2024年高考数学第二轮专题复习专题12： 分离参数法14页

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2.已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________
【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法
，其中
只需要，令
（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定的符号，不妨先验边界值）
，，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程）
在单调递减，在单调递减

3.若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是 ．
【解析】在本题中关于的项仅有一项，便于进行参变分离，但由于,则分离参数时要对的符号进行讨论，并且利用的符号的讨论也可把绝对值去掉，进而得到的范围，，当时，，而 ；当时，
不等式恒成立；当时，，
而
综上所述：
设函数，对任意的恒成立，则实数的取值范围是_______.
【解析】先将不等式进行化简可得：
，即，便于进行分离，考虑不等式两边同时除以，可得：
，，
最小值，即
解得：
5.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ．
【解析】，
令，对绝对值内部进行符号讨论，即，而在单调递增，在单调递减，可求出
6.设正数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）
【解析】先将放置不等号一侧，可得，所以，先求出的最大值，，可得在单调递增，在单调递减。故，所以若原不等式恒成立，只需，不等式中只含，可以考虑再进行一次参变分离，，则只需，，
所以解得：
7.已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围
【解析】恒成立 只需
由得：，令解得：
在单调递减，在单调递增

，恒成立
即只需

当时，令
则，与矛盾
当时， 解得
在单调递增，在单调递减


综上所述：
若不等式对任意正数恒成立，则正数的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【解析】本题无论分离还是分离都相对困难，所以考虑将归至不等号的一侧，致力于去求表达式的最值：，从入手考虑使用均值不等式：，所以
已知函数 ，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】
即只需要
设
令 (分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析）

在单调递增
在单调递增
已知函数,若,且 对任意恒成立,则的最大值为_________.
【解析】恒成立不等式，，令，则，考虑分子，在单调递增。尽管不能够确定零点，但可以通过零点存在性定理大致的确定零点所在的位置。 ，使得。，同理，时，，所以在单调递减，在单调递增。，因为即，
11．已知函数．
（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且关于的方程在，上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，
，
函数在定义域内单调递增，
在时恒成立，
则在时恒成立，
即，
当时，取最小值，
的取值范围是，．
（2）当，由得在，上有两个不同的实根，
设，，，
，
，时，，，时，，
（2），，（4），，
（1）（4）
．
12．已知函数．为自然对数的底数）
（Ⅰ）当时，试求的单调区间；
（Ⅱ）若函数在，上有三个不同的极值点，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）易知，函数的定义域为，
，
当时，对于，恒成立，
所以 若，，若，，
所以单调增区间为，单调减区间为；
（Ⅱ）由条件可知在，上有三个不同的根，
即在，有两个不同的根，
令，，
，时单调递增，时单调递减，
（1），，（2），
，
．
13．已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若不等式有唯一正整数解，求实数的取值范围．
【解析】解（Ⅰ）
①当时，，所以在上单调递增；
②当时，由，得．
此时，当，时，，单调递增；
当，时，，单调递减（5分）
（Ⅱ）由得：
当时，不等式显然不成立，又为正整数，
所以，，（7分）
记，则，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，（10分）
且，所以，
解得，
综上所述，的取值范围为：，（12分）
14．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，对于任意，，，都有恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）函数．可得
①若时，，时，，则在，上单调递增，
在上，，函数是单调递减；
②时，，恒成立，则在上单调递增；
③若时，则在，上，，函数是单调递增，
在上，，函数是单调递减；
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，在单调递减，
所以，，
故，恒成立，
即恒成立
即恒成立，
令，可得，当时，函数是增函数，时，函数是减函数，
易知在其定义域上有最大值，
所以．
15．已知函数，其中，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，，若存在，，对于任意的实数，，恒有成立，求的最大值；．
【解析】（1）由题意得，
当时，恒成立，故函数在上单调递增；
当，
所以；
（2）不等式
记，，，
则
其中
由（1）知函数在上单调递减，且，
若，则，，
函数在，上单调递增，
，
．
，
在区间，上单调递减，
，
；
当时，此时（1）且在，内递减，
在，内有唯一零点，记为，
在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，
，
．
16．已知函数．若存在使得成立，求实数的取值范围．
【解析】存在，使得不等式成立，
即为的最小值，
令，，
则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
则为的极小值点，且为最小值点
而（1），
．
故实数的取值范围为，．
17．已知函数，
若，求曲线在处的切线方程；
讨论函数在，上的单调性；
若存在，，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】（Ⅰ）时，，
，
（1），
（1）
所求切线方程为，
（Ⅱ），，
当即时，，此时，在，上单调增；
当即时，时，，在上单调减；
时，，在上单调增；
当即时，，，此时，在，上单调减；
（Ⅲ）方法一：当时，
在，上单调增，
的最小值为（1），
当时，在上单调减，在上单调增，
的最小值为，
，
，，
，
，
当时，在，上单调减；
的最小值为（e），
，
（e），
综上，；
方法二：不等式，可化为，
，，
且等号不能同时取，
，即
因而
令，
又
当，时，，，
从而，（仅当时取等号），
在，上为增函数，
故的最小值为（1），
的取值范围是，