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苏科版八年级数学下册题型突破提高类型十、反比例函数与等边三角形结合(原卷版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学下册题型突破提高类型十、反比例函数与等边三角形结合(原卷版+解析)，共30页。
如图，是等边三角形，边在轴上，反比例函数的图象经过点，若，点的坐标为，则k的值为___________．
方法：1.等边三角形顶点作底边垂直，同样满足三线合一；2.构造30°角，利用求解；
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等边的边OA，AB分别交于点M，N，且，若，那么点N的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知点A是双曲线y＝﹣在第二象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第一象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
3.如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为______．
【知不足】
1.如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣2，0），过点C（2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数解析式为（ ）
A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣
2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边三角形的边和菱形的边均在x轴上，点C在上，，反比例函数的图像经过点A，则k的值为______．
3.如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点为顶点作等边，使A，B落在轴上点在点的左边若点坐标为，则的面积是______．
4.如图：在平面直角坐标系中，等边的边长为4，
(1)求过点A的反比例函数的解析式；
(2)过点A作交x轴于点D，求直线的解析式．
【一览众山小】
1.如图，已知双曲线与正比例函数交于、两点，以为边作等边三角形，且，再以为斜边作直角三角形，使轴，连接，若的周长比的周长少4，则_____．
2．如图所示，反比例函数在第一象限内分支上有一动点A，连接AO并延长与另一分支交于点B，以AB为边作一个等边△ABC，使得点C落在第四象限内．在点A运动过程中，直接写出△ABC面积的最小值____．
3.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为．
(1)求过点B的反比例函数的解析式；
(2)点P在反比例函数上，点D在x轴上，当以P、D、O三点构成的三角形为等边三角形时，求点P、D的坐标；
(3)反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，点Q是x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．
4．某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边沿x轴平移（边在x轴上，点C在x轴上方），其中，与反比例函数交于点D，E两点（点D在点E左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：
(1)第一小组提出“当时，求点D的坐标”；
(2)第二小组提出“若，求a的值”；
(3)第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60°至点，点恰好也在上，求a的值”．
5.如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【温故为师】
1．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2021的坐标为_____．
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等边三角形，且点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上．
（1）反比例函数的表达式为______；
（2）把向右平移a个单位长度，对应得到．
①若此时另一个反比例函数的图象经过点，则k和的大小关系是：k______（填“”、“”或“”）；
②当函数的图象经一边的中点时，则______．
3．如图，，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点都在反比例函数（）的图像上，点，都在轴上，则的坐标为 _______．
4．如图，直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．
（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；
（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；
5．如图，已知反比例函数 y=的图像经过点A（－1，a），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB的面积为.
（1）求a、k的值；
（2）若一次函数y=mx+n图像经过点A和反比例函数图像上另一点，且与x轴交于M点，求AM的值：
（3）在（2）的条件下，如果以线段AM为一边作等边△AMN，顶点N在一次数函数y=bx上，则b= ______.
6．点，是反比例函数图象上的两点，轴．
（1）如图1，当是边长为2的等边三角形时，求的值；
（2）如图2，当时，连接，随着点在反比例函数图象上移动，四边形的面积是否为定值？若是，请用含的代数式表示这个定值；若不是，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，函数y1＝（k1＞0，x＞0）的图象与等边△OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，AM所在直线y2＝k2x，若AB＝3，求：
（1）求反比例函数及直线AM的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时x的范围；
（3）求△ONB的面积．
类型十、反比例函数与等边三角形结合
【解惑】
如图，是等边三角形，边在轴上，反比例函数的图象经过点，若，点的坐标为，则k的值为___________．
方法：1.等边三角形顶点作底边垂直，同样满足三线合一；2.构造30°角，利用求解；
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等边的边OA，AB分别交于点M，N，且，若，那么点N的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【详解】过点N、M分别作，，垂足为C、D，
∵是等边三角形，∴，，
又∵，∴，，在中，，
，，∴点M的坐标为，∴，∴反比例函数的关系式为，设，，，在中，，∴，∴，解得：或 (舍去)，∴点N的横坐标为，
2．如图，已知点A是双曲线y＝﹣在第二象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第一象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】B【详解】解：∵双曲线关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．
∴OA＝OB．连接OC，如图所示．∵是等边三角形，OA＝OB，∴ ，∠BAC＝60°，∴，∴．过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，∵ ∴ ∴ ．∴，
∵，∴，．设点A坐标为（a，b），∵点A在第二象限，
∴OE＝﹣a，AE＝b．∴， ．∵点A是双曲线在第二象限的分支上的一个动点，∴ab＝﹣4．∴．
设点C坐标为（x，y），∵点C在第一象限，∴FC＝y，OF＝x．∴．
∴xy＝﹣6．∵点C在双曲线上，∴k＝xy＝12．
3.如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为______．
【答案】2【详解】解：过点A作轴于C，
∵点在反比例函数第一象限内的图象上，是等边三角形，∴，∴，
【知不足】
1.如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣2，0），过点C（2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数解析式为（ ）
A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣
【答案】D【详解】解：连接AC，
∵点B的坐标为（-2，0），△AOB为等边三角形，∵AO=OC=2，∠B=∠AOB=60°，∴∠OCA=∠OAC=30°，点A的坐标为，∴∠BAC=90°，
，，∴，∴AE=1，
∴E点为AB的中点，∴E，把E代入中，得，
∴反比例函数解析式为．
2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边三角形的边和菱形的边均在x轴上，点C在上，，反比例函数的图像经过点A，则k的值为______．
【答案】【详解】解：连接，
∵是等边三角形，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴，过A作于H，
∴，∴，∵反比例函数的图像经过点A，∴k的值为，
3.如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点为顶点作等边，使A，B落在轴上点在点的左边若点坐标为，则的面积是______．
【答案】【详解】解：设等边的边长为，则点，
则，解得：负值已舍去，，
4.如图：在平面直角坐标系中，等边的边长为4，
(1)求过点A的反比例函数的解析式；
(2)过点A作交x轴于点D，求直线的解析式．
【答案】(1)(2)【详解】（1）解：如图，作轴，垂足为点E，
∵等边的边长为4，∴，，∴∴，∴反比例函数的解析式为；
（2）在中，，，∴，，∴，设的解析式为，
把，代入得，解得，∴直线的解析式
【一览众山小】
1.如图，已知双曲线与正比例函数交于、两点，以为边作等边三角形，且，再以为斜边作直角三角形，使轴，连接，若的周长比的周长少4，则_____．
【答案】【详解】如图，设BC与x轴的交点为点E，由等边三角形的性质得，AB边上的高为，解得或（舍去），即
的周长比的周长少4，，CD是公共边设，则在中，，即解得或（不符题意，舍去）由反比例函数的性质可得，即点O是AB的中点
轴是的中位线，即点B坐标为将代入得，解得
2．如图所示，反比例函数在第一象限内分支上有一动点A，连接AO并延长与另一分支交于点B，以AB为边作一个等边△ABC，使得点C落在第四象限内．在点A运动过程中，直接写出△ABC面积的最小值____．
【答案】18【详解】解：为等边三角形，．设点的坐标为，则点的坐标为，．，
，．
3.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为．
(1)求过点B的反比例函数的解析式；
(2)点P在反比例函数上，点D在x轴上，当以P、D、O三点构成的三角形为等边三角形时，求点P、D的坐标；
(3)反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，点Q是x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．
【答案】(1)(2)，或，(3)Q的坐标为：或或或【详解】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G，如图，
∵，∴，∴．
∵四边形是菱形，∴，轴,∴，∴，∴．∵过B点的反比例函数解析式为，
∴，解得：，∴反比例函数解析式为；（2）过点A作轴于E，作直线交反比例函数图象于P，过P作轴于H，作关于直线的对称直线交x轴于点D，如图：
由（1）知：，∴，
∴．∵轴于E，轴于H，∴．
∵关于直线的对称直线交x轴于点D，∴，∴，
∴是等边三角形．设直线的解析式为，把代入得，
∴直线的解析式为．联立，解得：或，∴或，当时，由对称性可知，当时，同理可得；
∴，或，；（3）如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，
∵， ∴，∴．设，则，，①以为斜边时，，∴，解得，∴Q或；
②以为斜边时，，∴，解得，∴；
③以为斜边时，，∴，解得，∴．
综上所述，Q的坐标为：或或或．
4．某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边沿x轴平移（边在x轴上，点C在x轴上方），其中，与反比例函数交于点D，E两点（点D在点E左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：
(1)第一小组提出“当时，求点D的坐标”；
(2)第二小组提出“若，求a的值”；
(3)第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60°至点，点恰好也在上，求a的值”．
【答案】(1)；(2)3(3)【详解】（1）解：当时，过点C作轴，垂足为点H，
∵是边长为2的等边三角形，∴，
∴，∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，
与反比例函数联立方程组，解得：，（舍去），
代入可得点；（2）解：过点D作轴，垂足为点F，过点C作轴，垂足为点H，过点E作，垂足为点I，
设，则，∴点，
因为，，则，∴，
∴，∴点，因为点D，E均在反比例函数上，
∴，由①得：③，代入②得，
化简得：，由③得：；（3）解：连接，过点作轴，垂足为点，
由题意得，∴，∴，
∴，∴，故，同理点，
∴点的纵坐标为，则，∴，∴点，∴，
∴，，∴，∵点在反比例函数上，∴，解得：，（舍去），
故，
5.如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=2x；B（1，2）（2）①当x＞0时，2x2≤2，解得0＜x≤1，②当x＜0时，2x2≥2，解得x≤﹣1；（3）不存在，见解析【详解】试题解析：（1）把A（m，﹣2）代入y=，得﹣2=，解得m=﹣1，∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx，∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2，∴y=2x，
又由2x=，得x=1或x=﹣1（舍去），∴B（1，2），（2）∵k=2，∴≥kx即为≥kx
①当x＞0时，2x2≤2，解得0＜x≤1，②当x＜0时，2x2≥2，解得x≤﹣1；（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则|OA|=|OC|，设C（t，）（t＜0），
∵A（﹣1，﹣2）∴OA=∴t2+=5，则t4﹣5t2+4=0，
∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，t2=4，t=﹣2，C（﹣2，﹣1），而此时|AC|=，|AC|≠|AO|，∴不存在符合条件的点C．
【温故为师】
1．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2021的坐标为_____．
【答案】【详解】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，
∴B1C＝OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y＝得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），∴A1D＝﹣1，A1A2＝2﹣2，OA2＝2+2﹣2＝2，∴A2（2，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）•n＝，∴A2E＝﹣，A2A3＝2，OA3＝2+2﹣2＝2，
∴A3（2，0），综上可得：A2021（2，0），
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等边三角形，且点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上．
（1）反比例函数的表达式为______；
（2）把向右平移a个单位长度，对应得到．
①若此时另一个反比例函数的图象经过点，则k和的大小关系是：k______（填“”、“”或“”）；
②当函数的图象经一边的中点时，则______．
【答案】 或【详解】解：（1）如图所示，过点A作于C，
∵，∴，∵是等边三角形，∴，
∴，∴，∵点A在反比例函数的图象上，
∴，∴，∴反比例函数的表达式为，
（2）①∵把向右平移a个单位长度，对应得到，
∴，∵反比例函数的图象经过点，∴，∴，
∵，∴，∴，（3）当函数的图象经过的中点时，
∵，∴函数的图象经过点，∴，
∴；当函数的图象经过的中点时，∵，∴函数的图象经过点，∴，∴，
3．如图，，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点都在反比例函数（）的图像上，点，都在轴上，则的坐标为 _______．
【答案】【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
为等边三角形，，
，设的长度为，则的坐标为，把代入得，解得或（舍去），，，设的长度为，同理得到，则的坐标表示为，把代入得，解得或（舍去），，，设的长度为，同理，，的坐标表示为，把代入得，解得或（舍去），，，，以此类推可得：，
4．如图，直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．
（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；
（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；
【答案】（1）-2；（2）（-3，-2）；（3）mn=18.【详解】（1）把（a，3）代入=－，得 ，解得a=－2； （2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，
∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，
∴△ADO≌△OEC，又k=－，由y=－x和y=－解得，，所以A点坐标为（－2，3），由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，所以C（-3，-2）；
5．如图，已知反比例函数 y=的图像经过点A（－1，a），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB的面积为.
（1）求a、k的值；
（2）若一次函数y=mx+n图像经过点A和反比例函数图像上另一点，且与x轴交于M点，求AM的值：
（3）在（2）的条件下，如果以线段AM为一边作等边△AMN，顶点N在一次数函数y=bx上，则b= ______.
【答案】（1），；（2）；（3）.【详解】解：（1）∵，
∴，∴，∴把A点的坐标为，代入得；
（2）∵在反比例函数的图象上，∴，∴，∴，
将，代入y=mx+n中，得 ,解得： ,
∴直线AM解析式为：，当时，，∴，在中，，，∴；（3）设点N的坐标为（m，n），
∵△AMN为等边三角形，且AM=，A(-1，)，M（2，0）,∴，解得：，∵顶点N（m，n）在一次函数y=bx上，∴b=.
6．点，是反比例函数图象上的两点，轴．
（1）如图1，当是边长为2的等边三角形时，求的值；
（2）如图2，当时，连接，随着点在反比例函数图象上移动，四边形的面积是否为定值？若是，请用含的代数式表示这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）四边形的面积是，为定值．【详解】（1）设点，过点作轴于点，则，，如图1，则．∵ 点，在同一个反比例函数的图象上，∴，∴，∴．（2）四边形的面积是定值．证明如下：设，过点作于点，如图2，∵，
∴，即点的纵坐标为．∵点在反比例函数的图象上，∴，
∴，∴的面积为．∵，∴ 四边形的面积是，为定值．
7．如图，在平面直角坐标系中，函数y1＝（k1＞0，x＞0）的图象与等边△OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，AM所在直线y2＝k2x，若AB＝3，求：
（1）求反比例函数及直线AM的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时x的范围；
（3）求△ONB的面积．
【答案】（1）y1＝，y2＝x；（2）0＜x＜1；（3）．
【详解】（1）如图所示
过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°∵又OM＝2MA，∴OM＝2，MA＝1，在Rt△MOD中，OD＝OM＝1，MD＝＝＝，∴M（1，），
把M（1，）代入y1＝得，k1＝1×＝∴反比例函数的关系式为：y1＝，
把M（1，）代入y2＝k2x，得k2＝，∴直线AM的解析式为y2＝x；（2）由图象可知，当y1＞y2时x的范围是0＜x＜1；（3）设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC＝，在Rt△BCN中，NC＝BC，∴＝（3﹣a），解得：a＝或a＝（舍去）
∴，∴N（，），∵OA＝AB＝OB＝3，
∴S△ONB＝OB•yN＝×3×＝．
如图，是等边三角形，边在轴上，反比例函数的图象经过点，若，点的坐标为，则k的值为___________．
方法：1.等边三角形顶点作底边垂直，同样满足三线合一；2.构造30°角，利用求解；
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等边的边OA，AB分别交于点M，N，且，若，那么点N的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知点A是双曲线y＝﹣在第二象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第一象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
3.如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为______．
【知不足】
1.如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣2，0），过点C（2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数解析式为（ ）
A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣
2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边三角形的边和菱形的边均在x轴上，点C在上，，反比例函数的图像经过点A，则k的值为______．
3.如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点为顶点作等边，使A，B落在轴上点在点的左边若点坐标为，则的面积是______．
4.如图：在平面直角坐标系中，等边的边长为4，
(1)求过点A的反比例函数的解析式；
(2)过点A作交x轴于点D，求直线的解析式．
【一览众山小】
1.如图，已知双曲线与正比例函数交于、两点，以为边作等边三角形，且，再以为斜边作直角三角形，使轴，连接，若的周长比的周长少4，则_____．
2．如图所示，反比例函数在第一象限内分支上有一动点A，连接AO并延长与另一分支交于点B，以AB为边作一个等边△ABC，使得点C落在第四象限内．在点A运动过程中，直接写出△ABC面积的最小值____．
3.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为．
(1)求过点B的反比例函数的解析式；
(2)点P在反比例函数上，点D在x轴上，当以P、D、O三点构成的三角形为等边三角形时，求点P、D的坐标；
(3)反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，点Q是x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．
4．某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边沿x轴平移（边在x轴上，点C在x轴上方），其中，与反比例函数交于点D，E两点（点D在点E左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：
(1)第一小组提出“当时，求点D的坐标”；
(2)第二小组提出“若，求a的值”；
(3)第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60°至点，点恰好也在上，求a的值”．
5.如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【温故为师】
1．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2021的坐标为_____．
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等边三角形，且点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上．
（1）反比例函数的表达式为______；
（2）把向右平移a个单位长度，对应得到．
①若此时另一个反比例函数的图象经过点，则k和的大小关系是：k______（填“”、“”或“”）；
②当函数的图象经一边的中点时，则______．
3．如图，，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点都在反比例函数（）的图像上，点，都在轴上，则的坐标为 _______．
4．如图，直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．
（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；
（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；
5．如图，已知反比例函数 y=的图像经过点A（－1，a），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB的面积为.
（1）求a、k的值；
（2）若一次函数y=mx+n图像经过点A和反比例函数图像上另一点，且与x轴交于M点，求AM的值：
（3）在（2）的条件下，如果以线段AM为一边作等边△AMN，顶点N在一次数函数y=bx上，则b= ______.
6．点，是反比例函数图象上的两点，轴．
（1）如图1，当是边长为2的等边三角形时，求的值；
（2）如图2，当时，连接，随着点在反比例函数图象上移动，四边形的面积是否为定值？若是，请用含的代数式表示这个定值；若不是，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，函数y1＝（k1＞0，x＞0）的图象与等边△OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，AM所在直线y2＝k2x，若AB＝3，求：
（1）求反比例函数及直线AM的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时x的范围；
（3）求△ONB的面积．
类型十、反比例函数与等边三角形结合
【解惑】
如图，是等边三角形，边在轴上，反比例函数的图象经过点，若，点的坐标为，则k的值为___________．
方法：1.等边三角形顶点作底边垂直，同样满足三线合一；2.构造30°角，利用求解；
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等边的边OA，AB分别交于点M，N，且，若，那么点N的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【详解】过点N、M分别作，，垂足为C、D，
∵是等边三角形，∴，，
又∵，∴，，在中，，
，，∴点M的坐标为，∴，∴反比例函数的关系式为，设，，，在中，，∴，∴，解得：或 (舍去)，∴点N的横坐标为，
2．如图，已知点A是双曲线y＝﹣在第二象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第一象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值是（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】B【详解】解：∵双曲线关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．
∴OA＝OB．连接OC，如图所示．∵是等边三角形，OA＝OB，∴ ，∠BAC＝60°，∴，∴．过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点C作CF⊥x轴，垂足为F，∵ ∴ ∴ ．∴，
∵，∴，．设点A坐标为（a，b），∵点A在第二象限，
∴OE＝﹣a，AE＝b．∴， ．∵点A是双曲线在第二象限的分支上的一个动点，∴ab＝﹣4．∴．
设点C坐标为（x，y），∵点C在第一象限，∴FC＝y，OF＝x．∴．
∴xy＝﹣6．∵点C在双曲线上，∴k＝xy＝12．
3.如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为______．
【答案】2【详解】解：过点A作轴于C，
∵点在反比例函数第一象限内的图象上，是等边三角形，∴，∴，
【知不足】
1.如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣2，0），过点C（2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数解析式为（ ）
A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝﹣
【答案】D【详解】解：连接AC，
∵点B的坐标为（-2，0），△AOB为等边三角形，∵AO=OC=2，∠B=∠AOB=60°，∴∠OCA=∠OAC=30°，点A的坐标为，∴∠BAC=90°，
，，∴，∴AE=1，
∴E点为AB的中点，∴E，把E代入中，得，
∴反比例函数解析式为．
2.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边三角形的边和菱形的边均在x轴上，点C在上，，反比例函数的图像经过点A，则k的值为______．
【答案】【详解】解：连接，
∵是等边三角形，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵，∴，过A作于H，
∴，∴，∵反比例函数的图像经过点A，∴k的值为，
3.如图，点是反比例函数在第一象限内的图象上的一个点，以点为顶点作等边，使A，B落在轴上点在点的左边若点坐标为，则的面积是______．
【答案】【详解】解：设等边的边长为，则点，
则，解得：负值已舍去，，
4.如图：在平面直角坐标系中，等边的边长为4，
(1)求过点A的反比例函数的解析式；
(2)过点A作交x轴于点D，求直线的解析式．
【答案】(1)(2)【详解】（1）解：如图，作轴，垂足为点E，
∵等边的边长为4，∴，，∴∴，∴反比例函数的解析式为；
（2）在中，，，∴，，∴，设的解析式为，
把，代入得，解得，∴直线的解析式
【一览众山小】
1.如图，已知双曲线与正比例函数交于、两点，以为边作等边三角形，且，再以为斜边作直角三角形，使轴，连接，若的周长比的周长少4，则_____．
【答案】【详解】如图，设BC与x轴的交点为点E，由等边三角形的性质得，AB边上的高为，解得或（舍去），即
的周长比的周长少4，，CD是公共边设，则在中，，即解得或（不符题意，舍去）由反比例函数的性质可得，即点O是AB的中点
轴是的中位线，即点B坐标为将代入得，解得
2．如图所示，反比例函数在第一象限内分支上有一动点A，连接AO并延长与另一分支交于点B，以AB为边作一个等边△ABC，使得点C落在第四象限内．在点A运动过程中，直接写出△ABC面积的最小值____．
【答案】18【详解】解：为等边三角形，．设点的坐标为，则点的坐标为，．，
，．
3.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为．
(1)求过点B的反比例函数的解析式；
(2)点P在反比例函数上，点D在x轴上，当以P、D、O三点构成的三角形为等边三角形时，求点P、D的坐标；
(3)反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，点Q是x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．
【答案】(1)(2)，或，(3)Q的坐标为：或或或【详解】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G，如图，
∵，∴，∴．
∵四边形是菱形，∴，轴,∴，∴，∴．∵过B点的反比例函数解析式为，
∴，解得：，∴反比例函数解析式为；（2）过点A作轴于E，作直线交反比例函数图象于P，过P作轴于H，作关于直线的对称直线交x轴于点D，如图：
由（1）知：，∴，
∴．∵轴于E，轴于H，∴．
∵关于直线的对称直线交x轴于点D，∴，∴，
∴是等边三角形．设直线的解析式为，把代入得，
∴直线的解析式为．联立，解得：或，∴或，当时，由对称性可知，当时，同理可得；
∴，或，；（3）如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，
∵， ∴，∴．设，则，，①以为斜边时，，∴，解得，∴Q或；
②以为斜边时，，∴，解得，∴；
③以为斜边时，，∴，解得，∴．
综上所述，Q的坐标为：或或或．
4．某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边沿x轴平移（边在x轴上，点C在x轴上方），其中，与反比例函数交于点D，E两点（点D在点E左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：
(1)第一小组提出“当时，求点D的坐标”；
(2)第二小组提出“若，求a的值”；
(3)第三小组提出“若将点E绕点A逆时针旋转60°至点，点恰好也在上，求a的值”．
【答案】(1)；(2)3(3)【详解】（1）解：当时，过点C作轴，垂足为点H，
∵是边长为2的等边三角形，∴，
∴，∴，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，
与反比例函数联立方程组，解得：，（舍去），
代入可得点；（2）解：过点D作轴，垂足为点F，过点C作轴，垂足为点H，过点E作，垂足为点I，
设，则，∴点，
因为，，则，∴，
∴，∴点，因为点D，E均在反比例函数上，
∴，由①得：③，代入②得，
化简得：，由③得：；（3）解：连接，过点作轴，垂足为点，
由题意得，∴，∴，
∴，∴，故，同理点，
∴点的纵坐标为，则，∴，∴点，∴，
∴，，∴，∵点在反比例函数上，∴，解得：，（舍去），
故，
5.如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=2x；B（1，2）（2）①当x＞0时，2x2≤2，解得0＜x≤1，②当x＜0时，2x2≥2，解得x≤﹣1；（3）不存在，见解析【详解】试题解析：（1）把A（m，﹣2）代入y=，得﹣2=，解得m=﹣1，∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx，∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2，∴y=2x，
又由2x=，得x=1或x=﹣1（舍去），∴B（1，2），（2）∵k=2，∴≥kx即为≥kx
①当x＞0时，2x2≤2，解得0＜x≤1，②当x＜0时，2x2≥2，解得x≤﹣1；（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则|OA|=|OC|，设C（t，）（t＜0），
∵A（﹣1，﹣2）∴OA=∴t2+=5，则t4﹣5t2+4=0，
∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，t2=4，t=﹣2，C（﹣2，﹣1），而此时|AC|=，|AC|≠|AO|，∴不存在符合条件的点C．
【温故为师】
1．如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△An﹣1BnAn，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，Bn都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，An，都在x轴上，则A2021的坐标为_____．
【答案】【详解】解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，
∴B1C＝OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，t），把B1（t，t）代入y＝得t•t＝，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D＝m，则B2的坐标表示为（2+m，m），把B2（2+m，m）代入y＝得（2+m）×m＝，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1（舍去），∴A1D＝﹣1，A1A2＝2﹣2，OA2＝2+2﹣2＝2，∴A2（2，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为n，B3的坐标表示为（2+n，n），把B3（2+n，n）代入y＝得（2+n）•n＝，∴A2E＝﹣，A2A3＝2，OA3＝2+2﹣2＝2，
∴A3（2，0），综上可得：A2021（2，0），
2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，是等边三角形，且点B的坐标为，点A在反比例函数的图象上．
（1）反比例函数的表达式为______；
（2）把向右平移a个单位长度，对应得到．
①若此时另一个反比例函数的图象经过点，则k和的大小关系是：k______（填“”、“”或“”）；
②当函数的图象经一边的中点时，则______．
【答案】 或【详解】解：（1）如图所示，过点A作于C，
∵，∴，∵是等边三角形，∴，
∴，∴，∵点A在反比例函数的图象上，
∴，∴，∴反比例函数的表达式为，
（2）①∵把向右平移a个单位长度，对应得到，
∴，∵反比例函数的图象经过点，∴，∴，
∵，∴，∴，（3）当函数的图象经过的中点时，
∵，∴函数的图象经过点，∴，
∴；当函数的图象经过的中点时，∵，∴函数的图象经过点，∴，∴，
3．如图，，，，，，都是一边在轴上的等边三角形，点都在反比例函数（）的图像上，点，都在轴上，则的坐标为 _______．
【答案】【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
为等边三角形，，
，设的长度为，则的坐标为，把代入得，解得或（舍去），，，设的长度为，同理得到，则的坐标表示为，把代入得，解得或（舍去），，，设的长度为，同理，，的坐标表示为，把代入得，解得或（舍去），，，，以此类推可得：，
4．如图，直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，点C为第三象限内一点．
（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值；
（2）当k=－，且CA=CB，∠ACB=90°时，求C点的坐标；
【答案】（1）-2；（2）（-3，-2）；（3）mn=18.【详解】（1）把（a，3）代入=－，得 ，解得a=－2； （2）连接CO，作AD⊥y轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则∠ADO=∠CEO=90°，
∴∠DAO+∠AOD=90°，∵直线 y=kx与双曲线=－交于A、B两点，∴OA=OB，当CA=CB，∠ACB=90°时，∴CO=AO，∠BOC=90°，即∠COE+∠BOE=90°，∵∠AOD=∠BOE，∴∠DAO=∠EOC，
∴△ADO≌△OEC，又k=－，由y=－x和y=－解得，，所以A点坐标为（－2，3），由△ADO≌△OEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，所以C（-3，-2）；
5．如图，已知反比例函数 y=的图像经过点A（－1，a），过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，△AOB的面积为.
（1）求a、k的值；
（2）若一次函数y=mx+n图像经过点A和反比例函数图像上另一点，且与x轴交于M点，求AM的值：
（3）在（2）的条件下，如果以线段AM为一边作等边△AMN，顶点N在一次数函数y=bx上，则b= ______.
【答案】（1），；（2）；（3）.【详解】解：（1）∵，
∴，∴，∴把A点的坐标为，代入得；
（2）∵在反比例函数的图象上，∴，∴，∴，
将，代入y=mx+n中，得 ,解得： ,
∴直线AM解析式为：，当时，，∴，在中，，，∴；（3）设点N的坐标为（m，n），
∵△AMN为等边三角形，且AM=，A(-1，)，M（2，0）,∴，解得：，∵顶点N（m，n）在一次函数y=bx上，∴b=.
6．点，是反比例函数图象上的两点，轴．
（1）如图1，当是边长为2的等边三角形时，求的值；
（2）如图2，当时，连接，随着点在反比例函数图象上移动，四边形的面积是否为定值？若是，请用含的代数式表示这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）四边形的面积是，为定值．【详解】（1）设点，过点作轴于点，则，，如图1，则．∵ 点，在同一个反比例函数的图象上，∴，∴，∴．（2）四边形的面积是定值．证明如下：设，过点作于点，如图2，∵，
∴，即点的纵坐标为．∵点在反比例函数的图象上，∴，
∴，∴的面积为．∵，∴ 四边形的面积是，为定值．
7．如图，在平面直角坐标系中，函数y1＝（k1＞0，x＞0）的图象与等边△OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，AM所在直线y2＝k2x，若AB＝3，求：
（1）求反比例函数及直线AM的解析式；
（2）直接写出当y1＞y2时x的范围；
（3）求△ONB的面积．
【答案】（1）y1＝，y2＝x；（2）0＜x＜1；（3）．
【详解】（1）如图所示
过点N、M分别作NC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°∵又OM＝2MA，∴OM＝2，MA＝1，在Rt△MOD中，OD＝OM＝1，MD＝＝＝，∴M（1，），
把M（1，）代入y1＝得，k1＝1×＝∴反比例函数的关系式为：y1＝，
把M（1，）代入y2＝k2x，得k2＝，∴直线AM的解析式为y2＝x；（2）由图象可知，当y1＞y2时x的范围是0＜x＜1；（3）设OC＝a，则BC＝3﹣a，NC＝，在Rt△BCN中，NC＝BC，∴＝（3﹣a），解得：a＝或a＝（舍去）
∴，∴N（，），∵OA＝AB＝OB＝3，
∴S△ONB＝OB•yN＝×3×＝．
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