-15，求k的值．
【答案】(1)
(2)k＝4
【解析】
【分析】
（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1•x2，利用已知条件可得到关于k的方程，可求得k的值．
（1）∵关于x的方程有两个实数根，∴，解得；
（2）∵方程的两实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝k＋1，，∵x12＋x22＝6x1x2-15，∴（x1＋x2）2-8x1x2+15＝0，∴k2-2k-8＝0，解得：k1＝4，k2＝-2，又∵，∴k＝4．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别及根与系数的关系，掌握相关知识是解本题的关键．
7．（2022·湖北鄂州·九年级期末）设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个根得到，列出不等式求解；
（2）根据根与系数的关系即可得出，，结合m的取值范围即可得出，，再由得到，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．
(1)
解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，
即，
∴．
(2)
解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
解得：或．
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出；（2）根据根与系数的关系结合得出．
8．（2022·湖南长沙·八年级期末）已知关于的一元二次方程有，两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求及的值；
(3)是否存在实数，满足？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，或
【解析】
【分析】
（1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围；
（2）利用根与系数的关系得，，则可先求出，再求出的值；
（3）利用根与系数的关系得，，则利用求出的值．
（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，∴，解得：．
（2）∵关于的一元二次方程有，两个实数根，∴，，且，解得：，．
（3）∵关于的一元二次方程有，两个实数根，∴，，又∵，∴，∴，∴，∴，解得：，，∴存在实数，它的值为或．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判断式，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程．一元二次方程中根的判别式为，用符号表示，当大于0时，方程有两个不相等的实根；当等于0时，方程有两个相等的实根；当小于0时，方程无实根．若，是一元二次方程的两根，则，．