2023-2024学年江苏省南通市如皋市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年江苏省南通市如皋市八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达22纳米(即0.000000022米).则数据0.000000022用科学记数法表示为( )
A. 0.22×10−7B. 2.2×10−8C. 22×10−9D. 22×10−10
3.如图，将△ABC沿BC向右平移得到△DEF，若BC=5，BE=2，则CF的长是( )
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 5
4.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 6，8，10C. 3，4，8D. 4，5，6
5.下列各式中是最简二次根式的是( )
A. 3B. 2.5C. 9D. 4
6.下列运算正确的是( )
A. a3−a2=aB. a2⋅a=a3C. (a2)3=a5D. a6÷a2=a3
7.如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是( )
A. ASAB. SASC. AASD. SSS
8.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=2，BC=1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )
A. 4+4 15B. 8+4 17C. 4+4 17D. 8+4 15
9.在下面的正方形分割方案中，可以验证(a+b)2=(a−b)2+4ab的图形是( )
A.
B.
C.
D.
10.我们把形如x+abx=a+b(a,b不为零)，且两个解分别为x1=a，x2=b的方程称为“十字分式方程”.如，x+3x=4为“十字分式方程”，其可转化为x+1×3x=1+3，则x1=1，x2=3.若k>2时，关于x的“十字分式方程”x+1−1−k2x+1=2k的两个解分别为x1，x2，且x1A. 12B. 14C. −2D. 2
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.若 x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
12.分解因式：a3−ab2=______.
13.已知xy=32，则x+yx−y的值为______.
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=58∘，将∠A折叠，使点A落在边BC上的A′处，折痕为CD，则∠BDC=______ ∘.
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是高，AB=4，AC=2，则CD的长为______.
16.如图，在Rt△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部交于点G，作射线AG交BC于点D.若AC=3，BC=4，则CD的长为______.
17.一项工作由甲单独做，需a天完成；若由甲、乙两人合作，则可提前1天完成，则乙单独完成该项工作需要的天数为______.
18.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90∘，AB=2，AD=3，点M，N分别在边BC，CD上，当∠AMN+∠ANM=120∘时，△AMN的周长最小，则它的周长的最小值为______.
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：
(1)|−2023|+π0−(16)−1+ 16；
(2) 3( 3−2)− 12÷ 3+2− 3.
20.(本小题10分)
计算：
(1)a(2−a)+(a+1)(a−1)；
(2)x2x2+2x+1÷(x−1x+1).
21.(本小题11分)
如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,1)，B(2,0)，C(4,3).
(1)在平面直角坐标系中画出△ABC；
(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______.
(3)已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标.
22.(本小题10分)
张师傅近期准备换车，他看中了价格相同的两款国产车.
(1)新能源车每千米行驶费用为______元(用含a的代数式表示)；
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出这两款车的每千米行驶费用.
23.(本小题10分)
如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E.
(1)求证：AC=AD；
(2)请用无刻度的直尺作出CD边的中点F(不写作法，保留作图痕迹).
24.(本小题12分)
认真观察下面这些算式：
①32−12=8=8×1，
②52−32=16=8×2，
③72−52=24=8×3，
④92−72=32=8×4，
…
完成下列问题：
(1)照上面的规律，算式⑤为______；
(2)上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，若记算式中的前一个奇数为2n+1，请用含n的式子表示这个规律，并证明；
(3)请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否正确.
25.(本小题13分)
某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究.
如图，在等边三角形ABC中，过点B作射线BM//AC，在射线CB上取一点P(不与点B，C重合)，作∠APE=60∘，∠APE的边PE交射线BM于点E.
(1)【动手操作】
如图1，若点P在线段CB上，图中与∠EPB相等的角为______；
(2)【问题探究】
在(1)的基础上，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
当点P在射线CB上移动时，用等式表示线段BC，BP，BE之间的数量关系，并说明理由.
26.(本小题14分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为△ABC所在平面内一点，连接AD，BD.
(1)作△ADE(点A，D，E按逆时针排列)，使AD=AE，∠DAE=∠BAC.
①如图1，若点D为△ABC内一点，连接CE.请找出图中的一对全等三角形，并给出证明；
②如图2，若∠BAC=90∘，点D为线段BC上一点，判断BD，DC，AD之间的数量关系并证明；
(2)若∠BAC=90∘，∠ADB=90∘，AD=2，BD=4，求CD的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C.
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：0.000000022=2.2×10−8.
故选：B.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：由平移的性质可知：CF=BE=2，
故选：A.
根据经过平移，对应点所连的线段相等解答即可．
本题考查的是平移的性质，掌握经过平移，对应点所连的线段平行且相等是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A.12+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B.62+82=102，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C.32+42≠82，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D.42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：B.
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形，逐一判定即可．
本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，然后进行判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、 3是最简二次根式，符合题意；
B、 2.5= 2510=5 1010，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 9=3，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 4=2，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A.
根据最简二次根式的定义解答即可．
本题考查的是最简二次根式，熟知(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A.a3−a2，无法合并，故此选项不合题意；
B.a2⋅a=a3，故此选项符合题意；
C.(a2)3=a6，故此选项不合题意；
D.a6÷a2=a4，故此选项不合题意．
故选：B.
直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选A.
根据图示，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．
本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图，标上必要的字母，
∵AC=2，BC=1，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，
∴AD=AC=2，CD=2AC=4，
在Rt△BCD中，
由勾股定理，得BD2=BC2+CD2=12+42=17，
所以BD= 17，
所以“数学风车”的外围周长是：(2+ 17)×4=8+4 17.
故选：B.
由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延长一倍，从而求得风车的一个轮子两边长的和，进一步求得四个即得到这个风车的外围周长．
本题是勾股定理在实际情况中应用，理解题意，注意隐含条件的使用是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了乘法公式几何意义，关键是能根据图形准确列出整式．根据图形进行列式表示图形的面积即可．
【解答】
解：∵由选项A可得a2−b2=(a+b)(a−b)，
∴选项A不符合题意；
∵由选项B可得(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴选项B不符合题意；
∵由选项C可得(a−b)2=a2−2ab+b2.
∴选项C不符合题意；
∵由选项D可得(a+b)2=(a−b)2+4ab，
∴选项D符合题意；
故选D.
10.【答案】A
【解析】解：原方程变为x+1+(k+1)(k−1)x+1=(k+1)+(k−1)，
∴x1+1=k−1，x2+1=k+1，
∴x1=k−2，x2=k，
∴x22x1+4=k2k=12.
故选：A.
类比题目中“十字分式方程”的答题方法即可求解．
本题考查分式方程的解，理解“十字分式方程”的定义以及题目中的答题方法是解题的关键．
11.【答案】x≥5
【解析】解：由题意得：x−5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5.
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】a(a+b)(a−b)
【解析】解：a3−ab2
=a(a2−b2)
=a(a+b)(a−b).
故答案为：a(a+b)(a−b).
首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
13.【答案】5
【解析】解：∵xy=32，
∴设x=3k，则y=2k，
∴x+yx−y=3k+2k3k−2k=5，
故答案为：5.
利用设k法进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
14.【答案】103
【解析】解：∵∠ACB=90∘，
由折叠可知，
∠ACD=12∠ACB=45∘.
又∵∠A=58∘，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=103∘.
故答案为：103.
根据折叠先求出∠ACD的度数，再利用外角定理即可解决问题．
本题考查轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
15.【答案】 3
【解析】解：∵∠ACB=90∘，AB=4，AC=2，
∴BC= AB2−AC2= 42−22=2 3，
∵CD是△ABC的高，
∴S△ABC=12AB⋅CD=12AC⋅BC，
∴CD=AC⋅BCAB=2×2 34= 3，
即CD的长为 3，
故答案为： 3.
由勾股定理求出BC的长，再由三角形面积求出CD的长即可．
本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和三角形面积公式是解题的关键．
16.【答案】32
【解析】解：如图，过点D作DT⊥AB于点T.
∵AD平分∠CAB，DT⊥AB，DC⊥AC，
∴DT=DC，
在Rt△ACB中，AB= AC2+BC2= 32+42=5，
∵S△ABC=12⋅AC⋅BC=12⋅AB⋅DT+12⋅AC⋅DC，
∴DC=3×43+5=32.
故答案为：32.
如图，过点D作DT⊥AB于点T.证明DT=DC，利用面积法求解．
本题考查作图-基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，学会利用面积法解决问题．
17.【答案】a2−a
【解析】解：假设工作总量为“1”，则甲的工作效率为1a，
∴乙的工作效率为1a−1−1a=1a2−a，
∴乙单独完成该项工作需要天数为(a2−a)天．
先假设工作总量为单位1，即可推出甲的工作效率，利用总的工作效率减去甲的工作效率即可推出乙的工作效率，最后可得乙的工作时间．
本题主要考查了工程问题的相关知识点，熟练利用工程问题的相关公式是解题的关键．
18.【答案】2 19
【解析】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A′′，连接A′A′′，交BC于M′，交CD于N′，则A′A′′即为△AMN的周长最小值，作A′H⊥DA交DA的延长线于H，
∵当∠AMN+∠ANM=120∘时，△AMN的周长最小，
∴∠AM′N′+∠AN′M′=120∘，
∴2∠A′AM′+2∠N′AA′′=120∘，
即∠A′AM′+∠N′AA′′=60∘，
∴∠A′AA′′=120∘，
∴∠HAA′=60∘，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H=30∘，
由对称性，知AA′=2AB=4，AA′′=2AD=6，
在Rt△A′HA中，
AH=12AA′=2，
由勾股定理，得A′H= 42−22=2 3，
在Rt△A′HA′ ′中，
A′′H=AA′′+AH=6+2=8，
由勾股定理，得A′A′′= A′H2+A′′H2= (2 3)2+82=2 19.
故答案为：2 19.
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A′′，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可．
本题考查轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
19.【答案】解：(1)原式=2023+1−6+4
=2022；
(2)原式=3−2 3− 12÷3+2− 3
=3−2 3−2+2− 3
=3−3 3.
【解析】(1)先利用绝对值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，然后把 16化简后进行有理数的加减运算；
(2)先进行二次根式的乘法和除法运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)原式=2a−a2+a2−1
=2a−1；
(2)原式=x2(x+1)2÷(x2+xx+1−1x+1)
=x2(x+1)2÷x2+x−1x+1
=x2(x+1)2×x+1x2+x−1
=x2(x+1)(x2+x−1).
【解析】(1)去括号合并同类项即可；
(2)先计算括号，再计算乘除．
本题考查分式的混合运算，整式的混合运算等知识，解题的关键是志趣网分式的混合运算法则，整式的混合运算法则．
21.【答案】(−4,3)
【解析】解：(1)△ABC如下图所示．
(2)∵点D与点C关于y轴对称，C(4,3)，
∴D点的坐标与C点的坐标横坐标相反，纵坐标相同，即为(−4,3).
(3)∵P为x轴上一点，且△ABP的面积为1，
即12BP⋅yA=1，
∴12BP×1=1，
∴BP=2，
∵B(2,0)，
∴点P的横坐标为：2+2=4或2−2=0，
∴点P的坐标为(4,0)或(0,0).
(1)先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形
(2)根据关于y轴对称的点的坐标关系：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案
(3)由P为x轴上一点，△ABP的面积为1，可得12BP⋅yA=1，从而可得答案．
本题主要考查的是坐标系内描点，网格三角形的面积计算，轴对称的性质，
22.【答案】36a 36a
【解析】解：(1)由图可得，
新能源车每千米行驶费用为60×0.6a=36a(元)，
故答案为：36a；
(2)由题意可得，
40×9a=36a+0.54，
解得a=600，
经检验，a=600是原分式方程的根，
∴40×9600=0.6，36600=0.06，
答：燃油车每千米行驶费用是0.6元，新能源车每千米行驶费用是0.06元．
(1)根据图中的信息，可以用含a的代数式表示出新能源车每千米行驶费用；
(2)根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车每千米行驶费用多0.54元，可以列出相应的分式方程，然后求解，注意分式方程要检验．
本题考查列代数式、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
23.【答案】(1)证明：在△ACB和△ADE中，
AB=AE∠ABC=∠AEDBC=ED，
∴△ACB≌△ADE(SAS)；
(2)解：如图，点F即为所求．
【解析】(1)根据SAS证明三角形全等即可；
(2)连接BD，CE交于点O，连接AO，延长AO交CD于点F，点F即为所求(可以证明OC=OD，结合AC=AD，推出AO垂直平分线段CD).
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，
24.【答案】112−92=40=8×5
【解析】解：(1)32−12=8=8×1，
②52−32=16=8×2，
③72−52=24=8×3，
④92−72=32=8×4，
∴⑤112−92=40=8×5，
故答案为：112−92=40=8×5；
(2)这个规律为：(2n+1)2−(2n−1)2=8n，
证明：(2n+1)2−(2n−1)2
=(2n+1+2n−1)(2n+1−2n+1)
=4n⋅2
=8n；
(3)“两个连续偶数的平方差能被8整除”的说法不正确，理由如下：
设两个连续偶数为2n，2n+2，
∴(2n+2)2−(2n)2
=4n2+8n+4−4n2
=8n+4
=4(2n+1)，
∴两个连续偶数的平方差是4的倍数，而不是8的倍数，
∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”的说法不正确．
(1)根据已知条件中的等式，找出规律进行解答即可；
(2)根据已知条件中的规律，进行证明即可；
(3)设设两个连续偶数为2n，2n+2，求出它们的平方差，进行判断即可．
本题主要考查了列代数式，解题关键是找出规律，列出算式．
25.【答案】∠PAC
【解析】解：(1)∵∠APB=∠BCA+∠PAC=∠APE+∠BEP，∠APE=∠ACB=60∘，
∴∠EPB=∠PAC，
故答案为：∠PAC；
(2)PA=PE，理由如下：
如图，延长MB至H，使BH=BP，连接PH，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ACB=∠ABC=60∘，
∵BM//AC，
∴∠ACB=∠CBH=60∘，
又∵BP=BH，
∴△BPH是等边三角形，
∴PH=BP=BH，∠H=60∘=∠ABC=∠APE=∠BPH，
∴∠APB=∠EPH，
∴△APB≌△EPH(ASA)，
∴AP=AE；
(3)当点P在BC上时，BC=BP+BE，当点P在线段CB的延长线上时，BE=BP+BC，理由如下：
当点P在BC上时，由(1)可知：△APB≌△EPH，
∴AB=EH，
∴BC=EH=EB+BH=BE+BP；
当点P在线段CB的延长线上时，如图2，在BE上截取BH=BP，连接PH，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ACB=∠ABC=60∘，
∵BM//AC，
∴∠ACB=∠PBH=60∘，
又∵BP=BH，
∴△BPH是等边三角形，
∴PH=BP=BH，∠BHP=60∘=∠ABC=∠APE=∠BPH，
∴∠APB=∠EPH，∠EHP=∠ABP=120∘，
∴△APB≌△EPH(ASA)，
∴EH=AB，
∴BE=BH+EH=BP+BC.
(1)由外角的性质可求解；
(2)由“ASA”可证△APB≌△EPH，可得AP=AE；
(3)分两种情况讨论，由“ASA”可证△APB≌△EPH，可得EH=AB，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26.【答案】解：(1)①△ABD≌△ACE，理由如下：
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
②2AD2=DC2+BD2；理由如下：
如图2，连接CE，
∵AB=AC，AD=AE，∠DAE=∠BAC=90∘，
∴∠ABC=45∘=∠ACB，DE= 2AD，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ABC=∠ACE=45∘，
∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=90∘，
∴DE2=DC2+CE2，
∴2AD2=DC2+BD2；
(2)解：当点D在AB下方时，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，
∵∠ADB=90∘，AD=2，BD=4，
∴AB= AD2+BD2= 4++16=2 5=AC，
∵S△ABD=12AB⋅HD=12×AD⋅BD，
∴2×4=2 5DH，
∴DH=4 55，
∴AH= AD2−DH2= 4−165=2 55，
∵DH⊥AB，DN⊥AC，∠BAC=90∘，
∴四边形ANDH是矩形，
∴AH=DN=2 55，AN=HD=4 55，
∴CN=6 55，
∴CD= CN2+DN2= 365+45=2 2，
当点D在AB的下方时，同理可求：CD′=2 10，
综上所述：CD的长为2 2或2 10.
【解析】(1)①由“SAS”可证△ABD≌△ACE；
②由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD=CE，∠ABC=∠ACE=45∘，由勾股定理可求解；
(2)分两种情况讨论，由勾股定理可求AB的长，由面积法可求DH的长，由勾股定理可求CD的长．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．燃油车
油箱容积：40升
油价：9元/升
续航里程：a千米
每千米行驶费用：40×9aπ
新能源车
电池电量：60千瓦时
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
每千米行驶费用：______元