新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理在数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题．例如：(1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集？(2)由3个数字组成的密码锁，如图所示，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁？知识点1　分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 定义中每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事．1．若完成一件事情有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？[提示]　共有m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．知识点2　分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． (1)完成这件事有多个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺一不可；(2)每一步都有若干种方法．2．分类加法计数原理每一类中的方法与分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别？[提示]　分类加法计数原理每一类中的方法可以完成这件事，而分步乘法计数原理中每一步的方法不能独立完成这件事．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (　　)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． (　　)(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． (　　)(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×[提示]　(1)在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．(2)在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这件事．(3)因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．(4)因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为________种．9　[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．]3．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为________种．12　[先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．]4．如图，从A→B→C有________种不同的走法；从A→C有________种不同的走法．4　6　[A→B→C分两步：第一步，A→B，有2种走法；第二步，B→C，有2种走法．所以A→B→C共有2×2＝4(种)走法．A→C分两类：第一类，A→B→C共有4种走法；第二类，A→C(不经过B)有2种走法．所以A→C共有4＋2＝6(种)走法．] 类型1　分类加法计数原理【例1】　(源自湘教版教材)某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目．(1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？(2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？[解]　 (1)当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类：第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目；第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目；第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目．根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看12＋10＋46＝68(个)不同的节目．(2)因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道(共有(12＋10＋46－3)个)正在播放互不相同的节目，所以，一台电视机共可以选看1＋(12＋10＋46－3)＝66(个)不同的节目．　用分类加法计数原理解决计数问题时，首先要根据问题的特点确定一个适当的分类标准，然后根据这个分类标准进行分类．分类时还要注意两条基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须分入相应的类；二是不同类的方法必须是互不相同的．只有满足这两条基本原则才可以使计数不重不漏．[跟进训练]1．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，那么电路不通时焊接点脱落的不同情况有(　　)A．9种 B．11种C．13种 D．15种C　[按照可能脱落的个数分类讨论．若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况；若脱落2个，则有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种情况；若脱落3个，则有(1，2，3)，(1，2，4)，(2，3，4)，(1，3，4)，共4种情况；若脱落4个，则有(1，2，3，4)，共1种情况；综上，共有2＋6＋4＋1＝13(种)情况．]2．设集合A＝{1，2，3，4}，m，n∈A，则方程＝1表示焦点位于x轴上的椭圆有(　　)A．6个 B．8个C．12个 D．16个A　[因为椭圆的焦点位于x轴上，所以m>n．当m＝4时，n＝1，2，3；当m＝3时，n＝1，2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个)．] 类型2　分步乘法计数原理【例2】　已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：(1)P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？(2)P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？[解]　(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种方法；第二步确定b的值，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，得到P(a，b)可表示平面上6×6＝36(个)不同的点．(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，因为a0，所以有2种方法．由分步乘法计数原理，得到P(a，b)可表示平面上3×2＝6(个)第二象限的点．[母题探究]1．(变结论)若本例条件不变，P(a，b)可表示多少个不在直线y＝x上的点？[解]　依题意a≠b，第一步确定a有6种方法，第二步确定b有5种方法．由分步乘法计数原理，不在直线y＝x上的点P(a，b)共有6×5＝30(个)．2．(变条件，变结论)从集合M中的六个数字中任选三个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数a，b，c，则可以组成多少条不同的抛物线？[解]　解答本题需分三步完成，第一步选系数a(a不能为0)，有5种选法． 第二步选系数b，有5种选法． 第三步选系数c，有4种选法．根据分步乘法计数原理得组成抛物线的条数为5×5×4＝100．　利用分步乘法计数原理的注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的． (2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．(3)若完成某件事情需要n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．[跟进训练]3．通信公司在某一段时间内向市场投放一批手机号码，这一批号码(共11位数字)的前七位是统一的，后四位都是0～9之间的一个数字，那么这一号段共有多少个不同的号码？[解]　后四位中的每一位都可以从0～9这10个数字中任选一个，都有10种选法．根据分步乘法计数原理，可依次确定手机号码的第八、九、十、十一位，那么这一号段共有10×10×10×10＝10 000(个)不同的号码． 类型3　两个计数原理的简单应用【例3】　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．(1)从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？[思路导引]　(2)(3)—[解]　(1)分为三类：从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理知共有5＋2＋7＝14(种)不同的选法．(2)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70(种)不同的选法．(3)分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10(种)不同的选法；第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35(种)不同的选法；第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14(种)不同的选法，所以共有10＋35＋14＝59(种)不同的选法．　利用两个计数原理的解题策略用两个计数原理解决具体问题时，首先，要分清是“分类”还是“分步”，区分分类还是分步的关键是看这种方法能否独立地完成这件事情；其次，要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，即“先分类后分步”或“先分步后分类”．[跟进训练]4．某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人，高三年级9人．(1)若选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)若每个年级各选一人为组长，有多少种不同的选法？(3)若选两人作为社团发言人，这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？[解]　(1)根据题意，选其中一人为负责人，可分为3类．第1类：选出的是高一学生，有13种选法；第2类：选出的是高二学生，有12种选法；第3类：选出的是高三学生，有9种选法．由分类加法计数原理可得，共有13＋12＋9＝34(种)选法．(2)根据题意，共分为3步．第1步：从高一学生中选出1人，有13种选法；第2步：从高二学生中选出1人，有12种选法；第3步：从高三学生中选出1人，有9种选法．由分步乘法计数原理可得，共有13×12×9＝1 404(种)选法．(3)根据题意，可分为3类．第1类：选出的是高一、高二学生，有13×12＝156(种)选法；第2类：选出的是高一、高三学生，有13×9＝117(种)选法；第3类：选出的是高二、高三学生，有12×9＝108(种)选法．由分类加法计数原理可得，共有156＋117＋108＝381(种)选法．1．家住A地的小明同学准备周末去B地旅游，从A地到B地一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次，则小明乘坐这些交通工具去B地的不同方法有(　　)A．240种　B．180种　C．120种　D．90种D　[根据分类加法计数原理，共有30＋20＋40＝90(种)不同方法．]2．现有3名老师、8名男学生和5名女学生共16人．若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为(　　)A．39 B．24 C．15 D．16A　[先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39．]3．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，若三位同学对选取的礼物都满意，则不同的选法有(　　)A．30种 B．50种C．60种 D．90种B　[①若甲同学选择牛，则乙同学有2种选择，丙同学有10种选择，不同的选法种数为2×10＝20；②若甲同学选择马，则乙同学有3种选择，丙同学有10种选择，不同的选法种数为3×10＝30．综上，总共有20＋30＝50(种)不同的选法．故选B．]4．从2，3，5，7，11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______________________________________________，其中真分数的个数是________．20　10　[产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20(个)分数．产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3，5，7时，真分数的个数分别是3，2，1，共有4＋3＋2＋1＝10(个)真分数．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．分类加法计数原理的最主要特点是什么？[提示]　各类中的每一种方法都可以单独完成一件事．2．应用分类加法计数原理需遵循的原则是什么？[提示]　标准明确、不重不漏．3．区分“完成一件事”是分类还是分步的关键是什么？[提示]　关键看一步能否完成这件事，若能完成则是分类，否则，就是分步．课时分层作业(一)　分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有(　　)A．24种　　B．16种　　C．12种　　D．10种C　[完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个、第3个、第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得，共有3＋3＋3＋3＝12(种)不同的行车路线，故选C．]2．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y0时，方程＝1表示圆，故有3个，选项A正确；当m≠n且m，n>0时，方程＝1表示椭圆，焦点在x，y轴上的椭圆分别有3个，故有3×2＝6(个)，选项B正确，D正确；当mn