新教材同步备课2024春高中数学第8章成对数据的统计分析8.2一元线性回归模型及其应用8.2.1一元线性回归模型8.2.2第2课时回归分析及非线性回归模型教师用书新人教A版选择性必修第三册

第2课时　回归分析及非线性回归模型设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如表所示：作出这组数的散点图近似描述y与x的关系，很显然，这些散点不在一条直线附近．你能求出这个函数模型吗？知识点1　残差及残差图(1)对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值．通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果．通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等．(2)作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或解释变量的观测值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．(3)残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．知识点2　对模型刻画数据效果的分析(1)残差图法：在残差图中，如果残差比较均匀地集中在以横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明经验回归方程较好地刻画了两个变量的关系．(3)决定系数R2法：可以用R2＝来比较两个模型的拟合效果，R2越小，模型拟合效果越差，R2越大，模型拟合效果越好．决定系数R2的取值范围是什么？[提示]　0≤R2≤1．知识点3　非线性回归方程(1)非线性回归分析的思想研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系．(2)非线性经验回归方程当回归方程不是形如＝x＋(，∈R)时，称之为非线性经验回归方程．当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性经验回归方程．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)残差平方和越接近0，线性回归模型的拟合效果越好． (　　)(2)在画两个变量的散点图时，响应变量在x轴上，解释变量在y轴上． (　　)(3)R2越小，线性回归模型的拟合效果越好． (　　)(4)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号． (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)A．模型1的决定系数R2为0.98B．模型2的决定系数R2为0.80C．模型3的决定系数R2为0.50D．模型4的决定系数R2为0.25A　[R2越大拟合效果越好．]3．从某省“双一流”大学中随机选出8名女大学生，得到其身高x(单位：cm)与体重y(单位：kg)的数据如下表：若已知y与x的经验回归方程为＝0.85x－85.71，则选取的女大学生身高为175 cm时，相应的残差为________kg．0.96　[当x＝175 cm时，＝0.85×175－85.71＝63.04(kg)，∴相应的残差＝64－63.04＝0.96(kg)．] 类型1　残差与残差分析【例1】　(1)对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　D(2)已知一系列样本点(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)的经验回归方程为＝2x＋，若样本点(r，1)与(1，s)的残差相同，则有(　　)A．r＝s　　　　　　　 B．s＝2rC．s＝－2r＋3 D．s＝2r＋1(1)A　(2)C　[(1)用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．(2)样本点(r，1)的残差为1－2r－，样本点(1，s)的残差为s－－2．依题意得1－2r－－2，故s＝－2r＋3．]　(1)残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，经验回归方程的预报精度越高．(2)残差是随机误差的估计值，i＝yi－i．[跟进训练]1．两个线性相关变量x与y的统计数据如表所示：其经验回归方程是＝x＋40，则相对应于点(11，5)的残差为(　　)A．0.1　 　B．0.2　 　C．0.3　 　D．0.4B　[由于x＋40过样本中心点(10，8)，所以8＝10＝－3.2，因此＝－3.2x＋40．当x＝11时，＝－3.2×11＋40＝4.8，所以残差＝5－4.8＝0.2．]2．已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从左到右第________个．6　[原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即偏离平衡位置过大．] 类型2　残差平方和与决定系数R2【例2】　已知某种商品的价格x(单位：元)与需求量y(单位：件)之间的关系有如下一组数据：(1)求y关于x的经验回归方程；(2)借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏．[解]　(1)＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，所以＝＝＝－1.15，＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以所求经验回归方程是＝－1.15x＋28.1．(2)列出残差表为所以回归模型的拟合效果很好．　刻画回归效果的三种方法(1)残差图法：残差点比较均匀地落在水平带状区域内说明选用的模型比较合适．(3)决定系数R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的拟合效果越好．[跟进训练]3．为研究质量x(单位：g)对弹簧长度y(单位：cm)的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示：(1)作出散点图并求经验回归方程；(2)求出R2并说明回归模型拟合的程度；(3)进行残差分析．[解]　(1)散点图如图所示．样本点分布在一条直线附近，y与x具有线性相关关系．由表中数据，得＝×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，＝×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487计算得≈6.285．故所求经验回归方程为＝6.285＋0.183x．(2)列表如下：所以R2＝1－≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在宽度不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系． 类型3　非线性回归分析【例3】　为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数y的变化，收集数据如表所示：(1)用天数作解释变量，繁殖个数作响应变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断：＝＋x与y＝c1哪一个作为繁殖的个数y关于时间x变化的回归方程类型为最佳？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断最佳结果及表中的数据，建立y关于x的回归方程．[解]　(1)作出散点图，如图1所示．由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1．(2)令z＝ln y，则x＋．相应的散点图如图2．从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用经验回归方程来拟合．a＝＝0.69x＋1.115，则有y＝e0.69x+1.115．[母题探究](变设问)在本例条件不变的情况下，试估计第7天细菌繁殖个数．[解]　∵＝e0.69x+1.115，∴当x＝7时，≈382(个)，即第7天细菌繁殖个数约为382个．　解决非线性回归问题的方法及步骤(1)确定变量：确定解释变量为x，响应变量为y．(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型．(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题．(4)分析拟合效果：通过计算决定系数等来判断拟合效果．(5)写出非线性回归方程．提醒：当数据量较大时，可采用计算器或者数学软件来求回归方程．[跟进训练]4．(源自湘教版教材)实验中获得了某化学品的化学反应时间和转化率的数据如表，试建立转化率y关于反应时间x的回归方程(结果保留三位小数)．[解]　根据收集的数据作散点图(图1)．观察散点图可知，样本点并没有分布在某条直线附近，因而变量y与x之间没有明显的线性相关关系，所以不能直接利用线性回归模型来刻画这两个变量之间的关系．根据已有的数学知识，可以认为样本点分布在指数曲线y＝c1的附近，其中c1和c2是待定参数． 为估计参数c1和c2，在y＝c1的两端取对数，得到ln y＝ln c1＋c2x．再令z＝ln y，a＝ln c1，b＝c2，则得到直线方程z＝bx＋a．将题表中的数据进行代换，得到的数据见下表．图2是根据上表中数据作出的散点图．从图2中可以看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，说明z和x之间具有线性相关关系，因此可以用线性回归方程来拟合．对上表中的数据，用最小二乘法可得线性回归方程为＝0.019x＋0.686．再利用y＝ez可得到转化率y关于反应时间x的非线性回归方程为＝e0.686·e0.019x≈1.986e0.019x．1．下面四个残差图中，可以满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　DA　[由残差图显示的分布情况即可看出，图A显示的残差分布比较集中，且成带状分布，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定．]2．下列说法错误的是(　　)A．残差点分布的带状区域越窄，回归方程的拟合效果越好B．残差平方和越小，决定系数R2越大C．决定系数R2可以大于1D．通过经验回归方程得到的预报值是响应变量的可能取值的平均值，不一定是响应变量的精确值C　[由R2的计算公式，知B正确，C错误；A，D均正确．]3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性作试验，并用回归分析的方法分别求得相关系数r与残差平方和m如表：则________同学的试验结果体现了A，B两变量更强的线性相关性．丁　[由题表可知，丁同学的相关系数r最大且残差平方和m最小，故丁同学的试验结果体现了A，B两变量更强的线性相关性．]4．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝ln y，求得经验回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的经验回归方程为________．＝e0.25x-2.58　[由＝e0.25x-2.58．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．对模型刻画数据效果的分析有哪些常见方法？[提示]　残差图法，残差平方和法和R2法．2．决定系数R2与相关系数r一样吗？[提示]　在含有一个解释变量的线性回归模型中，决定系数R2恰好等于相关系数r的平方．在线性回归模型中有0≤R2≤1，因此R2和两个变量的相关系数r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好．课时分层作业(二十一)　回归分析及非线性回归模型一、选择题1．下列四个残差图中回归模型的拟合效果最好的是(　　)A　　　　　　　　BC　　　　　　　　DB　[B选项显示的残差分布比较集中，且成窄带状分布，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定．]2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与试验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高的同学是(　　)A．甲　　　B．乙　　　C．丙　　　D．丁D　[残差平方和越小，拟合效果越好．]3．若对于变量x，y的10组统计数据的回归模型中，计算得R2＝0.95，又知残A．241.1 B．245.1C．2 411 D．2 451C　[由题意知残差平方和又R2＝1－4．若一函数模型为y＝sin2α＋2sin α＋1，为将y转化为t的线性经验回归方程，则需作变换t等于(　　)A．sin2α B．(sin α＋1)2C．sin2α＋1 D．以上都不对B　[因为y是关于t的线性经验回归方程，实际上即y是关于t的一次函数，又因为y＝(sin α＋1)2，若令t＝(sin α＋1)2，则可得y与t的函数关系式为y＝t，此时变量y与变量t是线性相关关系．]5．某同学将收集到的六组数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5，6)制成如图所示的散点图，并通过计算得到其经验回归直线l1的方程为y＝0.68x＋，其样本相关系数为r1，决定系数为．经过残差分析确定点F为“离群点”(对应残差过大的点)，把它去掉后，再利用剩下的五组数据计算得到其经验回归直线l2的方程为＝x＋0.68，其样本相关系数为r2，决定系数为．则以下结论中不正确的是(　　) B．C．＝0.12 D．00，且r10.9，则认为回归模型拟合效果良好)＝－R2＝1－[解]　(1)由题中表格数据可得＝4＝5则＝＝0.08，故＝1.23x＋0.08．(2)设i＝yi－i，所以1＝－0.34，2＝0.03，3＝0.5，4＝0.27，5＝－0.46，则残差表如表所示，＝(2.2－5)2＋(3.8－5)2＋(5.5－5)2＋(6.5－5)2＋(7－5)2＝15.78，所以R2＝1－≈0.96>0.9，所以该线性回归模型的拟合效果良好．10．以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，将其变换后得到经验回归方程z＝0.2x＋3，则c，k的值分别是 (　　)A．e2，0.6 B．e2，0.3C．e3，0.2 D．e4，0.6C　[因为y＝cekx，所以等式两边同时取对数可得ln y＝ln (cekx)＝ln c＋ln ekx＝kx＋ln c．因为z＝ln y，所以上式可化为z＝kx＋ln c．因为z＝0.2x＋3，则k＝0.2，ln c＝3，所以c＝e3，k＝0.2．]11．某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如表所示：根据表中的数据可得经验回归方程＝2.27x－1.08，R2≈0.96，以下说法正确的是(　　)A．第三个样本点对应的残差3＝－1，回归模型的拟合效果一般B．第三个样本点对应的残差3＝1，回归模型的拟合效果较好C．销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的D．销售量y的多少有4%是由广告支出费用引起的C　[由题意得3＝7－(2.27×4－1.08)＝－1，由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故A，B错误；在线性回归模型中，R2表示解释变量对于响应变量的贡献率，R2≈0.96，则销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的，C正确，D错误．]12．已知变量y关于x的非线性经验回归方程为＝，其一组数据如表所示：若x＝5，则预测y的值可能为(　　)A．e5 B． C．e7 D．D　[将式子两边取对数，得到ln x－0.5，令x－0.5，列出x，的取值对应的表格如下：则＝＝2.5＝＝3.5，∵(x－0.5，∴3.5＝×2.5－0.5，解得＝1.6，∴＝e1.6x-0.5，当x＝5时，＝e1.6×5-0.5＝．]13．某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y与外来务工人员数x的经验回归方程为＝0.813 5x＋．该市对外来务工人员中选择留在当地过年的人员每人补贴1 000元，该市F区有10 000名外来务工人员，根据经验回归方程估计F区需要给外来务工人员中选择留在当地过年的人员的补贴总额为________万元．(参考数据：0.813 5×36≈29.29)818.6　[由题意得，＝＝3 600，＝＝2 980，因为经验回归直线一定过样本的中心点()，所以2 980＝0.813 5×3 600＋＝0.813 5x＋51．当x＝10 000时，＝0.813 5×10 000＋51＝8 186，所以估计补贴总额为8 186×0.1＝818.6(万元)．]14．耐盐碱水稻俗称“海水稻”，是一种可以长在滩涂和盐碱地的水稻．海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某试验基地为了研究海水浓度x(‰)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如表．绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量y与海水浓度x之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的经验回归方程为y＝x＋0.88．(1)求，并估计当浇灌海水浓度为8‰时该品种的亩产量；(2)①完成上述残差表；②统计学中常用决定系数R2来刻画回归效果，R2越大，模型拟合效果越好，如假设R2＝0.8，就说明预报变量y的差异有80%是由解释变量x引起的．请计算决定系数R2(精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由海水浓度引起的？附：残差公式i＝yi－i，决定系数．[解]　(1)经计算＝5＝0.48，由0.48＝5＝－0.08，当x＝8时，＝－0.08×8＋0.88＝0.24，所以当浇灌海水浓度为8‰时，该品种的亩产量约为0.24吨．(2)①由(1)知＝－0.08x＋0.88，从而有②R2＝1－＝1－＝≈0.98，所以亩产量的变化有98%是由海水浓度引起的．15．已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关，现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据，其散点图如图所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y和温度x可用方程y＝ebx＋a来拟合，令z＝ln y，结合样本数据可知：z与温度x可用经验回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：(1)求z关于温度x的经验回归方程(回归系数结果精确到0.001)；(2)求产卵数y关于温度x的经验回归方程；若该地区一段时间内的气温在26 ℃～36 ℃之间(包括26 ℃与36 ℃)，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围．(参考数据：e3.282≈27，e3.792≈44，e5.832≈341，e6.087≈440，e6.342≈568)附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其经验回归方程＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为[解]　(1)由z和温度x可以用经验回归方程拟合，设，＝3.537－0.255×27＝－3.348．∴z关于x的经验回归方程为＝0.255x－3.348．(2)由(1)可得ln y＝0.255x－3.348，于是产卵数y关于温度x的经验回归方程为＝e0.255x-3.348．当x＝26时，＝e0.255×26-3.348＝e3.282≈27；当x＝36时，＝e0.255×36-3.348＝e5.832≈341．∵函数＝e0.255x-3.348单调递增，∴气温在26 ℃～36 ℃之间时，该品种一只昆虫的产卵数的估计范围是[27，341]内的正整数．学习任务1．了解残差、残差图的概念．(数学抽象)2．会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果．(数学运算、数据分析)3．了解非线性回归模型，掌握对数函数模型、指数函数模型和幂函数模型的求解过程．(数学运算、数学建模)第x天14916253649高度y/cm0479111213x165165157170175165155170y4857505464614359x99.51010.511y1110865x1416182022y1210753yi－i00.3－0.4－0.10.2yi－4.62.6－0.4－2.4－4.4x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8yi－i0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi－－2.237－1.367－0.5370.4131.4132.313天数x/天123456繁殖个数y/个6122549951903.562.833.5317.5596.50512.04x123456z1.792.483.223.894.555.25时间x/min6080100120140150160170转化率y/%6.139.9915.0220.9231.1138.8547.2555.05x6080100120140150160170z (＝ln y)1.8132.3022.7093.0413.4383.6603.8554.008甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103x23456y2.23.85.56.57.0x23456yi－ix23456yi－i－0.340.030.50.27－0.46广告支出费用x2.22.64.05.35.9销售量y3.85.47.011.612.2x1234yee3e4e6x12341346地区A区B区C区D区E区外来务工人员数5 0004 0003 5003 0002 500留在当地过年的人数占比80%90%80%80%84%海水浓度xi/‰34567亩产量yi/吨0.620.580.490.40.31残差i海水浓度xi(‰)34567亩产量yi(吨)0.620.580.490.40.31残差i－0.020.020.010－0.0127743.53718211.946.418