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浙教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.1 同底数幂的乘法（知识讲解）
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这是一份浙教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.1 同底数幂的乘法（知识讲解），共10页。
1.掌握正整数幂的同底数幂的乘法运算性质；
2.理解“底数不变，指数相加”的意义；
3.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【要点梳理】
运算法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
特别说明：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.或
【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法➽➼直接运用法则计算
1．计算
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）
【分析】运用同底数幂的乘法法则和整式的加减法法则计算即可得解.
解：（1）
（2）
；
（3）
=；
（4）
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握计算法则是解题关键.
举一反三：
【变式1】计算：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）0；（4）
【分析】根据同底数幂的乘法性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,逐一计算即可.
解：（1）
（2）
（3）
（4）.
【点拨】此题主要考查同底数幂的乘法性质，熟练掌握，即可解题.
【变式2】计算：
(x－y)2·(x－y)3·(y－x)2·(y－x)3； （2）(a－b－c)·(b＋c－a)2·(c－a＋b)3.
【答案】(1)－(x－y)10；(2)－(a－b－c)6.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可.
解：(1) (x－y)2·(x－y)3·(y－x)2·(y－x)3
＝－(x－y)2＋3＋2＋3
＝－(x－y)10.
(2) (a－b－c)·(b＋c－a)2·(c－a＋b)3
＝－(a－b－c)·(a－b－c)2·(a－b－c)3
＝－(a－b－c)6.
【点拨】本题考查的知识点是同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法.
类型二、同底数幂的乘法➽➼运用法则逆运算计算
2．已知，，求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据同底数幂乘法将其变形展开即可得；
（2）根据同底数幂乘法将其变形展开即可得；
（3）根据同底数幂乘法将其变形展开即可得；
解：（1）；
（2）；
（3）．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，能将同底数幂的乘法逆运用是本题的关键．
举一反三：
【变式1】(1)已知am＝2，an＝3，求am＋n的值；
(2)已知3x＋1＝81，求x.
【答案】(1) 6， (2) x＝3.
【分析】(1)用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加；
(2)逆用同底数幂的乘法法则，将3x＋1转化为3x×3，再求解.
解：(1) am＋n＝am·an＝2×3＝6.
(2) 因为3x＋1＝3x×3＝81，
所以3x＝27＝33.
所以x＝3.
【变式2】用简便方法计算：
（）； （）．
【答案】（）; （）．
分析：(1)先转化为同指数的幂相乘,再根据积的乘方的性质的逆用计算即可.(2)先进行乘方运算，再进行立方运算，即可得出结果.
解：(1)=;
(2)=(-9) ×(-9) ×(-9) ×(-)×=9×9×9××=8.
类型三、同底数幂的乘法➽➼科学记数法表示数的乘法
3．计算（结果用科学记数法表示）：
（1）8.4×﹣4.8×； (2)（5.2×）×（2.5×10）．
【答案】(1)﹣3.96×； (2) 1.3×
【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算即可；
（2）根据有理数乘法的交换律和结合律进行计算，然后将结果用科学记数法表示出来即可．
（1）解：原式＝（0.84﹣4.8）×＝﹣3.96×；
（2）解：原式＝（5.2×2.5）×（×10）＝13×＝1.3×．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？
【答案】这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．
试题分析：用每1千克镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量乘以地壳里含镭的总量即可.
解：3.75×105×1×1010＝3.75×1015(千克)．
答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．
【变式2】已知的氢气的质量用科学记数法表示约为，一块橡皮的质量为．
（1）用小数表示的氢气质量；
（2）这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？
【答案】（1）； （2）倍
【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；
（2）利用有理数除法运算法则求出答案即可．
解：（1）．
（2）．
故这块橡皮的质量是的氢气质量的倍．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数以及有理数除法等知识，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
类型四、同底数幂的乘法➽➼综合运算
4．（1）已知，求n的值．
（2）已知，其中a、b、c为正整数，求的值．
【答案】（1）1 （2）1024
【分析】（1）将变形为，将分别变形为，然后可计算，即可确定n的值；
（2）将3996分解质因数，分别求出a、b、c的值，然后代入计算的值即可．
解：（1）∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，，
∴
．
【点拨】本题主要考查了幂的乘方的逆运算以及代数式代入求值的知识，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】规定．求：
（1）；
（2）如果，求的值．
【答案】(1)9；(2)
【分析】（1）根据题意，计算有理数的乘方运算即可；
（2）根据题意利用有理数的乘方运算得出方程求解即可．
（1）解：
；
（2）∵，
∴，
即，
∴．
【点拨】题目主要考查有理数的乘方运算及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式2】爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若，且，、都是正整数），则，例如：若，则．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：
如果，求x的值；
如果，求x的值．
【答案】(1)x=5；(2)x=2
【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；
（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．
解：（1）因为2×4x×32x=236，
所以2×22x×25x=236，
即21+7x=236，
所以1+7x=36，
解得：x=5；
（2）因为3x+2+3x+1=108，
所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，
即3x+1=33，
所以x+1=3，
解得：x=2．
【点拨】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
中考真题专练
1．（2022·江苏淮安·中考真题）计算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法直接计算即可求解．
解：原式＝．
故选C．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若，则m的值为（ ）
A．8B．6C．5D．2
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法运算计算，即可求解．
解，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法运算，即（m、n为正整数），熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2022·浙江丽水·中考真题）计算的正确结果是（ ）
A．B．aC．D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算，即可判定．
解：，
故选：C．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握和运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
4．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可．
解：∵1兆＝1万×1万×1亿，
∴1兆＝，
故选：C．
【点拨】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键．
5．（2022·湖北随州·中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为a×10n的形式．
解：路程=．
故选：B．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
6．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（ ）
A．0.11B．1.1C．11D．11000
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．
故选：B．
【点拨】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数．解题的关键是关键知道1亿=108，要正确确定a的值以及n的值．
1.掌握正整数幂的同底数幂的乘法运算性质；
2.理解“底数不变，指数相加”的意义；
3.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【要点梳理】
运算法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
特别说明：
（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.或
【典型例题】
类型一、同底数幂的乘法➽➼直接运用法则计算
1．计算
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）；（2）0；（3）；（4）
【分析】运用同底数幂的乘法法则和整式的加减法法则计算即可得解.
解：（1）
（2）
；
（3）
=；
（4）
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握计算法则是解题关键.
举一反三：
【变式1】计算：
（1） （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）0；（4）
【分析】根据同底数幂的乘法性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,逐一计算即可.
解：（1）
（2）
（3）
（4）.
【点拨】此题主要考查同底数幂的乘法性质，熟练掌握，即可解题.
【变式2】计算：
(x－y)2·(x－y)3·(y－x)2·(y－x)3； （2）(a－b－c)·(b＋c－a)2·(c－a＋b)3.
【答案】(1)－(x－y)10；(2)－(a－b－c)6.
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可.
解：(1) (x－y)2·(x－y)3·(y－x)2·(y－x)3
＝－(x－y)2＋3＋2＋3
＝－(x－y)10.
(2) (a－b－c)·(b＋c－a)2·(c－a＋b)3
＝－(a－b－c)·(a－b－c)2·(a－b－c)3
＝－(a－b－c)6.
【点拨】本题考查的知识点是同底数幂的乘法，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘法.
类型二、同底数幂的乘法➽➼运用法则逆运算计算
2．已知，，求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据同底数幂乘法将其变形展开即可得；
（2）根据同底数幂乘法将其变形展开即可得；
（3）根据同底数幂乘法将其变形展开即可得；
解：（1）；
（2）；
（3）．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，能将同底数幂的乘法逆运用是本题的关键．
举一反三：
【变式1】(1)已知am＝2，an＝3，求am＋n的值；
(2)已知3x＋1＝81，求x.
【答案】(1) 6， (2) x＝3.
【分析】(1)用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加；
(2)逆用同底数幂的乘法法则，将3x＋1转化为3x×3，再求解.
解：(1) am＋n＝am·an＝2×3＝6.
(2) 因为3x＋1＝3x×3＝81，
所以3x＝27＝33.
所以x＝3.
【变式2】用简便方法计算：
（）； （）．
【答案】（）; （）．
分析：(1)先转化为同指数的幂相乘,再根据积的乘方的性质的逆用计算即可.(2)先进行乘方运算，再进行立方运算，即可得出结果.
解：(1)=;
(2)=(-9) ×(-9) ×(-9) ×(-)×=9×9×9××=8.
类型三、同底数幂的乘法➽➼科学记数法表示数的乘法
3．计算（结果用科学记数法表示）：
（1）8.4×﹣4.8×； (2)（5.2×）×（2.5×10）．
【答案】(1)﹣3.96×； (2) 1.3×
【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算即可；
（2）根据有理数乘法的交换律和结合律进行计算，然后将结果用科学记数法表示出来即可．
（1）解：原式＝（0.84﹣4.8）×＝﹣3.96×；
（2）解：原式＝（5.2×2.5）×（×10）＝13×＝1.3×．
【点拨】本题考查了有理数的混合运算，科学记数法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？
【答案】这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．
试题分析：用每1千克镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量乘以地壳里含镭的总量即可.
解：3.75×105×1×1010＝3.75×1015(千克)．
答：这些镭完全蜕变后放出的热量相当于3.75×1015千克煤放出的热量．
【变式2】已知的氢气的质量用科学记数法表示约为，一块橡皮的质量为．
（1）用小数表示的氢气质量；
（2）这块橡皮的质量是的氢气质量的多少倍？
【答案】（1）； （2）倍
【分析】（1）绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定；
（2）利用有理数除法运算法则求出答案即可．
解：（1）．
（2）．
故这块橡皮的质量是的氢气质量的倍．
【点拨】本题考查用科学记数法表示较小的数以及有理数除法等知识，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
类型四、同底数幂的乘法➽➼综合运算
4．（1）已知，求n的值．
（2）已知，其中a、b、c为正整数，求的值．
【答案】（1）1 （2）1024
【分析】（1）将变形为，将分别变形为，然后可计算，即可确定n的值；
（2）将3996分解质因数，分别求出a、b、c的值，然后代入计算的值即可．
解：（1）∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，，
∴
．
【点拨】本题主要考查了幂的乘方的逆运算以及代数式代入求值的知识，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．
举一反三：
【变式1】规定．求：
（1）；
（2）如果，求的值．
【答案】(1)9；(2)
【分析】（1）根据题意，计算有理数的乘方运算即可；
（2）根据题意利用有理数的乘方运算得出方程求解即可．
（1）解：
；
（2）∵，
∴，
即，
∴．
【点拨】题目主要考查有理数的乘方运算及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题关键．
【变式2】爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若，且，、都是正整数），则，例如：若，则．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题：
如果，求x的值；
如果，求x的值．
【答案】(1)x=5；(2)x=2
【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解；
（2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解．
解：（1）因为2×4x×32x=236，
所以2×22x×25x=236，
即21+7x=236，
所以1+7x=36，
解得：x=5；
（2）因为3x+2+3x+1=108，
所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33，
即3x+1=33，
所以x+1=3，
解得：x=2．
【点拨】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
中考真题专练
1．（2022·江苏淮安·中考真题）计算，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法直接计算即可求解．
解：原式＝．
故选C．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．
2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若，则m的值为（ ）
A．8B．6C．5D．2
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘法运算计算，即可求解．
解，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法运算，即（m、n为正整数），熟练掌握运算法则是解题的关键．
3．（2022·浙江丽水·中考真题）计算的正确结果是（ ）
A．B．aC．D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算，即可判定．
解：，
故选：C．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握和运用同底数幂的乘法法则是解决本题的关键．
4．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将1万表示成，1亿表示成，然后用同底数幂的乘法法则计算即可．
解：∵1兆＝1万×1万×1亿，
∴1兆＝，
故选：C．
【点拨】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键．
5．（2022·湖北随州·中考真题）2022年6月5日10时44分07秒，神舟14号飞船成功发射，将陈冬、刘洋、蔡旭哲三位宇航员送入了中国空间站．已知中国空间站绕地球运行的速度约为，则中国空间站绕地球运行走过的路程（m）用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出路程，再用科学记数法表示为a×10n的形式．
解：路程=．
故选：B．
【点拨】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
6．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（ ）
A．0.11B．1.1C．11D．11000
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012．
故选：B．
【点拨】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数．解题的关键是关键知道1亿=108，要正确确定a的值以及n的值．
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