湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题及详细答案

这是一份湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题及详细答案，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复平面内坐标原点为，复数对应点满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知正方形的边长为2，若，则（ ）
A．2B．C．4D．
4．已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
6．已知公差为负数的等差数列的前项和为，若是等比数列，则当取最大值时，（ ）
A．2或3B．2C．3D．4
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ）
A．若为互斥事件，则
B．若为互斥事件，则
C．若相互独立，则
D．若若，则
10．如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）
A．动点轨迹的长度为
B．三棱锥体积的最小值为
C．与不可能垂直
D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为
11．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．函数的值域为
B．函数的图象关于点成中心对称图形
C．函数的导函数的图象关于直线对称
D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
三、填空题
12．已知函数满足恒成立，且在区间上无最小值，则 ．
13．已知双曲线的左右顶点分别为，点是双曲线上在第一象限内的点，直线的倾斜角分别为，则 ；当取最小值时，的面积为 ．
14．已知函数有零点，当取最小值时，的值为 ．
四、解答题
15．如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点．
(1)求证：平面；
(2)平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小．
16．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
17．已知各项均不为0的数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若对于任意成立，求实数的取值范围．
18．如图，为坐标原点，为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于两点，直线交抛物线的准线于点，设抛物线在点处的切线为．
(1)若直线与轴的交点为，求证：；
(2)过点作的垂线与直线交于点，求证：．
19．微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线和曲线所围成的区域（称为曲边梯形）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形的面积小于梯形的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：．
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：；
(2)已知函数，其中．
①证明：对任意两个不相等的正数，曲线在和处的切线均不重合；
②当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
参考答案：
1．B
【分析】分别求两个集合，再求集合的混合运算.
【详解】，得，即，
，得，即，，
所以.
故选：B
2．C
【分析】由复数的除法运算易求出，再根据复数的几何意义即可得.
【详解】由可得；
所以可得，即；
即.
故选：C
3．B
【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标运算可得结果.
【详解】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：
由可得为的中点，所以，
易知，可得，
所以.
故选：B
4．A
【分析】根据椭圆离心率定义，对参数的取值进行分类讨论即可判断出结论.
【详解】由可得椭圆，此时离心率为，
此时充分性成立；
若椭圆的离心率为，当时，可得离心率为，解得，
即必要性不成立；
综上可知，“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件.
故选：A
5．A
【分析】结合图形可知，当时取得最小值，然后可解.
【详解】将圆化为，
圆心，半径，
因为，所以点在圆C内，
记圆心C到直线l的距离为d，则，
由图可知，当，即时，取得最小值，
因为，
所以的最小值为.
故选：A
6．B
【分析】利用等比数列的意义列式，用公差表示出，再确定数列的所有非负数项即可得解.
【详解】设等差数列的公差为，由是等比数列，
得，解得，则，
显然等差数列单调递减，当时，，当时，，
所以当取最大值时，.
故选：B
7．D
【分析】首先根据公式化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，即可化解求值.
【详解】由条件等式可知，，
整理为，则，
又，，
所以，，
所以
.
故选：D
8．C
【分析】根据给定条件，借助圆的对称性可得已知3个圆的圆心构成正三角形，由此建立函数关系，再利用导数求出最大值即得.
【详解】要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需考虑三个圆的圆心构成等边三角形的情况，
设三个半径为1的圆的圆心分别为，设被覆盖的圆的圆心为，如图，
设圆与交于交于交圆于，显然为正的中心，
设，则，
，又，
因此圆的最大半径为，令，求导得，
由，得，当时，，当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，，
所以被完全覆盖的最大的圆的半径为，
此时，即圆､圆､圆中的任一圆均经过另外两圆的圆心．
故选：C
【点睛】关键点睛：涉及几何图形最值问题，借助几何图形建立函数关系，再求出函数最值是关键.
9．ACD
【分析】根据互斥事件性质可求得A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确.
【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A正确；
对于B，由可得，
又为互斥事件，则，又，即B错误；
对于C，若相互独立，则,
所以，即C正确；
对于D，若，所以；
可得，
所以，即D正确.
故选：ACD
10．ABD
【分析】对A由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面,进而得到的轨迹为线段，对B，根据棱锥体积公式分析即可，对C举反例即可；对D，利用勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】对A，如图，令中点为,中点为,连接，
又正方体中，为棱的中点，可得,，
平面,平面,又，
且平面，平面平面,
又平面，且平面，平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），平面平面，而平面平面，
，即的轨迹为线段.
由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确；
对B，由正方体侧棱底面，所以三棱锥体积为，
所以面积最小时，体积最小，如图，，易得在处时最小，
此时,所以体积最小值为，故选项B正确；
对C，当为线段中点时，由可得,又中点为,中点为,
，而，,故选项C不正确；
对D，如图，当在处时，三棱锥的体积最大时，
由已知得此时,所以在底面的射影为底面外心，
,,,所以底面为直角三角形，
所以在底面的射影为中点，设为，如图，设外接球半径为,
由,,可得外接球半径，
外接球的表面积为，故选项D正确.
故选：ABD.
11．BCD
【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D.
【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误；
对于B，令，，
即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确；
对于C，由选项B知，，即，
两边求导得，即，
因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确；
对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称，
由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称，
因此，D正确.
故选：BCD
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
12．/
【分析】首先由条件确定是函数的最大值，再结合函数的周期的范围，联立后即可求解.
【详解】由题意可知，是函数的最大值，
则，，得，
且在区间上无最小值，所以，所以，
所以.
故答案为：
13．
【分析】根据双曲线的几何性质，斜率公式，以及基本不等式，即可分别求解.
【详解】设，则，可得，
又因为分别为双曲线的左右顶点，可得，
所以；
又由，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，解得，
所以，所以，
所以的面积为.
故答案为：；.
14．
【分析】首先将方程转化为，再通过构造几何意义，转化为求函数的最大值，再结合几何意义，即可求解.
【详解】设的零点为，则，即，
设为直线上任意一点，
坐标原点到直线的距离为，因为到原点的距离，
下求的最小值，令，则
在为减函数，在为增函数，即，
此时，所以的斜率为，
此时的最小值为，此时，
（此时）．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键点以及难点是构造几何意义，将点看成直线上的任一点，从而根据几何意义解决问题.
15．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，可得，再利用向量法证明，然后由线面垂直判定定理可证；
（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解.
【详解】（1）因为为正三角形，是中点，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
，
又在平面内且相交，故平面
（2）分别为的中点，，
又平面过且不过，平面．
又平面交平面于，故，进而，
因为是中点，所以是的中点．
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，，
设平面法向量为，
则，即，取，得，
则，
因为，所以.
16．(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
(2)，
(3)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论；
（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和；
（3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
【详解】（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率
即可得，
故，．
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值为；
且服从超几何分布：
故所求分布列为
可得
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到时，，两式相减得到，得到及均为公差为4的等差数列，结合等差数列的通项公式，进而得到数列的通项公式；
（2）由（1）求得，证得为恒成立，设，求得数列的单调性和最大值，即可求解.
【详解】（1）解：因为数列的前项和为，且，即，
当时，可得，
两式相减得，
因为，故，
所以及均为公差为4的等差数列：
当时，由及，解得，
所以，，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
因为对于任意成立，所以恒成立，
设，则，
当，即时，
当，即时，
所以，故，所以，
即实数的取值范围为.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线的方程为联立直线和抛物线方程求得，，即可得，得证；
（2）写出过点的的垂线方程，解得交点的纵坐标为，再由相似比即可得，即证得.
【详解】（1）易知抛物线焦点，准线方程为；
设直线的方程为
联立得，
可得，所以；
不妨设在第一象限，在第四象限，对于；
可得的斜率为
所以的方程为，即为
令得
直线的方程为，
令得．
又，所以
即得证．
（2）方法1：
由（1）中的斜率为可得过点的的垂线斜率为，
所以过点的的垂线的方程为，即，
如下图所示：
联立，解得的纵坐标为
要证明，因为四点共线，
只需证明（*）．
，
．
所以（*）成立，得证.
方法2：
由知与轴平行，
①
又的斜率为的斜率也为，所以与平行，
②，
由①②得，即得证.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设点法，从而得到，解出点的坐标，从而转化为证明即可.
19．(1)证明见解析
(2)① 证明见解析；②
【分析】（1）根据题，设过点作的切线分别交于，结合，即可得证；
（2）①求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合由（1）的结论，即可得证；
②根据题意，转化为时，在恒成立，
设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）解：在曲线取一点．
过点作的切线分别交于，
因为，
可得，即．
（2）解：①由函数，可得，
不妨设，曲线在处的切线方程为
，即
同理曲线在处的切线方程为，
假设与重合，则，
代入化简可得，
两式消去，可得，整理得，
由（1）的结论知，与上式矛盾
即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合．
②当时，不等式恒成立，
所以在恒成立，所以，
下证：当时，恒成立．
因为，所以
设
（i）当时，由知恒成立，
即在为增函数，所以成立；
（ii）当时，设，可得，
由知恒成立，即在为增函数．
所以，即在为减函数，所以成立，
综上所述，实数的取值范围是
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
0
1
2
3