新高考数学圆锥曲线62种题型第六节 双曲线方程与性质（原卷版）

这是一份新高考数学圆锥曲线62种题型第六节 双曲线方程与性质（原卷版），共15页。试卷主要包含了双曲线的定义，双曲线的标准方程和几何性质，双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点三角形的面积等内容，欢迎下载使用。

知识点归纳
1.双曲线的定义
(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
(2)其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①若ac，则集合P为空集.
2.双曲线的标准方程和几何性质
[常用结论]
1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a).
2.离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
3.若渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，则双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
5.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
6.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
题型归类
题型一 双曲线的定义及应用
例1 (1)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为________.
感悟提升 在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
题型二 双曲线的标准方程
例2 (1已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2eq \r(5)，点P(2，1)在C的一条渐近线上，则C的方程为( )
A.x2－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－y2＝1
C.eq \f(3x2,20)－eq \f(3y2,5)＝1 D.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1
答案 B
(2)(2023·潍坊调研)已知双曲线的离心率e＝eq \f(\r(5),2)，且该双曲线经过点(2，2eq \r(5))，则该双曲线的标准方程为________________.
感悟提升 1.用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根据条件求解.
2.与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)有相同渐近线时可设所求双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
题型三 双曲线的简单几何性质
角度1 渐近线
例3 (1)(2023·许昌模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq \r(5)，则双曲线C的渐近线方程为________.
(2)(2023·重庆诊断)设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C及其渐近线在第一象限分别交于A，B两点，O为坐标原点，若eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OF,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))，则双曲线C的渐近线方程为________________.
角度2 离心率
例4 (1)(2023·沈阳调研)已知O为坐标原点，双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A(a，b)，若|OA|＝|FA|，则双曲线C的离心率为( )
A.2 B.eq \r(3)
C.eq \r(2) D.eq \f(\r(5)＋1,2)
(2)(2023·烟台调研)已知F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P是双曲线C上在第一象限内的一点，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则双曲线C的离心率的取值范围为________.
感悟提升 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.
2.双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线可由eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.
训练3 (1)(2023·武汉调研)如图，已知F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A，B，且∠OAF＝90°，∠OBF＝∠OFB，则C的渐近线方程为________.
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，A，B分别为双曲线的左、右顶点，以AB为直径的圆与双曲线C的两条渐近线在第一、二象限分别交于P，Q两点，若OQ∥PF(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________.
题型四 双曲线几何性质的综合应用
例5 (1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝36的左、右焦点，A是双曲线C右支上(顶点除外)任意一点，若∠F1AF2的角平分线与以AF1为直径的圆交于点B，则△BF1F2的面积的最大值为( )
A.18eq \r(2) B.18eq \r(3)
C.36eq \r(2) D.36eq \r(3)
(2)(2022·上海春季高考)已知双曲线Γ：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)，任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，都有x1x2－y1y2＞0成立，则实数a的取值范围是________.
感悟提升 1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识面较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.
2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
题型五 椭圆 与双曲线的常用二级结论
1.椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的参数方程是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝acs θ，,y＝bsin θ.))
2.(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)焦半径公式|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0，F1，F2分别为左、右焦点.
(2)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b＞0)的焦半径公式
|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|.
3.双曲线的渐近线的相关结论
(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x(a＞0，b＞0)，即eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0).
(2)双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b.
(3)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线y＝±eq \f(b,a)x的斜率k与离心率e的关系：e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq \r(1＋k2).
4.圆锥曲线的焦点三角形的相关结论
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中
①当P为短轴端点时，θ最大.
②S＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，
当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a＋c).
(2)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝eq \f(b2,tan \f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
例 (1)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为( )
A.5 B.eq \f(3\r(5),5)
C.eq \f(\r(5),2) D.eq \r(5)
[优解]由双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
可知渐近线的斜率k＝±2.
根据结论(3)，得e＝eq \r(1＋k2)＝eq \r(1＋4)＝eq \r(5).
(2)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是( )
A.eq \f(16\r(3),3) B.eq \f(32\r(3),3)
C.16eq \r(3) D.32eq \r(3)
答案 A
解析 [通法]由椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的焦点为F1，F2
知|F1F2|＝2c＝6，
在△F1PF2中，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则|PF1|＋|PF2|＝m＋n＝2a＝10.
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2，
即(2c)2＝m2＋n2－2mncs 60°，
即36＝(m＋n)2－3mn＝100－3mn，解得mn＝eq \f(64,3).
所以S△F1PF2＝eq \f(1,2)·|PF1|·|PF2|·
sin∠F1PF2＝eq \f(1,2)mnsin 60°＝eq \f(16\r(3),3).
[优解]
训练 (1)经过点M(2eq \r(3)，2eq \r(5))且与双曲线eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )
A.eq \f(x2,18)－eq \f(y2,12)＝1 B.eq \f(x2,12)－eq \f(y2,18)＝1
C.eq \f(y2,18)－eq \f(x2,12)＝1 D.eq \f(y2,12)－eq \f(x2,18)＝1
答案 D
解析
(2)已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在双曲线的右支上有一个点P，满足|PF1|＝3|PF2|，则点P的横坐标为________.
课时作业
一、单选题
1．若双曲线的一个焦点为，则（ ）．
A．B．C．D．8
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与的一条渐近线的一个交点为.若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线相交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．设双曲线的焦距为，左、右焦点分别是，，点P在C的右支上，且，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．设双曲线的右焦点为，过作垂直于轴的直线交于，两点，若以线段为直径的圆与的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，，则（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
7．在平面直角坐标系中，为了使方程表示准线垂直于轴的圆锥曲线，实数的取值范围可以是（ ）
A．B．C．D．
8．设双曲线的右焦点为，直线为的一条斜率为正数的渐近线，为坐标原点.若在的左支上存在点，使点与点关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）.
A．B．的面积为
C．双曲线的离心率为D．直线的方程是
三、填空题
9．双曲线的焦距为______.
10．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一点，且，,则 ________．
11．设点，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过点作直线l与双曲线C的左、右支分别交于A，B两点，若且，则双曲线C的离心率为______.
12．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a＞0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为________．
四、解答题
13．已知命题直线经过第二､三､四象限，命题：方程表示双曲线，若为真命题，求实数的取值范围.
14．（1）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离4，求抛物线的标准方程；
（2）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，且，求双曲线C的标准方程．
15．已知双曲线C：与椭圆有相同的焦点，且过点，直线交双曲线于A、B两点，且原点O到直线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）证明：.
16．双曲线的离心率，且过点
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程.
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
对称性
对称轴： ；对称中心：
顶点
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
离心率
实虚轴
线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫作双曲线的实半轴长，b叫作双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系