新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.3二项式定理6.3.2二项式系数的性质教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.3.2　二项式系数的性质我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数．观察上图，你发现上下两行有什么关系？你能发现其他规律吗？知识点　二项式系数的性质(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即＝＝＝．(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数随k的增加而增大．由对称性知，当k>时随k的增加而减小，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和①＋＋＋…＋＝2n；②＋＋＋…＝＋＋(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和与a，b的值无关，因此可在展开式中令a＝1，b＝1得到．二项式的系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗？[提示]　不一定．如果项的系数中还有其他的常数，则该项的系数不一定最大．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)二项展开式的二项式系数和为＋． (　　)(2)二项展开式中项的系数是先增后减的． (　　)(3)(3x＋2)5的展开式的二项式系数和为25＝32． (　　)(4)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则n等于________．10　[由题意，得第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，所以＝，由组合数的性质，得n＝10．]3．在(a＋b)n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则n等于________．10　[在(a＋b)n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，即中间项的二项式系数最大，所以＋1＝6，解得n＝10．]4．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数的和为________．1　64　[令x＝1，得各项系数的和为1；各二项式系数之和为26＝64．]类型1　求展开式的系数和【例1】　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7．计算：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|．[解]　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1， ①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37． ②(1)令x＝0得a0＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2．(2)由(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094．(3)法一：(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7不大于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093＋1 094＝2 187．法二：∵|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37＝2 187．[母题探究](变设问)在本例条件不变的情况下，求下列各项的值．(1)a2＋a4＋a6；(2)a1＋2a2＋3a3＋…＋7a7．[解]　(1)由得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝37－1，∴a0＋a2＋a4＋a6＝．∵a0＝＝1，∴a2＋a4＋a6＝－1＝1 092．(2)∵(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，∴两边分别求导得－14(1－2x)6＝a1＋2a2x＋…＋7a7x6，令x＝1，得－14＝a1＋2a2＋…＋7a7，∴a1＋2a2＋…＋7a7＝－14．　二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)一般地，若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝…＝．[跟进训练]1．已知(x＋1)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023·x2 023，则a0＋a1＋a2＋…＋a1 011＝(　　)A．22 023　　　　　 B．22 022C．21 011 D．21 012B　[因为(x＋1)2 023＝x2 023＋·x2 022＋…＋x2 023-k＋…＋x2 023＋a2 022x2 022＋…＋a1x＋a0，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝22 023，所以a0＋a1＋…＋a1 011＝×22 023＝22 022．]2．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．－15　[令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1． ①又Tk＋1＝(－3)4-k(2x)k，所以当k＝4时，x4的系数a4＝16． ②由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15．]类型2　二项展开式中系数的最值问题　二项式系数最大问题【例2】　已知的展开式中没有比第10项的二项式系数更大的项，求第5项．[解]　依题意，的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝n-k·，当n为偶数时，只有第10项的二项式系数最大，即＋1＝10，则n＝18，此时T5＝18-4＝3 060x4．当n为奇数时，第10，11项的二项式系数最大或第9，10项的二项式系数最大，即＝10或＝9，解得n＝19或n＝17．当n＝19时，T5＝19-4；当n＝17时，T5＝17-4．综上，当n＝18时，第5项为3 060x4；当n＝19时，第5项为；当n＝17时，第5项为．　二项式系数最大问题的切入点当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项的二项式系数最大．　展开式系数最大问题【例3】　的展开式中，(1)系数绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项．[解]　展开式的通项Tk＋1＝·8-k·．(1)设第k＋1项系数的绝对值最大，则∴解得5≤k≤6，即k＝5和k＝6．故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．(2)∵n＝8，∴二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T5＝＝1 120x-6．(3)法一：由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最大的项必是奇数项．设展开式中第k＋1(k为偶数)项的系数最大，则解得，则k＝6，故展开式中系数最大的项为T7＝·26·x-11＝1 792x-11．法二：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正，故系数最大的项为T7＝·26·x-11＝1 792x-11．(4)法一：由于展开式中各项的系数正负相间，因此系数最小的项必是偶数项．设展开式中第k＋1(k为奇数)项的系数最小，则解得，则k＝5，故展开式中系数最小的项为T6＝．法二：由(1)知展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，且第6项的系数为负，第7项的系数为正，故系数最小的项为T6＝．　求项的系数的最值问题的思路求展开式中有关系数最大的问题时，要区分“项的系数最大”与“二项式系数最大”以及“最大项”等．因此，在系数均为正的前提下，求项的系数的最大值只需比较两组相邻两项系数的大小，根据展开式的通项正确地列出不等式(组)即可，即设第k＋1项的系数最大(或最小)，则(或．提醒：系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当项的系数与二项式系数相等时，二者才一致．[跟进训练]3．在(3x－2y)20中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项．[解]　(1)二项式系数最大的项是第11项．T11＝·310·(－2)10x10y10＝·610·x10y10．(2)设系数绝对值最大的项是第r＋1项，于是化简得解得7．因为r∈N*，所以r＝8，即T9＝·312·28x12y8是系数绝对值最大的项．(3)由于系数为正的项为奇数项，且第9项的系数的绝对值最大，所以T9＝·312·28x12y8是系数最大的项．类型3　二项式定理的应用　整除及余数问题【例4】　(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n-1(n∈N*)能被31整除；(2)求S＝＋＋…＋除以9的余数．[思路导引]　[解]　(1)[证明]　∵1＋2＋22＋…＋25n-1＝＝25n－1＝32n－1＝(31＋1)n－1＝×31n＋×31n-1＋…＋×31＋－1＝×31n-1＋×31n-2＋…＋)，显然×31n-1＋×31n-2＋…＋为整数，∴原式能被31整除．(2)S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－×98－×97＋…＋－2．∵×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7．　(1)利用二项式定理解决整除性问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般要将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开．此时常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来处理．(2)求余数时，其结果不能为负值．　利用二项式定理近似计算【例5】　求1.9975精确到0.001的近似值．[思路导引]　—[解]　1.9975＝(2－0.003)5≈25－×0.003×24＋×0.0032×23＝32－0.24＋0.000 72≈31.761．　(1＋a)n的近似计算的处理方法如下：当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1＋a)n≈1＋na，因为这时展开式的后面部分a2＋a3＋…＋an很小，所以可以忽略不计．但是使用这个公式时应注意a的条件，以及对精确度的要求．若精确度要求较高，则可使用更精确的近似公式(1＋a)n≈1＋na＋a2等．[跟进训练]4．5151被7除的余数是________．1　[由5151＝(49＋2)51＝4951＋4950×2＋…＋49×250＋251知，除251项外，其余项都能被7整除．又251＝(23)17＝(7＋1)17＝717＋716＋…＋716＋715＋…＋＋，知余数为1．]1．在(3－5x)7的展开式中，二项式系数的最大值为(　　)A． B．C． D．－B　[(3－5x)7的展开式中共有8项，中间的两项为第4项和第5项，这两项的二项式系数相等且最大，为＝．]2．(2－x)6的展开式中的二项式系数最大的项的系数为(　　)A．－160 B．160C．60 D．240A　[因为(2－x)6的展开式有7项，所以第4项的二项式系数最大，所以(2－x)6的展开式中的二项式系数最大的项为＝－160x3．]3．233除以9的余数是(　　)A．8 B．7 C．6 D．5A　[233＝811＝(9－1)11＝×911－×910＋×99－…＋×9－，因为除最后一项－1外，其余各项都能被9整除，故余数为9－1＝8．]4．的展开式中各项的二项式系数之和为______；各项的系数之和为______．256　　[展开式中各项的二项式系数之和为28＝256，各项的系数之和为．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．怎样确定二项式系数的最大值？[提示]　n为偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；n为奇数时，展开式中间两项的二项式系数最大．2．在项的系数均为正的前提下怎样求项的系数的最大值？[提示]　设第k＋1项的系数最大，则课时分层作业(九)　二项式系数的性质一、选择题1．如果的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是(　　)A．0　　　B．256　　　C．64　　　D．D　[由已知得即5