新高考数学满分训练必做题 专题8.3 线面角、二面角（基础+提升2000题1145~1173）

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1、明确模拟练习的目的。不但检测知识的全面性、方法的熟练性和运算的准确性，更是训练书写规范，表述准确的过程。
2、查漏补缺，以“错”纠错。每过一段时间，就把“错题笔记”或标记错题的试卷有侧重的看一下。查漏补缺的过程也就是反思的过程，逐渐实现保强攻弱的目标。
3、严格有规律地进行限时训练。特别是强化对解答选择题、填空题的限时训练，将平时考试当作高考，严格按时完成，并在速度体验中提高正确率。
4、保证常规题型的坚持训练。做到百无一失，对学有余力的学生，可适当拓展高考中难点的训练。
5、注重题后反思总结。出现问题不可怕，可怕的是不知道问题的存在，在复习中出现的问题越多，说明你距离成功越近，及时处理问题，争取“问题不过夜”。
6、重视每次模拟考试的临考前状态的调整及考后心理的调整。以平和的心态面对高考。
专题8.3 线面角、二面角
【1145】．（2022·天津·高考真题·★★★★）
直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面所成二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得直线与平面夹角的正弦值；
（3）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.
（1）
证明：在直三棱柱中，平面，且，则
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，则，
易知平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
（2）
解：，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，.
因此，直线与平面夹角的正弦值为.
（3）
解：，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，则，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
【1146】．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
（1）
在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h，
则，
解得，
所以点A到平面的距离为；
（2）
取的中点E,连接AE,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得，所以，，所以，
则,所以的中点，
则，,
设平面的一个法向量，则，
可取，
设平面的一个法向量，则，
可取，
则，
所以二面角的正弦值为.
【1147】．（2022·浙江·高考真题·★★★★）
如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，，由此可知，，，从而可证得平面，即得；
（2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原点，，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出．
（1）
过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
（2）
因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设，则，
设平面的法向量为
由，得，取，
设直线与平面所成角为，
∴．
【1148】．（2022·全国·高考真题·★★★★）
如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)与平面所成的角的正弦值为
【分析】（1）根据已知关系证明，得到，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（2）根据勾股定理逆用得到，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.
（1）
因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）
连接，由（1）知，平面，因为平面，
所以，所以，
当时，最小，即的面积最小.
因为，所以，
又因为，所以是等边三角形，
因为E为的中点，所以，，
因为，所以,
在中，，所以.
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又因为，所以，
所以，
设与平面所成的角的正弦值为，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
【1149】．（2021·天津·高考真题·★★★）
如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱CD的中点．
（I）求证：平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值．
（III）求二面角的正弦值．
【答案】（I）证明见解析；（II）；（III）.
【分析】（I）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证；
（II）求出，由运算即可得解；
（III）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解.
【详解】（I）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则,,,,,,，
因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以，，
所以,,,
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
（II）由（1）得，，
设直线与平面所成角为，
则；
（III）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，
则，
所以二面角的正弦值为.
【1150】．（2021·全国·高考真题·★★★）
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，由已知条件得出，求出的值，即可得出的长；
（2）求出平面、的法向量，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面，四边形为矩形，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结．因为底面，且底面，所以．
又因为，，所以平面．
又平面，所以．
从而．
因为，所以．
所以，于是．
所以．所以．
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结交于点N．
由[方法二]知．
在矩形中，有，所以，即．
令，因为M为的中点，则，，．
由，得，解得，所以．
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体，联结，交点记为H，由于，，所以平面．过H作的垂线，垂足记为G．
联结，由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角．
易证四边形是边长为的正方形，联结，．
，
由等积法解得．
在中，，由勾股定理求得．
所以，，即二面角的正弦值为．
【整体点评】（1）方法一利用空坐标系和空间向量的坐标运算求解；方法二利用线面垂直的判定定理，结合三角形相似进行计算求解，运算简洁，为最优解；方法三主要是在几何证明的基础上，利用三角形等面积方法求得.
（2）方法一，利用空间坐标系和空间向量方法计算求解二面角问题是常用的方法，思路清晰，运算简洁，为最优解；方法二采用构造长方体方法+等体积转化法，技巧性较强，需注意进行严格的论证.
【1151】．（2020·天津·高考真题·★★★）
如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；
（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；
（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），
可得、、、、
、、、、.
（Ⅰ）依题意，，，
从而，所以；
（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，
，．
设为平面的法向量，
则，即，
不妨设，可得．
，
．
所以，二面角的正弦值为；
（Ⅲ）依题意，．
由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.
【1152】．（2020·全国·高考真题·★★★★）
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）要证明平面，只需证明，即可；
（2）方法一：过O作∥BC交AB于点N，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用公式计算即可得到答案.
【详解】（1）[方法一]：勾股运算法证明
由题设，知为等边三角形，设，
则，，所以，
又为等边三角形，则，所以，
，则，所以，
同理，又，所以平面；
[方法二]：空间直角坐标系法
不妨设，则，由圆锥性质知平面，所以，所以．因为O是的外心，因此．
在底面过作的平行线与的交点为W，以O为原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，，．
故，．
所以，．
又，故平面．
[方法三]：
因为是底面圆O的内接正三角形，且为底面直径，所以．
因为（即）垂直于底面，在底面内，所以．
又因为平面，平面，，所以平面．
又因为平面，所以．
设，则F为的中点，连结．
设，且，
则，，．
因此，从而．
又因为，所以平面．
[方法四]：空间基底向量法
如图所示，圆锥底面圆O半径为R，连结，，易得，
因为，所以．
以为基底，平面，则，
，且，
所以．
故．所以，即．
同理．又，所以平面．
（2）[方法一]：空间直角坐标系法
过O作∥BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得，
所以，
设平面的一个法向量为
由，得，令，得，
所以
故，
设二面角的大小为，由图可知二面角为锐二面角，所以.
[方法二]【最优解】：几何法
设，易知F是的中点，过F作交于G，取的中点H，
联结，则．
由平面，得平面．
由（1）可得，，得．
所以，根据三垂线定理，得．
所以是二面角的平面角．
设圆O的半径为r，则，，，，所以，，．
在中，，
．
所以二面角的余弦值为．
[方法三]：射影面积法
如图所示，在上取点H，使，设，连结．
由（1）知，所以．故平面．
所以，点H在面上的射影为N．
故由射影面积法可知二面角的余弦值为．
在中，令，则，易知．所以．
又，故
所以二面角的余弦值为．
【整体点评】本题以圆锥为载体，隐含条件是圆锥的轴垂直于底面，（1）方法一：利用勾股数进行运算证明，是在给出数据去证明垂直时的常用方法；方法二：选择建系利用空间向量法，给空间立体感较弱的学生提供了可行的途径；方法三：利用线面垂直，结合勾股定理可证出；方法四：利用空间基底解决问题，此解法在解答题中用的比较少；
（2）方法一：建系利用空间向量法求解二面角，属于解答题中求角的常规方法；方法二：利用几何法，通过三垂线法作出二面角，求解三角形进行求解二面角，适合立体感强的学生；方法三：利用射影面积法求解二面角，提高解题速度.
【1153】．（2019·天津·高考真题·★★★）
如图，平面，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）（Ⅲ）
【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
(Ⅰ)利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；
(Ⅱ)分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度.
【详解】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，
可得.
设，则.
(Ⅰ)依题意，是平面ADE的法向量，
又，可得，
又因为直线平面，所以平面.
(Ⅱ)依题意，，
设为平面BDE的法向量，
则，即，
不妨令z=1，可得，
因此有.
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)设为平面BDF的法向量，则，即.
不妨令y=1，可得.
由题意，有，解得.
经检验，符合题意｡
所以，线段的长为.
【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
【1154】．（2010·重庆·高考真题·★★★）
如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点．
（Ⅰ）求直线与平面的距离；
（Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）证明直线平面，建立空间直角坐标系，求直线与平面的距离，转化为点到平面的距离；
（Ⅱ）若，求出平面、平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角的平面角的余弦值．
【详解】（Ⅰ）证明：在矩形中，，
又平面，平面，
所以平面
如图，以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系．
设，，，则 ，0，，，，，，0，，，0，．
因此，0，，，，，，0，．
则，，
因为，
所以平面．
又由，知平面，
故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为．
（Ⅲ）解：因为，所以，，，，，．
设平面的法向量，，，则，．
又，，，，0，，故
所以，．
可取，则，2，．
设平面的法向量，，，则，，
又，0，，，，，故
所以，，可取，则，1，．
故，．
【点睛】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查面面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
【1155】．（2008·全国·高考真题·★★★）
如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析．
（Ⅱ）
【详解】试题分析：（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得各点坐标，从而可得各向量坐标，根据向量数量积为0则两向量垂直，可得，根据线面垂直的判定定理可证得平面．（2）根据向量垂直数量积等于0可求得平面的一个法向量，由数量积公式可求得两法向量所成角的二面角．两法向量所成的角与二面角的平面角相等或互补，所以观察图像可得所求二面角的平面角为锐角，所以所求二面角的平面角的余弦值等于两法向量余弦值的绝对值．
试题解析：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
依题设，．
.
（1） ，
，即
又，平面．
（2）由（1）知为面的一个法向量．
设向量是平面的法向量，则，
．
令，则，．
所以
观察可知二面角的平面角为锐角，
∴二面角的余弦值为．
考点：1线面垂直；2用空间向量法解决立体几何问题．
【方法点晴】本题主要考查的是线线垂直、线面垂直、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．用空间向量法解题时一定要注意二面角的余弦值等于两法向量夹角的余弦值或其绝对值，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．
【1156】．（2009·重庆·高考真题·★★★）
如图，在五面体中，CD∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：
（Ⅰ）直线到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】解法一:
（Ⅰ）平面,AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因,∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离．
在中，
由平面，得AD，从而在中，
．即直线到平面的距离为．
（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE
，所以，为二面角的平面角，记为.
在中,,由得,,从而．
在中,,故
所以二面角的平面角的正切值为.
解法二:
（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0)
C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得∥，
面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离．设A点在平面上的射影点为,则因且,而，,此即解得 ① ,知G点在面上,故G点在FD上.
∥,故有② 联立①,②解得,
为直线AB到面的距离. 而所以
（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设,.由得,解得.即.故
由,因,,故为二面角的平面角，
又,,,所以
【1157】．（2012·全国·高考真题·★★★）
如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．
（1）证明平面；
（2）设二面角为，求与平面所成角的大小
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先由已知建立空间直角坐标系，设，从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明，，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（2）先求平面的法向量，再求平面的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角
【详解】（1）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
设，则，，，，
∴，，，
∴，，
∴，，，
∴平面.
（2），，
设平面的法向量为，则，
取，
设平面的法向量为，则，
取，
∵平面平面，∴，故，
∴，，
∴，
设与平面所成角为，，则，
∴，
∴与平面所成角的大小为.
【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，属于中档题.
【1158】．（2021·北京·首都师范大学附属中学模拟预测·★★★★）
如图，平面平面，，，，，，，平面与平面交于．
(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用线面平行的判定定理可得平面，再利用线面平行的性质定理即得；
（2）设的中点为，由题可得平面，建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.
（1）
∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面平面，平面，
∴；
（2）
设的中点为，连接，
∵，，
∴是等边三角形．又为的中点，
∴，∵，
∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴，故两两垂直．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∵，，
∴四边形CDEF为平行四边形，即，
∴，
∴，，
设平面BCF的一个法向量为，
则，令，则，
易知平面ABC的一个法向量为，
∴，
由题可知二面角的平面角为锐角，
∴二面角的余弦值为．
【1159】．（2022·江苏·盐城中学模拟预测·★★★★）
如图，在斜四棱柱中，四边形为平行四边形，平面为中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理可得答案；
（2） 设，则，利用余弦定理判断出为钝角，做，则垂足在的延长线上，做，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 设，利用求出点坐标，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.
（1）因为平面，平面，所以平面平面.
（2）设，则，平面，平面，所以，，所以，，又，所以，在中，由余弦定理得，所以为钝角，作，则垂足在的延长线上，因为平面平面，平面平面，所以平面，在平面内做，所以，以为原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，在中，因为，所以，因为，所以，，所以，，，，，，设，，因为，所以，解得，即，，，设为平面的一个法向量，所以，即，令，则，，即， 为平面的一个法向量，所以，由图二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值．
【1160】．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模·★★★★）
如图，在四棱锥中，已知平面平面，，，，是等边的中线．
(1)证明：平面．
(2)若，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点F，连接，进而证明四边形是平行四边形，进而证明平面；
（2）取的中点O，连接，易知平面，进而以O为坐标原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
(1)
证明：如图1，取的中点F，连接．
因为E是棱的中点，所以，且．
因为，所以，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
(2)
解：取的中点O，连接，
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面,平面，
所以平面．
所以，以O为坐标原点，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为等边的边长为，
所以，
．
设平面的一个法向量为
由得
令，则，所以．
又平面的一个法向量为，
因为，
所以二面角的大小为．
【1161】．（2022·河南洛阳·模拟预测·★★★★）
如图，在直四棱柱中，，，，．
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出，由即可证明；
（2）求出平面和平面的法向量，由向量夹角公式求出余弦值即可.
（1）
因为平面，平面．所以，．又，所以，，两两垂直，
以点D为坐标原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．所以，．
所以，所以．
（2）
，设向量为平面的一个法向量，则，即
令，得，设向量为平面的一个法向量，则，即
令，得．所以．
设二面角的大小为，由图可知，所以．所以二面角的余弦值为．
【1162】．（2022·江西九江·三模·★★★）
如图1，矩形中，，，为上一点且.现将沿着折起，使得，得到的图形如图2.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由勾股定理证明，再由结合线面垂直的判定证明即可；
（2）由面面垂直的性质证明平面，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法得出二面角的余弦值.
（1）
∵四边形为矩形，，且，
∴
∵，∴
∵，，∴，∴
∵四边形为矩形，∴
∵，平面，∴平面
（2）
过作，交于，∵，，∴，
∴
由（1）知平面,平面,所以，
由得平面，平面，
∴平面平面，
又，平面，∴平面，
故以为原点建立空间直角坐标系如图所示，
∴，，，
平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为，则，
∵，，∴，
令，得，，∴
∴
∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为.
【1163】．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测·★★★★）
如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先根据线面垂直的性质与判定证明，再根据勾股定理证明，进而根据线面垂直得到平面，从而根据面面垂直的判定证明即可
（2） 为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，再分别求解平面的一个法向量，进而得到面面角的正弦即可
(1)
证明：因为平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面．
又平面，所以．
又因为，，所以，所以．
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
(2)
以 为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．
因为，，
所以，，，，．
设平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，且，，，，
因为所以令，则，，所以．
又因为所以令，则，，所以．
所以．
设二面角的大小为，则，
所以二面角的正弦值为．
【1164】．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测·★★★）
如图，在四棱台中，，，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)若四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）连，利用给定条件证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）以点A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.
(1)
在四棱台中，四边形为平行四边形，且，点E为棱BC的中点，连，如图，
则有，，即四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面．
(2)
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
平面DEC的一个法向量为，则，显然二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
【1165】．（2022·全国·模拟预测·★★★）
如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由面面、线面垂直的性质可得，且，根据线面垂直的判定即可证结论；
（2）构建空间直角坐标系，求面、面的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角的余弦值.
(1)
由题设，，又面面，面面，面，
所以面，而面，则，
由得：，
又，则平面.
(2)
若是的中点，连接，
由，，，，
所以，
面面，面面，面，
所以面，面，则.
综上，可构建如下空间直角坐标系，，
所以，则，
若是面的法向量，则，令，则，
若是面的法向量，则，令，则，
所以，故二面角的余弦值为.
【1166】．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测·★★★★）
如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，在平面的投影为边的中点..，，，，．
(1)求证： 平面 ；
(2)点为线段上靠近点的三等分点，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理得到，再利用点的投影的概念得到平面，从而得到，利用线面垂直的判定定理即可得到 平面,再利用线面垂直判定定理的推论即可得证；（2）利用空间向量求解二面角的余弦值
(1)
因为四边形是平行四边形，所以， ，
故在中，由余弦定理可得：
，
，
，，又在平面的投影为
平面，平面，
，平面
四边形为平行四边形，
，
平面
(2)
取的中点 ，连接，则由（1）知，，两两垂直，故分别以的反向延长线、，为轴、轴、轴建立如图的空间直角坐标系, 则，，，，， ，，
设，，
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令得，
由题得
平面与平面所成的锐二面角余弦值．
【1167】．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测·★★★★）
如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.
(1)证明：.
(2)若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据余弦定理证明，再利用面面垂直的性质得到平面即可得到；
（2）根据（1）结合四棱锥的体积为，可得，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角的余弦即可
（1）
因为在中，，故，所以，解得，故，故.又平面平面且交于，故平面，又平面，故
（2）
由（1）结合锥体的体积公式可得，故，解得.又 故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.
则，，，故，，设平面的一个法向量为，则，即，令有，故，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则
【1168】．（2022·北京市第九中学模拟预测·★★★）
如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，M为PD的中点．
(1)求证：PB平面ACM；
(2)求直线BM与平面PAD所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）连接，连，证明，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）（3）取中点，连PO，证明平面，以点O为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量求线面角的正弦，二面角的余弦作答.
(1)
连接，连，如图，正方形中，N为的中点，而M为PD的中点，
则，而平面，平面，
所以平面.
(2)
取中点，连，如图，正中，，
因侧面底面，侧面底面，侧面，则平面，
在平面内过O作，则射线两两垂直，
以点O为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
(3)
由（2）知，，
设平面的法向量，则，令，得，
于是得，显然二面角大小为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【1169】．（2022·湖南师大附中一模·★★★★）
如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点，平面，．
(1)若点在线段上，且直线平面，确定点的位置；
(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)M为PB的中点(2)
【分析】（1）根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理，再利用平行四边形的性质及三角形的中位线，结合平行的传递性即可求解；
（2）根据（1）建立空间直角坐标系，得出相关点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解.
（1）
为的中点时，直线平面．
证明如下：设平面交直线于，连接.
因为平面，
平面平面,平面,所以．
因为，平面，平面，所以平面，
平面平面,平面,所以，
所以四边形为平行四边形，从而．
因为为的中点，则，
所以又，所以点为的中点．
（2）
因为平面PAB，则，，以为原点，以垂直所在直线为x轴，为y轴，为z轴，建立的空间直角坐标系，如图所示
设，则，．因为，则．
所以点，，，，，，，
设平面PCE的一个法向量为，则，
即
不妨令，得，，所以，
因为平面，所以为平面的一个法向量．
设平面与平面所成锐为二面角为，则，
所以平面PCE与平面PAB所成锐二面角的余弦值为．
【1170】．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥中，平面，，为等边三角形，．
(1)求证：平面，且平面．
(2)已知，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）由线面垂直性质可得，结合可证得平面；根据，由线面平行的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
(1)
平面，平面，，
又，，平面，平面；
为等边三角形，，又，，
平面，平面，平面.
(2)
平面，平面，；
以为坐标原点，为轴正方向，作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，令，则，，；
设平面的法向量，
则，令，则，，；
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【1171】．（2022·新疆克拉玛依·三模·★★★★）
在四棱锥中，底面为直角梯形，，E，F分别为的中点，.
(1)证明：平面平面；
(2)若与所成角为，求平面和平面所成角的余弦值.
【答案】(1)详见解析；
(2)
【分析】（1）根据，E为的中点，得到，再由，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；
（2）以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，以EP为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面EBF的一个法向量为，再由平面ABE的一个法向量为，由求解.
（1）
证明：因为，E为的中点，
所以，又，且.
所以平面ABCD，
又因为平面PAD，
所以平面平面；
（2）
易证，则，
所以四边形是平行四边形，则，
所以，则，
以E为原点，以EA为x轴，EB为y轴，以EP为z轴，建立空间直角坐标系：
则，
所以，
设平面EBF的一个法向量为，
则，即，
令，则，
平面ABE的一个法向量为，
则，
又是钝角，
所以平面和平面所成角的余弦值.
【1172】．（2022·福建·三明一中模拟预测·★★★★）
如图，四边形为菱形，，将沿折起，得到三棱锥，点M，N分别为和的重心．
(1)证明：∥平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）延长交于点P，延长交于O点，连接,证明即可.
（2）证明两两垂直，以O为坐标原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.
(1)
延长交于点P，延长交于O点，连接．
因为点M，N分别为和的重心，所以点P，
O分别为和的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
(2)
当三棱锥的体积最大时，点D到底面的距离最大，
即平面平面，
连接，因为和均为正三角形，
于是，又平面平面，
所以平面，所以两两垂直，
以O为坐标原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
又二面角即二面角，
设平面的一个法向量为，则
可得，取，则，
同理设平面的一个法向量为，
则,即，取，则，
所以，
由图可知二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
【1173】．（2022·吉林市教育学院模拟预测·★★★★）
如图，四棱柱中，平面平面，底面为菱形，与交于点O，．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点F，使得与平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；
【分析】(1)由条件证明，根据面面垂直性质定理可证平面；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成角的正弦值，由此可求.
(1)
∵，，∴，
又O是中点∴
∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面
(2)
∵底面是菱形，∴
以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则．
又，所以，
∴，
设平面的法向量是，∴，
令，则，
假设线段上存在点F，且，
∴，∴，
∴，
平方整理得：，∴或（舍）.
∴时，即存在点F是中点时，与平面所成角的正弦值是．