四川省南充市南充高级中学2024届高三第二次模拟数学（理）试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合，根据并集的定义写出.
【详解】，
.
故选：D.
2. 复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数运算化简复数，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
【详解】，其共轭复数为，
在复平面内对应的点所在的象限为第二象限．
故选：B．
3. 在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质.竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了.竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等.现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（ ）
A 5.4B. 6.3C. 7.2D. 13.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列性质得，进一步利用进行求解即可．
【详解】为等差数列，
，故
．
故选：C．
4. 已知都是第二象限角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据两者之间的推出关系可得正确的选项.
【详解】若，则即，
而都是第二象限角，故，故，
故“”是“”的充分条件.
若，因为都是第二象限角，故，
所以即，
故“”是“”的必要条件，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
5. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换得，再解方程求解可得答案．
【详解】函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，，
令，，
则，，或，，
即，，或，，
可得，，，，
，，，，
相邻交点距离的最小值为．
故选：A．
6. 设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中点线面的位置关系，借助于正方体，逐项分析即可.
【详解】
对于A,如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故A错误；
对于B，因为，，α、β是不同的平面，则必有，
故B正确；
对于C，如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故C错误；
对于D，如上图正方体中，设平面为，
为，为，
则满足，，此时，故D错误.
故选:B.
7. 已知函数的局部图象如图所示，则的解析式可以是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，根据奇偶性和在时的函数值正负可排除.
【详解】由图可得的图象关于轴对称，即为偶函数，
其中A选项，，故为奇函数，与图象不符，故排除A；
C选项，，故为奇函数，与图象不符，故排除C；
B选项，当时，，，则，与图象不符，故排除B.
故选：D.
8. 的外接圆的圆心为O，半径为1，，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简，可得，则共线，由均在圆上，且为圆心，故为直径，求得，利用数量积的几何意义可得结果,.
【详解】
因为，所以，
所以，
所以，
所以共线，
因为均在圆上，且为圆心，故为直径，长度为2，在圆上直径所对的角为直角，所以，
因为，所以，
又因为，所以
，如图所示．
所以向量在向量方向上的投影为.
【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．
9. 甲乙两位游客慕名来到百色旅游，准备分别从凌云浩坤湖、大王岭原始森林、靖西鹅泉和乐业大石围天坑4个景点中随机选择其中一个，已知甲和乙选择的景点不同，则甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合古典概型概率公式和排列组合公式，即可求解.
【详解】则甲和乙恰好一人选择乐业大石围天坑的概率.
故选：C
10. 过双曲线的左焦点F作的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限交于点A，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取线段中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.
【详解】令双曲线的右焦点为，半焦距为c，取线段中点，连接，

因为切圆于，则，有，
因为，则有，，
而为的中点，于是，即，，
在中，，整理得，
所以双曲线E的离心率.
故选：C
11. 设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，发现为奇函数，从而可得的对称中心为，得到，再通过求导可得与在R上单调递增，继而求解不等式即可.
【详解】设，
由，得，
所以为奇函数，
而，
则其图象是的图象向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度得到的，
所以的对称中心为，所以，
因为，所以，
可得，当且仅当时等号成立，
而，则，
所以恒成立，即在上单调递增，
所以在R上单调递增，
因为 ，
得，
所以，解得.
故选：B.
【点睛】本题关键是通过构造函数，利用其奇偶性结合函数图象的平移和函数的导数与单调性的关系即可得到，
即，解出即可.
12. 已知数列：1，1，2，3，5，8，13，……这个数列从第3项起，每一项都等于前两项之和，记前项和为. 给出以下结论：①，②，③，④.其中正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得，且时，，运用累加法，结合数列的递推式，对各个选项一一判断，可得结论．
【详解】对于①，由，且时，，
可得
，故①错误；
对于②，
，故②错误；
对于③，
，故③错误；
对于④，
，故④正确．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推式和累加法的运用，关键是反复利用并项及累加得出结论.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知实数满足约束条件，则的最小值为__________ .
【答案】13
【解析】
【分析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，即可求出的最小值．
【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示：
平移目标函数，当过点时，取得最小值，
由，得，
所以的最小值为．
故答案为：13．
14. 已知数列，满足，且，是函数的两个零点，则___．
【答案】64
【解析】
【分析】由，是函数的两个零点，可得，进而由递推关系依次求解数列的项结合即可得解.
【详解】由，是函数的两个零点，可得.
由，得，.
.
故答案为64.
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，采用的方法数一一列举的方式呈现规律，属于中档题.
15. 已知直线l过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为椭圆上一个动点，则的最大值为___________.
【答案】32
【解析】
【分析】求出圆心坐标，结合平面向量的运算推出，再由椭圆性质即可得解．
【详解】由题意，圆，
所以设圆心，半径为2，
因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，
所以，
故，
又为椭圆上一个动点，易知为椭圆的左焦点，
故当点位于椭圆右顶点时，最大，
此时，
则的最大值为．
故答案为：32．
16. 已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】将沿折起后，取中点为，连接，，得到，在中由余弦定理求出的长，进一步求出的长,分别记三角形与的重心为、，记该几何体的外接球球心为，连接，，证明与全等，求出，再推出，连接，由勾股定理求出，即可得出外接球的表面积.
【详解】将沿折起后，取中点为，连接，，
则，，
可知即为二面角的平面角，即；
设，则，
在中，由余弦定理可得：，
即 解得，
即，可得，
所以与是边长为的等边三角形，
分别记三角形与的重心为、，
则，；；
因为与都是边长为2的等边三角形，
所以点是的外心，点是的外心；
记该几何体的外接球球心为，连接，，
根据球性质，可得平面，平面，
所以与都是直角三角形，且为公共边，
所以与全等，因此，
所以；
因为，，，平面，
所以平面；
又平面，所以，
连接，则外接球半径为，
所以外接球表面积为.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分
17. 2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹.某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异.在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图，利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率.
（1）当临界值时，求漏诊率和误诊率；
（2）从指标在区间样本中随机抽取2人，求恰好一人是患病者一人是未患病者的概率.
【答案】（1）0.1，0.05
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；
（2）利用频率分布直方图的特点，再利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，．
【小问2详解】
样本中患病者在指标为区间人数是，记为；未患病者在指标为区间的人数是，记为，总人数为5人．
从5人中随机抽取2人有：，共10种情况
抽取的两人恰好一人是患病者一人是未患病者有，共6种情况
故抽取的两人恰好一人是患病者一人是未患病者概率为.
18. 在①；②；③；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
（1）求；
（2）若的面积为，D为AC的中点，求BD的最小值.
【答案】（1）条件选择见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得即可求解；
（2）由面积得，结合余弦定理和基本不等式求最值.
【小问1详解】
若选择①：，
由正弦定理可得，
因，,故，，
则有，因,故.
若选择②：，
则，
由正弦定理可得，
故，
因,故.
若选择③ ；
由正弦定理可得，，
再由余弦定理得，，即，
，．
【小问2详解】
，又，
在三角形BCD中，，
，
当且仅当时取等号，
的最小值为．
19. 已知多面体中，，且，，.
（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合余弦定理先利用线面垂直的判定定理证出平面，再由线面垂直的性质定理即可得证；
（2）利用向量法直接求解二面角的余弦值即可.
【小问1详解】
如图所示，连接，，
在中，，，，
，
所以可得，即，
同时，可得，同理可得，
又平面，平面，
且，所以平面；
又因为平面，所以．
【小问2详解】
在中，，且，
即，所以，同时，，
以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，
建立空间直角坐标系如图．其中，
所以，
设向量为平面的法向量，
满足，即，
不妨令，则，故，
设向量为平面的法向量，
满足，即，
不妨令，则，故，
所以，
由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
20. 已知函数有三个极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意转化为有三个不等的实数根，再参数分离为，转化为与有三个交点，利用导数分析函数的图象，即可求解；
（2）首先由，转化为，，再通过构造函数，利用导数求的取值范围，再根据的单调性求参数的取值范围.
【小问1详解】
函数有三个极值点
则有三个不等实根
即方程有三个不等实根，
令，则，
由得，由得或
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，令，则，
令，则
令，则，
即，，故
在上单调递增，所以.
【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是根据的单调性，转化为求的取值范围.
21. 已知点是抛物线上的定点，点是上的动点，直线的斜率分别为，且，直线是曲线在点处的切线.
（1）若，求直线的斜率；
（2）设的外接圆为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
【答案】（1）
（2）相切，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先求出点的坐标，设出点的方程，结合直线的斜率公式表示出，结合即可求解；
（2）结合导数的几何意义可表示抛物线在点出的切线斜率，结合直线垂直关系求出的垂直平分线方程，然后求出圆心坐标，结合直线的斜率与位置关系即可求解.
【小问1详解】
若，则，即点的坐标为,
设，则，
同理得
由已知得
直线的斜率
【小问2详解】
由得，其导函数，
抛物线在点处的切线的斜率，
又
，
所以，
由（1）知线段的中点坐标分别为:
，,
线段的中垂线方程为 ①
同理可得线段的中垂线方程为 ②
由①②消去得
即
代入①得
外接圆的圆心坐标为
则直线的斜率
，即，故直线与圆相切.
（二）选考题：共10分. 考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标系方程；
（2）曲线分别交曲线和曲线于点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据消参法可得普通方程，进而根据极坐标与直角坐标的互化即可求解，
（2）根据极坐标方程可得，进而根据三角函数的性质求解.
【小问1详解】
根据消参可得曲线的普通方程为，即，
曲线的极坐标方程为，即.
【小问2详解】
，
令，则.
又，
，
，
则的取值范围为.
23. 已知函数，.
（1）当 时，解不等式；
（2）若存在满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，则，分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；
（2）分析可知，不等式有解，利用绝对值三角不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.
【小问1详解】
解：当时，，
当时，则，解得，此时，；
当时，则，解得，此时，；
当时，则，解得，此时，.
综上所述，不等式的解集为.
【小问2详解】
解：若存在满足，等价于有解，
由三角不等式可得，
当且仅当时，等号成立，
只需即可，即，解得.
因此，实数的取值范围是.