2024届广东省江门市高考模拟考试数学试题（一模）及详细答案

这是一份2024届广东省江门市高考模拟考试数学试题（一模）及详细答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．某市高三年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布.现随机选择一名本市高三年级男生，则该男生身高不高于170cm的概率是（ ）参考数据：
A．0.6827B．0.34135C．0.3173D．0.15865
2．在中，，，则角A的大小为（ ）
A．B．或C．D．或
3．已知是等比数列，，且，是方程两根，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知角α的终边上有一点，则=（ ）
A．B．C．D．
5．设，为双曲线：的左、右焦点，点为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的渐近线于，两点，且点，分别在第一、三象限，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则的值是（ ）
A．680B．C．1360D．
7．已知9名女生的身高平均值为162(单位：cm)，方差为26，若增加一名身高172(单位：cm)的女生，则这10名女生身高的方差为（ ）
A．32.4B．32.8C．31.4D．31.8
8．物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若，则k的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．，
B．
C．若，，则的最小值为1
D．若是关于x的方程的根，则
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．若相邻两条对称轴的距离为，则
B．当，时，的值域为
C．当时，的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为
D．若在区间上有且仅有两个零点，则
11．已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．随着增大而减小
B．曲线的横坐标取值范围为
C．曲线与直线相交，且交点在第二象限
D．是曲线上任意一点，则的取值范围为
三、填空题
12．已知向量，，若与垂直，则= .
13．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，则该几何体共有 个面；若被截正方体的棱长是60cm，那么该几何体的表面积是 cm2.
14．函数的定义域为，对任意的，，恒有成立.请写出满足上述条件的函数的一个解析式 .
四、解答题
15．如图，四边形是圆柱底面的内接矩形，是圆柱的母线.
(1)证明：在侧棱上存在点，使平面；
(2)在（1）的条件下，设二面角为，，，求三棱锥的体积.
16．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，且传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为：发送1时，收到0的概率为，收到1.的概率为.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)已知接收的信号为1，且，求发送的信号是0的概率；
(2)现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).已知发送1，若采用三次传输方案译码为1的概率大于采用单次传输方案译码为1的概率，求β的取值范围.
17．己知椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线与轴垂直时，直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在与点不同的定点，使得恒成立?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
18．已知关于的方程有三个根，分别为，，，且.
(1)求的取值范围；
(2)设，证明：随着的增大而减小.
19．将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是密集的?
(3)记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可.
【详解】由题意，，
且，
所以.
故选：D
2．D
【分析】
利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.
【详解】由题意知中，，，
故，即，
由于，故，则或，
故A的大小为或，
故选：D
3．C
【分析】
根据等比数列下标和性质计算可得.
【详解】在是等比数列，，，又，所以，
又，是方程两根，
所以.
故选：C
4．A
【分析】
根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式，即可求得答案.
【详解】由题意知角α的终边上有一点，则，
故，则，
故选：A
5．C
【分析】
根据已知条件得出渐近线与圆的方程，确定直线与圆的交点，根据交点坐标结合，由此可知，根据，确定，再根据双曲线性质，得到、关系式即可求得双曲线的离心率.
【详解】
根据已知条件，双曲线的渐近线方程为交于、两点，
以为直径的圆的方程为，直线与圆方程联立有：
解得，，所以，所以，，
所以垂直于轴，设为双曲线右顶点，垂直于轴，所以，
又因为，所以，所以，，
所以，所以，即.
故选：C
6．B
【分析】利用赋值法，分别令和，将得到的两式相加，结合等比数列的求和，即可求得答案.
【详解】令，则，即
令，则，
即，
两式相加可得，
故选：B
7．A
【分析】
根据给定条件，利用平均数、方差的计算公式计算得解.
【详解】令9名女生的身高为，依题意，，，
因此增加一名女生后身高的平均值为，
所以这10名女生身高的方差为
.
故选：A
8．C
【分析】
结合条件及对数的运算法则计算即可.
【详解】，
而，故．
故选：C．
9．ACD
【分析】
根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.
【详解】对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
故选：ACD
10．BCD
【分析】
根据三角恒等变换化简，进而根据周期可判断A，根据整体法求解函数的值域判断B，根据函数图象的平移可判断C，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D.
【详解】
，
对于A，若相邻两条对称轴的距离为，则,故，A错误，
对于B，当，，当时，，
则的值域为，B正确，
对于C，当，，
的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为
，C正确，
对于D，当时，，
若在区间上有且仅有两个零点，则，解得，故D正确，
故选：BCD
11．AD
【分析】首先对、分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A、B，由双曲线的渐近线与的关系判断C，由点到直线的距离公式得到，即点到直线的距离的倍，求出直线与曲线相切时的值，再由两平行线将的距离公式求出的最大值，即可判断D.
【详解】因为曲线，
当，时，则曲线为椭圆的一部分；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，
且双曲线的渐近线为；
当，时，则曲线为双曲线的一部分，
且双曲线的渐近线为；
可得曲线的图形如下所示：
由图可知随着增大而减小，故A正确；
曲线的横坐标取值范围为，故B错误；
因为，所以曲线与直线相交，且交点在第四象限，故C错误；
因为，即点到直线的距离的倍，
当直线与曲线相切时，
由，消去整理得，
则，解得（舍去）或，
又与的距离，
所以，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出曲线的图形，D选项的关键是转化为点到直线的距离.
12．/
【分析】
首先求出的坐标，再依题意可得，即可得到方程，解得即可.
【详解】因为，，所以，
又与垂直，所以，解得.
故答案为：
13． 14
【分析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；再根据面积公式即可求出表面积.
【详解】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，
再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；
如果被截正方体的棱长是，那么石凳的表面积是
.
故答案为：14，.
14．（答案不唯一）
【分析】
本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可，不妨令，根据两角和的正弦公式及诱导公式证明即可.
【详解】依题意不妨令，
则，
又
，
所以，故符合题意.
同理可证明，，，也符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，连接交于，连接，即可证明，从而得证；
（2）设，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出，再根据锥体的体积公式计算可得.
【详解】（1）取的中点，连接交于，连接，
因为为矩形，所以为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，
（2）设，如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
又平面的法向量可以为，设平面的法向量为，
则，取，
因为二面角为，所以，解得（负值舍去），
所以，
所以，
又点到平面的距离，
所以.
16．(1)
(2)
【分析】
（1）由题意确定发送的信号为0、1的概率以及接收信号为0、1的概率，根据全概率公式可求出已知接收的信号为1的概率，根据条件概率的计算公式，即可求得答案；
（2）分别求出采用三次传输方案译码为1的概率和采用单次传输方案译码为1的概率，由题意列出不等式，解不等式，即可求得答案.
【详解】（1）设A：发送的信号为1，B：接收到的信号为1，
则：发送的信号为0，：接收到的信号为0，
则，
故
，
故；
（2）
采用三次传输方案译码为1的概率为，
采用单次传输方案译码为1的概率为，
由题意得
而，故，
故.
17．(1)
(2)存在定点，使得恒成立
【分析】
（1）由离心率及过点列方程组求解.
（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于轴的对称点，证得三点共线得到成立.
【详解】（1）依题意可得点在椭圆上，
所以，解得，所以椭圆的方程为.
（2）当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于，两点，如果存在点满足条件，
则有，即，所以点在轴上，设，
当与轴重合时，设直线与椭圆相交于，两点，不妨设，，
则由，即，解得或，
所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；
下面证明：对任意的直线，均有，
当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，，，
联立，消去，得，
因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，
所以，，
所以，
易知点关于轴的对称点的坐标为，
又，，
所以，则三点共线，所以；
综上：存在与点不同的定点，使恒成立.
【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）将函数写成分段函数，再利用导数分别求出函数在各段的单调性，即可画出函数图象，从而求出的取值范围；
（2）由（1）可知，且，使得，则，再由，得到，令，则，从而得到，，再令，，利用导数说明函数的单调性即可.
【详解】（1）令，
当时，所以在上单调递增，
当时，所以时，
时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，当时，且时，
当时，
则的图象如下所示：
因为关于的方程有三个根，即与有三个交点，
由图可知，即实数的取值范围为.
（2）由（1）可知，又，，
且在上单调递增，所以，使得，
所以，
由，所以，即，
令，则，
所以，，
令，，
则，令，，
所以，即在上单调递减，
所以，
又，即，所以，
即，所以，
所以在上单调递减，
即随着的增大而减小.
【点睛】关键点点睛：第一问关键是由导数说明函数的单调性，从而得到函数的图象，第二问关键是得到，.
19．(1)不存在，理由见解析
(2)
(3)存在，最小值为.
【分析】（1）若等于同一常数，则构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到，推出矛盾即可得解；
（2）依题意时，即当时，，则，，即可求出，，，，中有个，个，从而得解；
（3）由方差公式得到（为方差），从而得到当方差取最小值时取最小值，从而推出是密集，即可求出的最小值.
【详解】（1）若等于同一常数，
根据等差数列的定义可得构成等差数列，所以，
解得，与矛盾，
所以不存在一组解，使得等于同一常数；
（2）因为，
依题意时，即当时，，
所以，，
设有个，则有个，由，解得，
所以，，，，中有个，个，
所以方程①的解共有组.
（3）因为平均数，
又方差，即，
所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值，
又当时，即，方程无正整数解，故舍去；
当时，即是密集时，取得最小值，
且.
【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用.