2024高考数学二轮复习压轴题型分类专练（新高考用）-专题06概率与统计（含解析）

这是一份2024高考数学二轮复习压轴题型分类专练（新高考用）-专题06概率与统计（含解析），共23页。试卷主要包含了6，乙每次投篮的命中率均为0，841，635，5%等内容，欢迎下载使用。
专题06 概率与统计
（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，2，，，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
（2023•新高考Ⅱ）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为（c）；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为（c）．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率（c）时，求临界值和误诊率（c）；
（2）设函数（c）（c）（c）．当，，求（c）的解析式，并求（c）在区间，的最小值．
（2022•新高考Ⅰ）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1）能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”， 表示事件“选到的人患有该疾病”， 与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出，的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出的估计值．
附：．
（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率；
（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为，该地区年龄位于区间，的人口占该地区总人口的．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ．
（2023•上海）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件为小明取到红色外观的模型，事件为小明取到棕色内饰的模型，求（B）和，并判断事件和事件是否独立；
（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：
假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；
假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；
假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；
请你分析奖项对应的结果，设为奖金额，写出的分布列并求出的数学期望．
（2023届四省联考）一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．
（1）若，求的数学期望；
（2）已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）．
（2023•海南·昌江县二模）摆地摊的某摊（赌）主拿了8个白的，8个黑的围棋子放在一个口袋里，并规定凡愿意摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，中彩情况如下：
（1）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求获得彩金20元的概率；
（2）某人交一元钱作手续费，然后一次从口袋摸出5个棋子，求无任何奖品的概率；
（3）按每天摸彩1000次统计，赌主可望净赚约多少钱？
（2023•广州•模拟）世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动．已知A社区有56%的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有65%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有70%的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为5：6：9．
（1）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
（2）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且X～N（5.5，σ2）．现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率．
（2023•福建晋江·校级模拟）某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制，积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．
（1）在一场比赛中，甲的积分为X，求X的概率分布列；
（2）求甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率．
（2023•海淀区校级三模）人工智能（AI）是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某校成立了A，B两个研究性小组，分别设计和开发不同的AI软件用于识别音乐的类别：“古典音乐”、“流行音乐”、“民族音乐”．为测试AI软件的识别能力，计划采取两种测试方案．
方案一：将100首音乐随机分配给A，B两个小组识别，每首音乐只被一个AI软件识别一次，并记录结果；
方案二：对同一首音乐，A，B两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过．
（Ⅰ）若方案一的测试结果显示：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，A组占；在错误识别的音乐数中，B组占．
（ⅰ）用频率估计概率，两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为多少？
（ⅱ）利用（ⅰ）中的结论，求方案二在一次测试中获得通过的概率；
（Ⅱ）若方案一的测试结果如下：
在A小组、B小组识别的歌曲中各任选一首，记X1，X2分别为A小组、B小组正确识别的数量，试比较E（X1）和E（X2）的大小．（直接写出结果即可）
（2023•陕西西安·校级模拟）为弘扬奥林匹克精神，普及冰雪运动知识，助力2022年冬奥会和冬残奥会，某校组织全体学生参与“激情冰雪﹣相约冬奥”冰雪运动知识竞赛．从参加竞赛的学生中，随机抽取若干名学生的竞赛成绩，均在50到100之间，将样本数据分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并将成绩绘制得到如图所示的频率分布直方图．已知成绩在区间70到90的有60人．
（1）求样本容量，并估计该校本㳄竞赛成绩的中位数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）全校学生有1000人，抽取学生的竞赛成绩的标准差为11，用频率估计概率，记全校学生的竞赛成绩的标准差为σ，估计全校学生中竞赛成绩在内的人数．
（2023•湖南·统考模拟）民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．
（1）请完成答题卡上的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析“编织巧手”与“年龄”是否有关；
（2）为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
参考数据：
（2023·福建厦门·校考一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.

表中：，
(1)根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y关于时间x的回归方程；
(2)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
（2）参考数据：，，，，
（2023·江西景德镇·模拟阶段）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
（1）求的分布列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求的期望.
（2024·北京·校考阶段练习）离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，．指标可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为．设．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值；
(3)对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件
题型训练
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3
摸棋子
5个白
4个白
3个白
其它
彩金
20元
2元
纪念品（价值5角）
同乐一次（无任何奖品）
音乐类别
A小组
B小组
测试音乐数量
正确识别比例
测试音乐数量
正确识别比例
古典音乐
10
40%
24
50%
流行音乐
10
40%
20
50%
民族音乐
20
80%
16
87.5%
“编织巧手”
非“编织巧手”
总计
年龄≥40岁
19
_____
_____
年龄＜40岁
_____
10
_____
总计
_____
_____
40
α
0.100
0.050
0.010
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
73.5
3.85
答案&解析
【1】
【解析】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为，
由题意得；
（2）由题意设为第次投篮的是甲，
则，
，
又，则是首项为，公比为0.4的等比数列，
，即，
第次投篮的人是甲的概率为；
（3）由（2）得，
由题意得甲第次投篮次数服从两点分布，且，
，
当时，；
当时，，
综上所述，，．
【2】
【解析】（1）当漏诊率（c）时，
则，解得；
（c）；
（2）当，时，
（c）（c）（c），
当，时，（c）（c）（c），
故（c），
所以（c）的最小值为0.02．
【3】
【解析】（1）补充列联表为：
不够良好
良好
合计
病例组
40
60
100
对照组
10
90
100
合计
50
150
200
计算，
所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）证明：；
（ⅱ）利用调查数据，，，，，
所以．
【4】
【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的频率为：
，
估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间，的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间，为事件，此人患这种疾病为事件，
则．
【5】
【解析】（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率（A），
若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率（B）．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即，
则．
（A）（B），（A）（B），
即事件和事件不独立．
（2）由题意知，300，150，
则外观和内饰均为同色的概率、
外观和内饰都异色的概率、
仅外观或仅内饰同色的概率，
，
，，，
则的分布列为：
150
300
600
则（元．
【6】
【解析】（1）依题意X服从超几何分布，且，故．
（2）当时，，当时，，记，则．由，当且仅当，则可知当时，；当时，，故时，最大，所以N的估计值为6666．
【7】
【解答】解：（1）获得彩金20元的概率为；
（2）无任何奖品的概率为；
（3）中2元的概率，中5角的概率，
按摸彩1000次统计，赌主可望净赚的钱数．
【8】
【解答】解：（1）设这3个社区的人数分别为5x，6x，9x，
则A，B，C社区超过5h的人数分别为5x×56%＝2.8x，6x×65%＝3.9x，9x×70%＝6.3x，
故从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率P＝＝；
（2）因为X～N（5.5，σ2），
所以P（X＞5.5）＝，
由（1）P（X＞5）＝0.65，
故P（5＜X＜5.5）＝0.15，
所以P（5＜X＜6）＝0.3，P（X≥6或X≤5）＝0.7，
故从这三个社区中随机抽取3名居民，至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率P＝+0.33＝0.216．
【9】
【解答】解：（1）由题意可知，X可能取值为0，1，2，3，
当X＝0时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，
则P（X＝0）＝（1﹣）3+××（1﹣）2（1﹣）＝，
当X＝1时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，
则P（X＝1）＝×（）2×（1﹣）2（1﹣）＝；
当X＝2时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，
则P（X＝2）＝×（）2（1﹣）2×＝，
当X＝3时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，
则P（X＝3）＝（）3+×（）2（1﹣）×＝，
故X的概率分布列如下：
X
0
1
2
3
P
（2）设甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为事件A，
则甲的三场比赛积分分别为1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故P（A）＝3×××+×××+3×××＝，
故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分为．
【10】
【解答】解：（Ⅰ）（i）对于方案一，设A、B两个研究性小组的AI软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为P1、P2，
100首音乐中，正确被识别的数量为首，错误被识别数量为100﹣60＝40首，
其中A组识别正确的数量为首，B组识别正确的数量为60﹣40＝20首，
其中A组识别错误的数量为 首，B组识别错误的数量为 首，
故 ，．
（ii）记事件D：方案二在一次测试中获得通过，则P（D）＝（）2××（）2+×××（）2+（）2×（）2＝．
（Ⅱ）由题意可知，A小组识别正确的歌曲数量为首，
B小组识别正确的歌曲数量为首，
由题意可知，X1、X2均服从超几何分布，且X1～H（3，24，40），X2～H（3，36，60），
根据超几何分布的期望公式可得，，
因此，E（X1）＝E（X2）．
【11】
【解答】解：（1）设样本容量为n，则，
得n＝100，样本容量为100，
设本次竞赛成绩的中位数为x，
则0.08+0.2+（x﹣70）×0.032＝0.5，得x＝76.875，
抽取的学生竞赛成绩的平均数；
（2），，
则抽取学生在内的频率为（70﹣65.6）×0.02+0.32+（87.6﹣80）×0.028＝0.6208，
全校学生有1000人，竞赛成绩在内的人数1000×0.6208＝620.8≈621．
【12】
【解答】解：（1）年龄在40周岁以上（含40周岁）的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．列联表如下：
“编织巧手”
非“编织巧手”
总计
年龄≥40岁
19
5
24
年龄＜40岁
6
10
16
总计
25
15
40
零假设为H0：“编织巧手”与“年龄”无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010；
（2）由题意可得这6人中年龄在40周岁以上（含40周岁）的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4．
从这6人中随机抽取2人的情况有种，
其中符合条件的情况有种，
故所求概率．
【13】
【答案】(1)②更适宜，；
(2)7.5min.
【分析】（1）根据散点图选择②，取对数，再利用最小二乘法公式求出回归直线方程即可.
（2）利用（1）中回归方程，列出关于的方程求解即得.
【详解】（1）由散点图知，更适宜的回归方程为②，即.
由，得，两边取自然对数，得，
令，则，
，
结合表中数据，得，
结合参考数据可得，由，得，
所以茶水温度y关于时间x的回归方程为.
（2）依题意，室温下，茶水温度降至口感最佳，
即，整理得，
于是，解得，
所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳引用口感.
【14】
解析：（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
0
1
2
（2）由全概率公式可知：
，
即：，所以，所以，
又，所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，所以，即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,又,所以,
所以,又,
所以,所以,所以,
所以.
【15】
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【详解】（1）不妨设，则.所以.
（2）当时，，记，则，令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，则单调递增，而，所以在为负数，在为正数，则在单调递减，在单调递增，所以的最小值为.
（3）令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，即，当且仅当时，等号成立，则当时，，所以，即，故，当且仅当对所有的时等号成立.