专题1.3 二次根式的加减-2023-2024学年八年级数学下册各单元的重点题型+章末检测（浙教版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14083" 【题型1 判断同类二次根式】 PAGEREF _Tc14083 \h 1
\l "_Tc16560" 【题型2 根据同类二次根式的概念求字母的取值】 PAGEREF _Tc16560 \h 2
\l "_Tc23032" 【题型3 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 PAGEREF _Tc23032 \h 2
\l "_Tc23720" 【题型4 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc23720 \h 3
\l "_Tc21682" 【题型5 已知字母的取值化简求值】 PAGEREF _Tc21682 \h 3
\l "_Tc26931" 【题型6 已知条件式化简求值】 PAGEREF _Tc26931 \h 4
\l "_Tc32512" 【题型7 与二次根式有关的整体代入求值问题】 PAGEREF _Tc32512 \h 4
\l "_Tc10270" 【题型8 二次根式混合运算的实际应用】 PAGEREF _Tc10270 \h 4
\l "_Tc32742" 【题型9 二次根式的新定义类问题】 PAGEREF _Tc32742 \h 5
\l "_Tc1816" 【题型10 二次根式的阅读理解类问题】 PAGEREF _Tc1816 \h 6
【知识点1 同类二次根式】
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
①同类二次根式类似于整式中的同类项；
②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；
③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．
【题型1 判断同类二次根式】
【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
(1)24，48，112；
(2)x4y，3x3y(x<0)，−2xy3(y<0)．
【变式1-1】（2023春·四川宜宾·八年级统考期中）下列各式与427是同类二次根式的是（ ）
A．216B．125C．48D．32
【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（ ）
A．xy与xy2B． 2x与2xC． 3aa与1aD． a与3a
【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−27x3不是同类二次根式的是（ ）
A．27x3B．−x327C．−19−3x3D．−x3
【题型2 根据同类二次根式的概念求字母的取值】
【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5x+8与7是同类二次根式，求x的最小正整数？
【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：
(1)若最简二次根式3a与﹣8是同类二次根式；
(2)若二次根式3a与﹣8是同类二次根式．
【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2b+1与a+47+b可以合并成一个二次根式，则a−b= ．
【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．
如果m、n是正整数，且162m+n和m−n−1m+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求m、n的值．
解：∵162m+n和m−n−1m+7可以合并，
∴m−n−1=2162m+n=m+7，即m−n=331m+16n=7，解得m=5547n=8647．
∵m、n是正整数，
∴此题无解．
问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
（2）给出正确的解答过程．
【知识点2 二次根式的加减法则】
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方
法为系数相加减，根式不变．
【题型3 运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】
【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算
(1)412−813+48÷23
(2)26+3×26−3−(33−2)2+46−2
【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22
【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：
(1)48÷3+12×12−24
(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2
【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：
(1)323×−1815÷1225；
(2)212−613+348；
(3)2+32−5+25−2；
(4)2−32022×2+32023−2−32−−20．
【题型4 比较二次根式的大小】
【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（ ）
A．5＜7B．35＋2＜82﹣1
C．−7−232＞﹣6D．|1－3|＞3－1
【变式4-1】（2023春·江苏·八年级专题练习）将55,66,77从小到大排列 ．
【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：
12+1=2−12+12−1=2−1，
13+2=3−23+23−2=3−2，
14+3=4−34+34−3=4−3，
…
从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：
(1)12+1+13+2+…+12021+2020·2021+1；
(2)设a=13−2，b=12−3，c=15−2，比较a，b，c的大小关系．
【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）满足不等式82+1【题型5 已知字母的取值化简求值】
【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求x−yx+y−x+y−2xyx−y的值．
【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知x=2+1，求代数式3−22x2+2−1x−2的值.
【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知a=2+1，求a2a−1−a−1的值.
【变式5-3】（2023春·上海·八年级期末）先化简：xy+yxx+y⋅xy，再求当x=13−22,y=13+22时的值.
【题型6 已知条件式化简求值】
【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若x，y为实数，且y=1−4x+4x−1+12．求xy+2+yx+xy−2+yx的值．
【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4a−b+1+b−12a−9=0，求代数式ba⋅ab+a−b÷−a−b的值．
【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知 x−69−x=x−69−x，且 x 为奇数，求(x+1)x2−2x+1x2−1的值．
【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若a=122+18−182，求a2+a4+a+1的值.
【题型7 与二次根式有关的整体代入求值问题】
【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若a=5+1，b=5−1，求下列代数式的值．
(1)a2b+ab
(2)a2−b2
【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知x=3−7，y=3+7，求xy−yx的值．
【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．
【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知a+1a=7，求下列各式的值；
(1)a2+1a2；
(2)a2−1a2．
【题型8 二次根式混合运算的实际应用】
【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：

已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约枌料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．
【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．
【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+3 24×3，1+16 21×16，5+5 25×5．
（2）由（1）中各式猜想m+n与2mn(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由．
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少是多少米？
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为 ．
【题型9 二次根式的新定义类问题】
【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用a，b表示数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m，n与n，m称为数对a，b的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”为12，1与1，12．
(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；
(2)若数对3，y的一对“对称数对”的两个数对相同，求y的值；
(3)若数对x，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求x的值．
【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．
(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；
(2)若2+3与4+3m是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算m⊗n=m−nm≥n,m+nm①18⊗2=22；
②11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=100⊗1；
③a⊗b⋅b⊗a=a−b．
以上说法中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么a2±2ab+b2=|a±b|．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把5±26转化为(3)2±26+(2)2=(3±2)2完全平方的形式，因此双重二次根式5±26=(3±2)2=3±2得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若y′={y(x>0)−y(x<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．
请选择合适的材料解决下面的问题：
(1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______；
(2)化简：7+210；
(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且m=12(a+2a−1+a−2a−1)，点M′是点M的“横负纵变点”，求点M′'的坐标．
【题型10 二次根式的阅读理解类问题】
【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b2=m+n22（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b3=m+n32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：
+ 3= + 32；
(3)若a−65=m−n52且a、m、n均为正整数，求a的值．
【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）阅读材料并解决问题：13+2=3−23+23−2=3−232−22=3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
解答下面的问题：
(1)计算：12+1=___________，14+3=___________；若n为正整数，请你猜想1n+1+n=___________．
(2)计算：12+1+13+2+⋅⋅⋅+12022+2021×2022+1；
(3)计算：23+1+25+3+⋅⋅⋅+22024+2022×2024+1．
【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：
7−6=7−67+67+6=17+6，
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：
7−6=17+6， 6−5=16+5，
因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0,x−2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2，
当x=2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1−x+1+x−x的最大值和最小值．
【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：
①我们知道：式子x+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且x+1＝(x+1)2；
②把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2=x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mn=m±n2开方，从而使得x±2y化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+2=1+2；
(1)化简：5+26．
(2)计算：13+22+15+26+17+212+19+45
(3)直接写出代数式x2+2x+5+x2−22x+130的最小值为 ．型号
长
宽
小号
20cm
18cm
中号
25cm
20cm
大号
30cm
25cm