2024省大庆外国语学校高二下学期开学质量检测试题数学含解析

这是一份2024省大庆外国语学校高二下学期开学质量检测试题数学含解析，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合要求）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列所给四个命题中，不是真命题的为
A. 两个共轭复数的模相等B.
C. D.
3. 已知命题p：，是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知向量，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
5. 已知实数，，则下列不等式中成立是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知为奇函数，为偶函数，且满足，则=（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值是2
B. 函数的最小值等于4
C. 若，，则的最小值2
D. 函数最小值是2
8. 双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（ ）

A. B. C. D.
二、多选题（共4小题，每题5分，共20分.全部选对5分，部分选对2分，有选错0分）
9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确是（ ）
A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率
B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
10. 已知数列中，，则能使的可以为（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数为偶函数
D. 若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则可以为
12. 如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）

A. B. 与所成的角可能是
C. 是定值D. 当时，点到平面的距离为2
三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知分别为三个内角的对边，若，，则= ____.
14. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则_________.
15. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________.
16. 已知正三棱锥，底面是边长为2的正三角形，若，且，则正三棱锥外接球的半径为____________．
四、解答题（共6道大题，共70分）
17. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18. 法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本每天阅读时间的第75百分位数；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.
19. 已知函数的最小正周期为2，的一个零点是．
（1）求解析式；
（2）当时，的最小值为，求的取值范围．
20. 已知数列的前项和为，且，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
21. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面.
（1）求证：面；
（2）点在棱上，设，若二面角余弦值为，求.
22. 如图所示：已知椭圆的短轴长为2，A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于两点，交轴于点.记的面积为.

（1）若离心率，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下①求证：为定值；②求的取值范围；
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数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一项符合要求）
1. 已知集合，集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】解不等式确定集合A、B后再求并集即可.
【详解】∵，，
∴.
故选:A.
2. 下列所给的四个命题中，不是真命题的为
A. 两个共轭复数的模相等B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，根据已知中的条件，将代入，解关于，的方程，求出满足条件的，的值，可以判断出，，为真命题，举出反例说明，也可能不成立，即可判断错误，进而得到答案．
【详解】对于，设，其共轭复数为，两个共轭复数的模相等，故正确；
对于，，故正确；
对于，例如，，满足但不满足，故错误；
对于，设，其共轭复数为，此时，，故正确.
故选C.
【点睛】本题考查的知识点是复数的基本概念，其中根据复数模的计算方法及复数的基本运算法则，设复数为代入各个选项，判断命题的真假是解答本题的关键．
3. 已知命题p：，是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由命题p的否定“，”为真命题求解．
【详解】解：由题意，命题p的否定“，”为真命题．
当时，恒成立；
当时，，解得．
综上，．
故选：A．
4. 已知向量，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标表示计算即可.
【详解】由.
因为，所以．
故选:A.
5. 已知实数，，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，及特殊值，逐一分析选项即可.
【详解】对于A：当时，不成立，所以A错误；
对于B：由指数函数图象与性质得，其在是减函数，
，，所以B正确；
对于C：当时，不成立，所以C错误；
对于D：幂函数在 单调递减，而，
所以，所以D错误.
故选：.
【点睛】本题考查指数函数和幂函数的单调性应用，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题.
6. 已知为奇函数，为偶函数，且满足，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，由函数的奇偶性可得，解之即可求解.
【详解】由题意知，为奇函数，为偶函数，
则，
所以，即，
解得.
故选：D
7. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小值是2
B. 函数的最小值等于4
C. 若，，则的最小值2
D. 函数的最小值是2
【答案】D
【解析】
【分析】选项AC可以取特殊值举反例；选项B不符合取等号的条件；选项D用基本不等式求得.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，当且仅当，不符合余弦函数的最值，故取不到等号，B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，当且仅当时，取等号，故D正确；
故选：D
8. 双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出，进而利用勾股定理可得的关系，从而可求出结果.
详解】由题意知延长则必过点,如图：

由双曲线的定义知，
又因为，所以，
因为，所以，
设，则，因此，
从而由得，所以，
则，，，
又因为，所以，
即，即，
故选：B.
二、多选题（共4小题，每题5分，共20分.全部选对5分，部分选对2分，有选错0分）
9. 在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A. 任意一条直线都有倾斜角和斜率
B. 直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C. 若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
D. 与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可.
【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误；
对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为，
当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误；
对于C，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故C错误；
对于D，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，
当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，
即与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故D正确.
故选：ABC.
10. 已知数列中，，则能使的可以为（ ）
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
【答案】AD
【解析】
【分析】证明数列的周期，然后算第一个周期中等于的项.
【详解】
又
是以为周期的周期数列.
又因为，所以，故时
经检验A D都符合.
故选：AD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数为偶函数
D. 若函数的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则可以为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用辅助角公式和周期公式即可判断；对于B，求出后利用对称中心点的计算即可判断；对于C，利用偶函数的判断标准判断即可；对于D，根据三角函数变换法则进行变换后，利用关于轴对称进行判断即可.
【详解】因为，
所以的最小正周期为，故A正确；
当时，，
所以函数的图象关于点对称，B正确；
易知函数的定义域为，
又
，
所以函数不是偶函数，故C错误；
函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为，
由题意，函数的图象关于轴对称，
所以，，即，，
当时，，故D正确．
故选：ABD
12. 如图所示，棱长为3的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）

A. B. 与所成的角可能是
C. 是定值D. 当时，点到平面的距离为2
【答案】AC
【解析】
【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助数量积公式与点平面距离公式逐项计算即可得.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、、、
、、、则，，
，，，
设，，则，，
故，即，故A正确；
若与所成的角可能为，
则存在，使得成立，
即，
化简得，即，由，故舍去，
即与所成的角故可能是，故B错误；
，
故，故C正确；
当时，有，故，，
设平面的法向量为，
则有，令，则有，
则点到平面距离，
故D错误.
故选：AC.

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知分别为三个内角的对边，若，，则= ____.
【答案】##
【解析】
【分析】由余弦定理代入求解即可.
【详解】由余弦定理，则，
又，所以，
故答案为：.
14. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，故两圆圆心距离为半径之差，计算即可得.
【详解】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，
由可得，
即该圆以为圆心，为半径，
圆，圆心为，
故有且，
解得.
故答案为：.
15. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：有得所以双曲线的渐近线为又抛物线的准线方程为联立双曲线的渐近线和抛物线的准线方程得在中，到的距离为..
考点：双曲线与抛物线的几何性质.
16. 已知正三棱锥，底面是边长为2的正三角形，若，且，则正三棱锥外接球的半径为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】据题意，根据线面垂直的判定定理，可证得面，进而证明面，由此可得到两两垂直，将三棱锥补形成正方体，即可求出外接圆半径.
【详解】设正三棱锥的底面中心为点，连接，则面，
连接并延长，交于点，连接，如图所示，
因为底面是正三角形，
则为的中点，，，
又，面，面，
所以面，又因为面，
所以，又因为，，
因为，所以，故面，又因为面，
所以面，
因为面，面，所以，
因为三棱锥是正三棱锥，且底面是边长为2的正三角形，
所以两两垂直，且，
将其补形成棱长为正方体，如图：
所以正三棱锥外接球的半径为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求几何体外接球半径或体积（表面积），常用方法有：补形法，利用射影定理，建立空间直角坐标系.
四、解答题（共6道大题，共70分）
17. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据等比中项性质可构造方程求得，由等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得，可知为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.
【详解】（1）成等比数列，，即，
，解得：，
.
（2）由（1）得：，，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.
18. 法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本每天阅读时间的第75百分位数；
（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于的概率.
【答案】（1）
（2）84分钟 （3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的所有矩形面积之和为1列出方程即可求解.
（2）根据百分位数的定义先确定第75百分位数的位置；再列出方程即可求解.
（3）先根据分层抽样的方法确定位于分组，和的年轻人的人数；再利用古典概型的概率公式即可求解.
【小问1详解】
因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，
所以，解得.
【小问2详解】
因为成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
所以第75百分位数落在.
设第75百分位数为m，
由，解得，
故第75百分位数为84，
所以估计该地年轻人阅读时间的第75百分位数约为84分钟.
【小问3详解】
由题意，阅读时间位于的人数为，
阅读时间位于的人数为，
阅读时间位于的人数为，
所以在这三组中按照分层抽样抽取5人的抽样比例为，
则抽取的5人中位于区间有1人，设为a，位于区间有3人，设为，，，位于区间有1人，设为.
则从5人中任取3人，样本空间共含有10个样本点.
设事件A为“恰有2人每天阅读时间在”，
，含有6个样本点.
所以，
所以恰好有2人每天阅读时间位于的概率为.
19. 已知函数的最小正周期为2，的一个零点是．
（1）求的解析式；
（2）当时，的最小值为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题设中周期求得，再由零点条件可求，即得函数解析式；
（2）由的范围求出整体角的范围，结合正弦函数的图象，依题意须使，解之即得的取值范围.
【小问1详解】
由题知，所以．
又因为，所以，，即：，
又，则，
所以．
【小问2详解】
因为，，令，
因为在上的最小值为，如图，
可知须使，解得，
所以的取值范围是．
20. 已知数列的前项和为，且，数列是首项为1，公差为2的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由与的关系式易得关于通项的递推式，根据等比特征求出通项，代入的通项可求出；
（2）因属于“差比数列”，运用错位相减法可求得，由恒成立，即恒成立，利用数列的函数思想，求函数的最大值即可.
【小问1详解】
当时，，解得．
当时，，两式相减得，
即，所以是首项、公比均为2的等比数列，故．
又，故．
【小问2详解】
因为，所以①，②，
①②得:．
所以．
不等式对一切恒成立，转化为对一切恒成立．
令，
单调递减，
所以实数的取值范围为.
21. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面.
（1）求证：面；
（2）点在棱上，设，若二面角余弦值为，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据四边形为平行四边形可得，知，由面面垂直和线面垂直性质可得，结合可证得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可构造方程求得.
【小问1详解】
取中点，连接，，

，，四边形为平行四边形，，
又，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，即，又，平面，
平面.
【小问2详解】
取中点，连接，
，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以为坐标原点，正方向为轴正方向，作轴平行于直线，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
平面轴，平面的一个法向量，
，解得：，满足，
.
22. 如图所示：已知椭圆的短轴长为2，A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于两点，交轴于点.记的面积为.

（1）若离心率，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下①求证：为定值；②求的取值范围；
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解的值，
（2）联立直线方程与椭圆方程得韦达定理给，结合向量的坐标运算即可求解，由弦长公式，结合对勾函数的单调性即可求解面积的范围.
【小问1详解】
由题意可知，，
所以，
故椭圆方程为：
【小问2详解】
由（1）得，依题意，直线不垂直于坐标轴，
①设直线，设，

由消去并整理得：，
则，
由得，即，
而，同理，
因此，，
所以为定值.
②，
由，则有，
令，显然函数在上单调递增，，则，
所以的取值范围是.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.