专题05 二次函数的新定义问题专训-2023-2024学年九年级数学上册重难点高分突破（浙教版）

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1．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解有( )个
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据新定义和函数图象讨论：当时，则；当时，则，当时，则；当时，则；然后分别解关于的一元二次方程即可．
【详解】解：：当时，则，解得：
当时，则，无解
当时，则，解得；
当时，则，无解；
当时，则，解得，故有1个解；
综上所述，方程的解有3个；
;
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义运算与二次函数的性质，根据题意建立方程是解题的关键．
2．（2023春·山东济宁·九年级校考阶段练习）对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ）
A．或B．或C．D．或
【答案】D
【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题，联立方程，画出函数图象，根据求得交点坐标，进而即可求解．
【详解】解：令，
如图所示，则的值为函数较大的值，
∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值．
联立方程
解得
令，
解得，，
令，解得：，
∴当时，或
故选：D
【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的图像和性质，正确画出函数图象是解答本题的关键．
3．（2022秋·河南开封·九年级校考阶段练习）定义一种新函数，形如（a≠0且）的函数叫做“鹊桥”函数，某同学画出函数的图象如图．并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，y随x的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3函数有最小值是0；
⑤当x＝1时函数的最大值是4．
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【分析】将分别代入求得于坐标轴的交点可得①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴是直线x=1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=-1或x=3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜-1或x＞3，函数值要大于当x=1时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【详解】解：①∵令，得，
令，则
解得
∴与坐标轴的交点为（-1，0），（3，0）和（0，3），
∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴为直线，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=-1或x=3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜-1或x＞3，存在函数值要大于当x=1时的，因此⑤是不正确的；
故正确的为：①②③④．
故选C．
【点睛】考查了二次函数图象与x轴的交点问题，理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
4．（2022·广东·统考二模）新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“特征数”，如：的“特征数”为．若“特征数”为的二次函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（ ）
A．或2B．C．D．2
【答案】C
【分析】把特征数代入中，得，求出m的值即可．
【详解】解：∵是二次函数的特征数，
∴
∵抛物线的图象与 轴只有一个交点，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，把求二次函数（，a，b，c为实数）与x轴的交点坐标问题转化为解关于m的一元二次方程是解答本题的关键．
5．（2022·湖南岳阳·校联考一模）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下新定义，若则称点是点的限变点，例如：点的限变点是，点的限变点是，若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别求出当和时n的取值范围即可．
【详解】解：由题意知：当时，，
∴当时，，
当时，，
∴当时，，
∴当时，其限变点的纵坐标的取值范围是，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到关于m的函数．
6．（2022·福建·模拟预测）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立方程，
当△时，抛物线与直线有两个交点，
即，
解得，
此时，直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入得，
把代入得，
，
解得，
满足题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
7．（2022·山东济南·统考一模）定义：对于二次函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在自变量x0，使得函数值等于x0成立，则称x0为该函数的不动点，对于任意实数b，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a的取值范围为（ ）
A．0＜a＜2B．0＜a≤2C．﹣2＜a＜0D．﹣2≤a＜0
【答案】A
【分析】若存在自变量x0，使得函数值等于x0成立，即恒有两个不相等的实数解，可设x为不动点，使y＝x，可得关系式ax2+bx+b﹣2＝0，由恒有两个相异的不动点知△＞0，即得a的取值范围．
【详解】解：由题意可知方程x＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），恒有两个不相等的实数解，
则△＝b2﹣4a（b﹣2）＝b2﹣4ab+8a＞0，对任意实数b恒成立，
把b2﹣4ab+8a看作关于b的二次函数，
则有△1＝（4a）2﹣4×8a＝16a2﹣32a＝16a（a﹣2）＜0，令16a（a﹣2）＝0，
解得a＝0或a＝2，
①当a≥2时，16a＞0，a﹣2≥0，即16a（a﹣2）≥0，
②当a≤0时，16a≤0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）≥0，
③0＜a＜2时，16a＞0，a﹣2＜0，即16a（a﹣2）＜0，
即16a（a﹣2）＜0的解集，
解得0＜a＜2，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的关系，熟练掌握根的判别式结合问题进行求解，认真理解新定义渗透的数学问题是关键．
8．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y＝（x﹣m）2﹣m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值之差为（ ）
A．5B．C．4D．
【答案】B
【分析】画出图象，从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
【详解】解：如图，由题意可得，互异二次函数y＝（x−m）2−m的顶点（m，−m）在直线y＝−x上运动，
在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），
∴B（2，2），
从图象可以看出，当函数图象从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A，再逐渐经过点O，点B，点C，最后再经过点B，且在运动的过程中，两次经过点A，两次经过点O，点B和点C，
∴只需算出当函数经过点A及点B时m的值，即可求出m的最大值及最小值．
当互异二次函数y＝（x−m）2−m经过点A（0，2）时，m＝2或m＝−1；
当互异二次函数y＝（x−m）2−m经过点B（2，2）时，m＝或m＝．
∴互异二次函数y＝（x−m）2−m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是，−1，
∴m的最大值和最小值之差为
故选：B．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质．解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值．
9．（2020秋·安徽亳州·九年级统考阶段练习）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（ ）
A．16B．4C．12D．18
【答案】C
【分析】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m，n的方程，求解m，n即可；
【详解】∵点是抛物线上的点，
∴，
∴，
∴点是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，
∴，
∴，，
当时，；
当时，；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象特征和矩形的性质，准确理解计算是解题的关键．
10．（2023·山东济南·统考三模）新定义：若两个函数图象有公共点，则称这两个函数图象为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【分析】依据二函数有公共点，则联立的二次方程有实数根，判别式大于或等于0，可初步确定m的取值范围，然后再依据自变量x的取值范围进一步确定m的取值范围，即可求解．
【详解】∵抛物线与线段有公共点，
∴抛物线与平行于x轴的线段相切或者相交．
代入中，
即关于x的二次方程有两个相等或者不等的实数根．
整理上述关于x的二次方程得，．①
∴对于①式，，
即，．

将①式整理成关于m的二次方程：
，则关于m的判别式：
，解得：．
结合x的已知取值范围得出：
线段与抛物线有公共点的取值范围为：．
观察图1～图4中抛物线与线段的相对位置关系递变规律发现：当时， 正好是线段与抛物线有公共点时的抛物线最高与最低的位置，其递变规律是．
把代入方程①式：，
可求得，即抛物线与线段有公共点时的最高与最低位置．
因此，m的取值范围是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握函数的递变规律是解本题的关键．
11．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数的图象与直线（a为常数）围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意大致画出二次函数的图象与直线的图象，再根据围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点，结合图象即可得出，求解集即可．
【详解】∵，且，
∴二次函数的图象与直线的图象大致如图，
∵围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出大致图象，并利用数形结合的思想是解题关键．
12．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）定义表示不超过实数x的最大整数，如，函数的图象如图所示，则方程的解为_________．
【答案】
【分析】利用数形结合思想求解即可．
【详解】解：画出函数与函数的图象，
则两个函数的图象的公共点的横坐标就是方程的根，
根据图象可知两个函数的图象共有两个公共点，
其中一个点是，
另一个点也在第三象限，且纵坐标为，
令
解得：（舍去），
∴两个函数图象的公共点是，
∴方程的解为
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
13．（2022秋·北京西城·九年级北京十四中校考期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．如果函数是以3为上确界的有上界函数，则实数___________．
【答案】
【分析】当时，，可得（舍）；当时，，可得（舍）；当时，，可得；当时，，可得（舍）．
【详解】解：的对称轴为直线，
当时，y的最大值为，
∵3为上确界，
∴，
∴（舍）；
当时，y的最大值为，
∵3为上确界，
∴，
∴（舍）；
当时，y的最大值为，
∵3为上确界，
∴，
∴；
当时，y的最大值为，
∵3为上确界，
∴，
∴（舍），
综上所述：a的值为，
故答案为：．
【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．
14．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是____________．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据新定义可求得点的限变点，根据新定义得到当时，，在时，得到；当时，，在时，得到，即可得到限变点的纵坐标n'的取值范围是．
【详解】解：∵， ，
∴，
∴点的限变点是，
∵点在二次函数的图象上，
∴
当时，，
∴，
当时，，
∴当时，，
综上，当时，其限变点的纵坐标n'的取值范围是，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
15．（2023·四川成都·统考二模）定义：若一个函数图象上存在横纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当、两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，的取值范围为______．
【答案】或
【分析】先求出函数的图象上有两个“等值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可．
【详解】令，
解得：，，
函数的图象上有两个“等值点”或，
当时，，两部分组成的图象上必有个“等值点”或，
：，
：，
令，
整理得：，
的图象上不存在“等值点”，
，
，
，
当时，有个“等值点”、、，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”,，
当时，，两部分组成的图象上恰有个“等值点”，
当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图象上恰有个“等值点”时，或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．
16．（2022·江苏盐城·校考一模）定义{a，b，c}＝c（a＜c＜b），即（a，b，c）的取值为a，b，c的中位数，例如：{1，3，2}＝2，{8，3，6}＝6，已知函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝x+b有3个交点时，则b的值为 _____．
【答案】或
【分析】画出函数的数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象，观察图象，利用图象法解决问题即可．
【详解】解：由题意：函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}的图象如图所示（图中实线）．
由图象可得，当直线y＝x+b经过点A和点B时，函数y＝{x2+1，﹣x+2，x+3}与直线y＝x+b有3个交点，
令x2+1＝x+3，解得x＝﹣1或x＝2（舍去），
∴A（﹣1，2），
令x+3＝﹣x+2，解得，
∴，
当直线y＝x+b经过点A时，+b＝2，解得；
当直线y＝x+b经过点B时，，解得．
故答案为：或．
【点睛】本题考查函数中的新定义类问题，涉及中位数的定义，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．
17．（2022秋·吉林长春·九年级长春市第五十二中学校考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．如：A(1，0)，B(﹣3，2)都是“整点”，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点，若该抛物线在P，Q之间的部分与线段PQ所围的区域（不包括边界）恰有3个整点，则a的取值范围是_____．
【答案】
【分析】将函数解析式化为顶点式，确定图象的对称轴及顶点坐标，得到3个整点的位置，由此得到不等式组，求解即可．
【详解】解：∵y＝ax2﹣2ax+a+2=，
∴函数的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），
∴P，Q两点关于直线x=1对称，
根据题意，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于P，Q两点（不包括边界）恰有3个整点，这些整点是（0，1），（1，1），（2，1），
∵当x=0时，y=a+2，
∴，
当x=-1时，y=4a+2，
∴,
∴，解得，
故答案为：．
．
【点睛】此题考查了将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据二次函数的对称轴及顶点确定3个点的位置，由此顶点不等式组是解题的关键．
18．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是______．
【答案】
【分析】先求出B点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案．
【详解】解：∵B直线与y轴的交点，
∴B点坐标为（0，3），
∵B是抛物线的顶点，
∴抛物线解析式为，
∴，
解得或，
∴直线与抛物线的两个交点坐标为（0，3），（1，2），
∴抛物线关于直线y的割距是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一次函数与y轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．
19．（2022·江苏苏州·模拟预测）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足m≥0时，n′＝n−4；m＜0时，n′＝−n，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，点P2（−2，3）的限变点是（−2，−3）．若点P（m，n）在二次函数y＝−x2＋4x＋2的图象上，则当−1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是______．
【答案】−2≤n′≤3
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′＝−m2＋4m＋2−4＝−（m−2）2＋2，在0≤m≤3时，得到−2≤n′≤2；当m＜0时，n′＝m2−4m−2＝（m−2）2−6，在−1≤m＜0时，得到−2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是−2≤n′≤3．
【详解】解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝−m2＋4m＋2−4＝−（m−2）2＋2，
∴当0≤m≤3时，−2≤n′≤2，
当m＜0时，n′＝m2−4m−2＝（m−2）2−6，
∴当−1≤m＜0时，−2＜n′≤3，
综上，当−1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是−2≤n′≤3，
故答案为：−2≤n′≤3
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
20．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”如：、都是“整点”．当抛物线与其关于轴对称抛物线围成的封闭区域内（包括边界）共有个整点时，的取值范围______．
【答案】
【分析】通过抛物线的解析式可得对称轴为，过点，对分情况讨论或，分别求解即可．
【详解】解：由可得，过点，
当时，开口向下，如下图：
此时整点有等等，显然超过9个，不符合题意；
当时，开口向上，如下图：
要保证封闭区域内（包括边界）共有个整点，需要满足
，，此时整数点为，，
即，解得
故答案为
【点睛】此题考查了二次函数的新定义问题，涉及了二次函数的性质与一元一次不等式组的求解，解题的关键是理解题意，并列出不等式组．
21．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点P，先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数图象上，则称点P为该函数图象的“n倍平点”．
(1)函数①；②；③中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；
(2)若反比例函数，图象恰有1个“n倍平点”，求n的值；
(3)求函数图象的“3倍平点”的坐标．
【答案】(1)②
(2)
(3)或
【分析】（1）根据函数图象的“n倍平点”的定义逐个进行判断即可；
（2）设，则，把代入得，根据图象恰有1个“n倍平点”，得出，即可求出答案；
（3）当时，，当时，，分两种情况，根据函数图象的“n倍平点”的定义分别计算即可得出结论．
【详解】（1）当时，
①设，则，
当时，，
∴点不在的图象上．
∴该函数图象不存在“2倍平点”．
②设，则，
当时，，
∴点在的图象上．
∴该函数图象存在“2倍平点”．
③设，则，
当时，，
∴点不在的图象上．
∴该函数图象不存在“2倍平点”．
故答案是②；
（2）设，则，
把代入得，
，即，
∵图象恰有1个“n倍平点”，
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）当时，，
设，则，
把代入得，
，
解得：，
∴，．
∴，．
当时，，
设，则，
把代入得，
，
解得：，
∴，．
∴，．
综上所述，函数图象的“3倍平点”的坐标是或．
【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n倍平点”是解题的关键．
22．（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．
(2)已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为．
①若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段的长；
②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值．
【答案】(1)直线，
(2)①4；②或3
【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；
（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数，联立函数，，解方程可求出点的坐标，由此即可得；
②分且且、两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：函数的对称轴为直线，
因为，
所以设函数的友好同轴二次函数为，
所以，解得，
所以函数的友好同轴二次函数为，
故答案为：直线，．
（2）解：①二次函数，
则设，
所以，解得，
所以，
联立得：，
解得或，
当时，；当时，，
所以，
所以；
②函数的对称轴为直线，
（Ⅰ）当且且时，抛物线的开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
则当时，取得最小值，最小值为，
当时，取得最大值，最大值为4，
所以，
解得，符合题设；
（Ⅱ）当时，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为4，
所以，
解得，符合题设；
综上，的值为或3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．
23．（2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点，的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线：与抛物线：是都经过，的同弦抛物线．
(1)任意写出一条抛物线的同弦抛物线．
(2)已知抛物线是的同弦抛物线，且过点，求抛物线对应函数的最大值或最小值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)最小值为
【分析】（1）根据同弦抛物线的定义即可得；
（2）先根据同弦抛物线的定义可设抛物线的解析式为（且），将点代入可求出的值，再根据二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：抛物线与抛物线：为同弦抛物线，
抛物线的函数解析式为．
（2）解：由题意可设抛物线的解析式为（且），
将点代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为，
由二次函数的性质可知，当时，抛物线对应函数取得最小值，最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，读懂同弦抛物线的定义，并熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
24．（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点和为“反射对称点”、如：点（1，3）和（-3，-1）是一对“反射对称点”．
(1)下列函数：①；②；③，其中图像上存在，“反射对称点”的是________（填序号）
(2)直线与反比例函数的图像在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反射对称点”，若，求k的值；
(3)抛物线上是否存在一对“反射对称点”？如果存在，求出这一对“反射对称点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)①②③
(2)
(3)存在，中点坐标为或
【分析】(1)根据定义，把点，分别代入函数解析式，解方程组即可；
(2)根据题意，用的代数式将坐标表示出来，然后根据列出方程求出即可；
(3)假设存在一对“反射对称点”，，由此得到线段中点坐标为，再将，两点代入中联立方程组求出的值即可．
【详解】（1）解：对于，若，是一对“反射对称点”，
则，得到，此时方程组有无数组解，
∴函数图像上存在无数对“反射对称点”；
对于，若，是一对“反射对称点”，
则，得到，此时方程组有无数组解，
∴函数图像上存在无数对“反射对称点”；
对于函数，若，是一对“反射对称点”，
则，得到，
∴函数图像上存在唯一一对“反射对称点”，
故答案为：①②③；
（2）解：联立方程组，
∴，
∴，
∵且点在第一象限，
∴，
∵点和点为一对“反射对称点”，
∴，
设直线解析式为，代入两点坐标，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
设直线与轴交于点，过作于点，过作于点，如下图所示，则，
∴
整理得到：，
又已知，
∴，
解得；
（3）解：假设抛物线上存在一对“反射对称点”，，则线段的中点坐标为，
∴，
①－②并整理得到：，
当即时，回代方程①得到，解得或，若此时重合，舍去；若时，，线段中点坐标为；
当时，即时，回代方程①得到，解得或，
当时，，此时，，此时线段中点坐标为；
当时，，此时，，此时线段中点坐标为；
综上所述，线段中点坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数和二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，能理解应用新定义是解题的关键．
25．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市实验中学校考期中）对某一个函数给出如下定义：对于任意的函数值y，都满足，且在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上边界值；对于任意的函数值y，都满足，且在所有满足条件的N中，其最大值称为这个函数的下边界值；若一个函数既有上边界值又有下边界值，则称这个函数是有界函数，其上边界与下边界的差称为边界差．例如，图中的函数上边界值是，下边界值是．所以这个函数是“有界函数”，边界差为．
(1)在下列关于x的函数中，是“有界函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“有界函数”的打“×”．
①（_________）；② （___________）；③（_________）
(2)若函数（为常数，且），当时，这个函数的边界差为2，求的值；
(3)若关于x的函数（为常数）经过点，当时，其边界差为1，求t的值．
【答案】(1)①√；②×；③×
(2)
(3)2或3
【分析】（1）根据“有界函数”的定义结合各函数解析式判断即可；
（2）分类讨论：当时和当时，结合一次函数的性质解答即可；
（3）将点代入，可求出m的值，从而得出．分别求出当，时，y．再分类讨论：当，即时；当时；当，且，即时；当，且，即时，根据二次函数的图象和性质结合“边界差”的定义，可分别得出关于t的等式，解出t即可．
【详解】（1）解：①对于，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴有最大值和最小值，
∴是“有界函数”．
故答案为：；
②对于，总有，
∴不是“有界函数”．
故答案为：；
③对于，总有，
∴不是“有界函数”．
故答案为：；
（2）解：当时，当时，y随x的增大而增大，
∴有上边界值，有下边界值，
∴边界差为，
∵这个函数的边界差为2，
∴，
即；
当时，当时，y随x的增大而减小，
∴有上边界值，有下边界值，
∴边界差为，
∵这个函数的边界差为2，
∴，
即；
综上所述：k的值为；
（3）解：将点代入，得：，
解得：，
．
当时，，
当时，，
当时，．
∵其边界差为1，
当，即时，
，
解得：（舍去）；
当时，
，
解得：（舍去）；
当，且，即时，
，
解得：或4（舍去）；
当，且，即时，
，
或1（舍去），
综上所述：或3．
【点睛】本题考查对新定义的理解，正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质．读懂题意，理解“有界函数”和“边界差”的定义是解题关键．
26．（2023·湖北鄂州·统考二模）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间的“折线距离”：．

【数学理解】
(1)①已知点，则___________；
②函数的图象如图（1），是图象上一点，若，则点的坐标为________；
(2)函数的图象如图（2），该函数图象上是否存在点，使？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由；
【拓展运用】
(3)函数的图象如图（3），是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．
【答案】(1)①4，②
(2)不存在，理由见解析
(3)的最小值为，点D坐标为（，）
【分析】（1）①根据题目所给“折线距离”的定义，即可解答；②根据题意可得，即可求解；
（2）根据题意可得：得出，再根据一元二次方程根的判别式，即可得出结论；
（3）根据可得，即可得出结论．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
故答案为：4；
②∵，
∴
∴，
解得：；
∴，
故答案为：；
（2）解：不存在，理由如下：设点，
∵，
∴，
∵，
∴，
即
∵，
∴此方程没有实数根
∴不存在符合条件的点C．
（3）解：设点D为，
∴，
∵，
∴
，
∴当时，的最小值为，
此时点D坐标为．
【点睛】本题主要考查了一次函数，反比例函数，二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握化简绝对值的方法，以及二次函数的性质．
27．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，若函数图象上的点满足（其中，a为常数），则称点P为函数图象的“a级和点”．
(1)若点为反比例函数图象的“1级和点”，则______，______；
(2)若时，直线上有“a级和点”，求k的取值范围；
(3)若抛物线的“a级和点”恰有一个，求a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或2
【分析】（1）根据题中所给新定义运算可进行求解；
（2）由题意易得，然后根据可进行求解；
（3）由题意易得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】（1）解：由点为反比例函数图象的“1级和点”，可知：，
∴，
∴；
故答案为，；
（2）解：由题意可知：，
∵，
∴，
∵，
∴当时，则有，且，
解得：；
当时，则有，
解得：，
∵，
∴当时，则，
∴，
∴综上所述；
（3）解：∵，，
∴，
整理得：，
∴，
∵抛物线的“a级和点”恰有一个，
∴只有一个解，
∴，
解得：，
∵，
∴当或时符合题意．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数及反比例函数，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数及反比例函数是解题的关键．
28．（2023·湖南长沙·校联考三模）在平面直角坐标系中，对于点和．给出如下定义：如果，那么称点Q为点P的“沉毅点”．例如点的“沉毅点”为点，点的“沉毅点”为点．
(1)若直线上点M的“沉毅点”是，求点M的坐标；
(2)若双曲线上点P的“沉毅点”为点Q，且=4，求k的值；
(3)若点P在函数上，其“沉毅点”Q的纵坐标的取值范围是，结合图象写出的取值范围．
【答案】(1)点M的坐标为或
(2)
(3)
【分析】（1）先根据题中条件写出点的坐标为，然后根据“沉毅点”的定义分和两种情况进行讨论，分别求出的值，即可得出点的坐标；
（2）设点，且，根据“沉毅点”的定义可得点的坐标为，即可求得，然后利用三角形面积公式得到，解得；
（3）当时，求出的值，再根据“沉毅点”的定义即可解决问题．
【详解】（1）直线上点的“沉毅点”是，
点的坐标为，
当时，根据“沉毅点”的定义可得：，
解得：，
此时点的坐标为，
当时，根据“沉毅点”的定义可得：，
解得：，
此时点的坐标为，
综上所述，点的坐标为：或；
（2）由题意可设点，且，
根据“沉毅点”的定义可得点的坐标为，
，
，
，
，
；
（3）如图为“沉毅点”函数图象：
从函数图象看，“沉毅点”的纵坐标的取值范围是，
而，
当时，，
当时，或，
当时，，解得：舍去负值，
观察图象可知满足条件的的取值范围为．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键是理解题意，属于创新题目，中考常考题型．
29．（2023·四川达州·统考一模）定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”，例如：点是函数的图像的“等值点”．
(1)分别判断函数，的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数，的图像的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为时，求的值；
(3)若函数的图像记为，将其沿直线翻折后的图像记为，当，两部分组成的图像上恰有个“等值点”时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据“等值点”的定义进行计算，即可；
（2）根据“等值点”的定义可算出点的坐标，用含的式子表示点的坐标，根据的面积为即可求出的值；
（3）根据“等值点”的定义算出的等值点，再根据沿直线翻折，进行分类讨论，①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时；由此即可求解．
【详解】（1）解：在中，令，得不成立，
∴函数的图像上不存在“等值点”；
在中，令，
解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
综上所述，不存在“等值点”，存在“等值点”，有两个“等值点”或．
（2）解：在函数中，令，解得：，
∴，
在函数中，令，解得：，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
当时，，解得，
当时，，
∵，
∴方程没有实数根，
当时，，解得：，
综上所述，的值为或．
（3）解：令，解得：，，
∴函数的图像上有两个“等值点”或，
①当时，，两部分组成的图像上必有2个“等值点”或，
：，：，
令，整理得：，
∵的图像上不存在“等值点”，
∴，
∴，
∴，
②当时，有个“等值点”、、，
③当时，，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”，
④当时，，两部分组成的图像上恰有1个“等值点”，
⑤当时，，两部分组成的图像上没有“等值点”，
综上所述，当，两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，或．
【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数、反比例函数、二次函数的综合，理解定义新运算的规则，掌握计算方法，结合一次函数、反比例函数、二次函数的相关知识是解题的关键．
30．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市北雅中学校考阶段练习）【定义】对于函数图象上的任意一点，我们把称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼值”．根据定义回答问题：
(1)①点的“雅和”为________；（直接写出答案）
②一次函数的“礼值”为________；（直接写出答案）
(2)二次函数交轴于点，交轴于点，点与点的雅和”相等，若此二次函数的“礼值”为，求，的值；
(3)如图所示，二次函数的图象顶点在“雅和”为的一次函数的图象上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，当二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，求的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）①根据新定义计算即可求解；
②先计算，设“雅和”为，根据一次函数的性质求得在的最小值即可求解．
（2）根据题意得出，，且，将点代入解析式得，①，根据此二次函数的“礼值”为，求得最小值，建立方程即可求解；
（3）二次函数的图象顶点在“雅和”为的一次函数的图象上，即上，得出，结合函数图象，得出二次函数的图象与矩形的边有四个交点时，抛物线的顶点在直线的下方，其二次函数图象当时，，对称轴右侧当时，，解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：①点的“雅和”为，
故答案为：．
②∵一次函数的上的点为：，设“雅和”为，
则，
∵，，随的增大而增大
∴当时，取得最小值，最小值为，
根据定义可得，一次函数的“礼值”为，
故答案为：．
（2）解：二次函数交轴于点，交轴于点，点与点的“雅和”相等，
∴，，且
将点代入解析式得，，即①
设此函数的“雅和”为，则，
又∵此二次函数的“礼值”为，
∴的最小值为，即，即
解得：
则；
（3）解：∵二次函数顶点为即，
∵二次函数的图象顶点在“雅和”为的一次函数的图象上，即上，
∴，即
∵四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，
∴时，
时，
∵二次函数的图象与矩形的边有四个交点，
则抛物线的顶点在直线的下方，其二次函数图象当时，，对称轴右侧当时，，如图所示
∴
由①得：，又，
∴，
解得：，
②，
解得：，
③，
由，
解得：或（舍去，抛物线的左侧过点），
∵，抛物线开口向上，
∴的解集为：或，
综上所述，不等式的解集为：．
【点睛】本题考查了新定义运算，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．