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四川省绵阳市2023届高三上学期二模数学（理）试题（Word版附解析）
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这是一份四川省绵阳市2023届高三上学期二模数学（理）试题（Word版附解析），文件包含四川省绵阳市2023届高三上学期二模数学理试题原卷版docx、四川省绵阳市2023届高三上学期二模数学理试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（ ）
A. 64B. 65C. 64.5D. 66
4. 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
5. 涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（ ）
A. 6B. C. D.
6. 经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（ ）米．
A. B. 2C. D. 4
7. 下列关于随机变量X的四种说法中，正确的编号是（ ）
①若X服从二项分布，则；
②若从3男2女共5名学生干部中随机选取3名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布，且；
③若X的方差为，则；
④已知，，则．
A. ②③B. ①③C. ①②D. ①④
8. 若，则（ ）
A. B. C. D. 1
9. 若倾斜角为锐角的直线与圆交于、两点，当三角形的面积最大时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
10. 将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知，对任意正数x都有恒成立，则t的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12. 函数满足：①关于原点对称：②，都有；③当时，；若，直线与无交点，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13. 已知向量，的夹角为，，则向量在方向上的投影为 __．
14. 绵阳中学食堂，以其花样繁多的饭菜种类和令人难忘的色香味使大批学子醉倒在它的餐盘之下，学子们不约而同地将其命名为“远航大酒楼”．“远航大酒楼”共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三组去往不同的楼层．其中甲同学不去二楼，则一共有______种不同的分配方式．
15. 已知等差数列，为其前n项和，若，，成等比数列，则的最小值为______．
16. 已知双曲线C的方程为：，离心率为，过C的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，且．过点P作的角平分线，在角平分线上的投影为点H，则的最大值为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知，．
（1）求边b的长；
（2）延长BC至D，使得，连接AD．已知为锐角，且它角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为．求长．
18. 抗体药物研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：），体内抗体数量为y（单位：）.
（1）根据经验，我们选择作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x回归方程，将两边取对数，得，可以看出与具有线性相关关系，试根据参考数据建立关于的回归方程，并预测抗体药物摄入量为时，体内抗体数量的值；
（2）经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布，那这种抗体药物的有效率超过0.54的概率约为多少？
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
②若随机变量，则有，，；
③取.
19. 数列的前n项和满足，且．
（1）求通项公式；
（2），时，，求的前n项和．
20. 已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，使得，求的取值范围．
21. 已知椭圆C：的焦距为4，左右顶点分别为，，椭圆上异于，的任意一点P，都满足直线，的斜率之积为．
（1）若椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数m的取值范围；
（2）过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q．那么，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．
23. 已知函数R，且的解集为[-1，1].
（1）求m的值；
（2）若，且，求证：.
29.2
12
16
34.4
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为（ ）
A. 64B. 65C. 64.5D. 66
4. 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
5. 涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（ ）
A. 6B. C. D.
6. 经研究发现：某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得信息素浓度y满足函数（A，K为非零常数）．已知释放1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a，则释放信息素4秒后，信息素浓度为的位置距释放处的距离为（ ）米．
A. B. 2C. D. 4
7. 下列关于随机变量X的四种说法中，正确的编号是（ ）
①若X服从二项分布，则；
②若从3男2女共5名学生干部中随机选取3名学生干部，记选出女学生干部的人数为X，则X服从超几何分布，且；
③若X的方差为，则；
④已知，，则．
A. ②③B. ①③C. ①②D. ①④
8. 若，则（ ）
A. B. C. D. 1
9. 若倾斜角为锐角的直线与圆交于、两点，当三角形的面积最大时，直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
10. 将的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到的图象，若在上单调递增，则正数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知，对任意正数x都有恒成立，则t的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12. 函数满足：①关于原点对称：②，都有；③当时，；若，直线与无交点，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13. 已知向量，的夹角为，，则向量在方向上的投影为 __．
14. 绵阳中学食堂，以其花样繁多的饭菜种类和令人难忘的色香味使大批学子醉倒在它的餐盘之下，学子们不约而同地将其命名为“远航大酒楼”．“远航大酒楼”共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三组去往不同的楼层．其中甲同学不去二楼，则一共有______种不同的分配方式．
15. 已知等差数列，为其前n项和，若，，成等比数列，则的最小值为______．
16. 已知双曲线C的方程为：，离心率为，过C的右支上一点，作两条渐近线的平行线，分别交x轴于M，N两点，且．过点P作的角平分线，在角平分线上的投影为点H，则的最大值为______．
三、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 在三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c．已知，．
（1）求边b的长；
（2）延长BC至D，使得，连接AD．已知为锐角，且它角平分线与AB交于点E，若外接圆半径为．求长．
18. 抗体药物研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x（单位：），体内抗体数量为y（单位：）.
（1）根据经验，我们选择作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量x回归方程，将两边取对数，得，可以看出与具有线性相关关系，试根据参考数据建立关于的回归方程，并预测抗体药物摄入量为时，体内抗体数量的值；
（2）经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布，那这种抗体药物的有效率超过0.54的概率约为多少？
附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
②若随机变量，则有，，；
③取.
19. 数列的前n项和满足，且．
（1）求通项公式；
（2），时，，求的前n项和．
20. 已知．
（1）讨论的单调性；
（2）若，，使得，求的取值范围．
21. 已知椭圆C：的焦距为4，左右顶点分别为，，椭圆上异于，的任意一点P，都满足直线，的斜率之积为．
（1）若椭圆上存在两点，关于直线对称，求实数m的取值范围；
（2）过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，过原点O作直线MN的垂线并延长交椭圆于点Q．那么，是否存在实数k，使得为定值？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．
22. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．
23. 已知函数R，且的解集为[-1，1].
（1）求m的值；
（2）若，且，求证：.
29.2
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