备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题08 十字模型综合应用（专项训练）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。

专题08 十字架模型综合应用（专项训练）
1．正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，AE＝BF，AD＝AB，∠EAD＝∠B＝90°，
∴△ADE≌△BAF．
∴∠ADE＝∠BAF，∠AED＝∠BFA．
∵∠DAO+∠FAB＝90°，∠FAB+∠BFA＝90°，
∴∠DAO＝∠BFA，
∴∠DAO＝∠AED．
∴△AOD∽△EAD．
所以＝＝．
故选：D．
2．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF．你认为（ ）
A．仅小明对B．仅小亮对C．两人都对D．两人都不对
【答案】B
【解答】解：解法一：若MN＝EF，则必有MN⊥EF，这句话是正确的．
如图，∵EF＝MN，MH＝EG，
∴Rt△MHN≌Rt△EGF（HL），
∴∠EFG＝∠MNH，
又∵∠EFG＝∠ELM，
∴∠NMH+∠MNH＝∠NMH+∠EFG＝∠NMH+∠ELM＝90°，
∴∠MOL＝90°，
即MN⊥EF，但EF不仅仅是这一种情况，如将第一个图中的线段EF沿直线EG折叠过去，得到的EF′就是反例，此时有MN＝EF′，但是MN与EF′肯定不垂直，因此小明的观点是错误的；
解法二：若MN⊥EF，则MN＝EF这句话是对的；
分别把MN和EF平移，如图，
∠AMN＝∠AGD＝∠BFE＝∠DHC，
MN＝GD＝AD÷sin∠AGD，
EF＝HC＝CD÷sin∠DHC，
因此MN＝EF．
故选：B．
3．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
而CE＝DF，
∴AF＝DE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE，
∴AE＝BF，所以（1）正确；
∴∠ABF＝∠EAD，
而∠EAD+∠EAB＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连接BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
∴S△AOB＝S四边形DEOF，所以（4）正确．
故选：B．
4．正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则＝ ．
【答案】
【解答】解：∵AD＝AB，AE＝BF，∠DAE＝∠B＝90°；
∴△ADE≌△BAF（SAS）；
∴∠ADE＝∠OAE；
又∵∠OEA＝∠AED，
∴△OAE∽△ADE；
∴．
5．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确结论的序号有 ．
【答案】①③④
【解答】解：过点G作GH⊥AB，垂足为H，交AE于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠DAB＝∠D＝90°，AD∥BC，
∵BE＝EF＝FC，CG＝2GD，
∴BF＝BC，CG＝CD，
∴BF＝CG，
∴△ABF≌△BCG（SAS），
∴∠AFB＝∠CGB，
∵∠CGB+∠CBG＝90°，
∴∠AFB+∠CBG＝90°，
∴∠BNF＝180°﹣（∠AFB+∠CBG）＝90°，
∴AF⊥BG，
故①正确；
在Rt△ABF中，tan∠AFB＝＝＝，
∴在Rt△BNF中，tan∠AFB＝＝，
∴BN＝NF，
故②不正确；
∵△ABF≌△BCG，
∴S△ABF＝S△BCG，
∴S△ABF﹣S△BNF＝S△BCG﹣S△BNF，
∴S四边形CGNF＝S△ABN，
故③正确；
∵∠DAB＝∠D＝∠AHG＝90°，
∴四边形ADGH是矩形，
∴AD＝GH，DG＝AH，AD∥GH，
∴GH∥BC，
设DG＝AH＝a，
∴CD＝3DG＝3a，
∴AB＝AD＝BC＝3a，
∴BE＝BC＝a，
∵∠AHO＝∠ABE＝90°，∠HAO＝∠BAE，
∴△AHO∽△ABE，
∴＝，
∴＝，
∴OH＝a，
∴GO＝GH﹣OH＝3a﹣a＝a，
∵GH∥BC，
∴∠OGM＝∠GBE，∠GOM＝∠OEB，
∴△GOM∽△BEM，
∴＝＝＝，
∴，
故④正确，
所以，正确结论的序号有：①③④，
故答案为：①③④．
6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为 ．
【答案】4或2
【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴CF+BF＝4．
∵CE+CF＝4，
∴CE＝BF．
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（SAS）．
∴∠AFB＝∠BEC．
∵AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BEC．
∴∠ABG＝∠AFB．
∵∠ABG+∠FBG＝90°，
∴∠AFB+∠FBG＝90°．
∴BG⊥AF．
∴∠AGB＝90°．
∵△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍，
∴∠ABG＝45°或60°．
∴∠GBF＝45°或30°．
过点G作GH⊥BC于点H，如图，
当∠GBF＝45°时，点F与点C重合，
∴GH＝，
∴△BCG的面积＝×BC×GH＝4．
当∠GBF＝30°时，
∵BG＝AB＝2，
∴GH＝BG＝1．
∴△BCG的面积＝×BC×GH＝2．
综上，△BCG的面积为4或2．
故答案为：4或2．
7．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵DQ＝CP，
∴AD﹣DQ＝CD﹣CP，
∴AQ＝DP，
∴△ABQ≌△DAP（SAS），
∴∠DAP＝∠ABQ，
∵∠DAP+∠BAP＝90°，
∴∠ABQ+BAP＝90°，
∴BQ⊥AP．
8．如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于M，CD于N，证明：AP＝MN；
如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N．
（1）求证：EF＝ME+FN；
（2）若正方形ABCD的边长为2，则线段EF的最小值＝ ，最大值＝ ．
【解答】解：（1）AP＝MN，
理由如下：
如图1，
过B点作BH∥MN交CD于H，
∵BM∥NH，
∴四边形MBHN为平行四边形，
∵BH＝AP，
∴MN＝AP
（2）如图2，连接FA，FP，FC
∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点
∴FA＝FC，
又∵FE垂直平分AP，
∴FA＝FP，
∴FP＝FC，
∴∠FPC＝∠FCP，
∵∠FAB＝∠FCP，
∴∠FAB＝∠FPC，
∴∠FAB+∠FPB＝180°，
∴∠ABC+∠AFP＝180°，
∴∠AFP＝90°，
∴FE＝AP，
由（1）知，AP＝MN
∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，
∴EF＝ME+FN
（3）由（2）有，EF＝ME+FN，
∵MN＝EF+ME+NF，
∴EF＝MN，
∵AC，BD是正方形的对角线，
∴BD＝2，
当点P和点B重合时，EF最小＝MN＝AB＝1，
当点P和C重合时，EF最大＝MN＝BD＝，
故答案为1，
9．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．
【解答】（1）证明：∵正方形ABCD中，
∴AB＝BC，
∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠BAE+∠OBA＝90°，
又∵∠FBC+∠OBA＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等），
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）解：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，
过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴EF＝BN，GH＝AM，
∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，
∴∠NO′A＝90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，
∴GH＝EF＝4；
10．综合与实践：
如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．
（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；
（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；
（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
（2）证明：如图2，延长CD，BF交于点H，
∵点E是AB的中点，
∴BE＝AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥AB，AD＝AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，
∴∠CEB+∠BCE＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠ABF+∠CEB＝90°，
∴∠ABF＝∠BCE，
又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，
∴△ABF≌△BCE（ASA），
∴BE＝AF，
∴BE＝AF＝AB＝AD，
∴AF＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠H，
在△ABF和△DHF中，
，
∴△ABF≌△DHF（AAS）
∴AB＝DH，
∴DH＝CD，
又∵BF⊥CE，
∴∠BGH＝90°，
∴DC＝DH＝DG．
（3）解：AG存在最小值．
如图3，以BC为直径作⊙O，连接AO，OG，
∵BF⊥CE，
∴∠BGC＝90°，
∴点G在以BC为直径的⊙O上，
在△AGO中，AG≥AO﹣GO，
∴当点G在AO上时，AG有最小值，
此时：如图4，
∵BC＝AB＝4，点O是BC中点，
∴BO＝2＝CO，
∵AO＝＝＝2，
∴AG＝2﹣2，
∵OG＝OB，
∴∠OBG＝∠OGB，
∵AD∥BC，
∴∠AFG＝∠OBG，
∴∠AFG＝∠OBG＝∠OGB＝∠AGF，
∴AG＝AF＝2﹣2，
由（2）可得AF＝BE＝2﹣2，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2．
11．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝3，BC＝4，则EF的长是（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【解答】解：过点A作AG∥EF，交BC于点G，交BD于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∠ABC＝∠C＝90°，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∴AG＝EF，
∵EF⊥BD，
∴AG⊥BD，
∴∠AHB＝90°，
∴∠HAB+∠ABH＝90°，
∵∠ABH+∠DBC＝90°，
∴∠HAB＝∠DBC，
∴△ABG∽△BCD，
∴＝，
∵BC＝4，CD＝3，∠C＝90°，
∴BD＝＝＝5，
∴＝，
∴AG＝，
∴EF＝AG＝，
故选：C．