2023-2024学年河南省新乡市封丘重点中学高一（下）开学数学试卷（2）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省新乡市封丘重点中学高一（下）开学数学试卷（2）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|2x≥4}，则A∩B=( )
A. [−1,3]B. [2,+∞)C. [2,3]D. [−1,2]
2.命题“∀x>0，x2+x>0”的否定是( )
A. ∃x>0，x2+x>0B. ∃x>0，x2+x≤0
C. ∀x>0，x2+x≤0D. ∀x≤0，x2+x>0
3.已知向量a=(1 , 2)，b=(m , −1)，且(a+b)⊥a，则实数m等于( )
A. −1B. 2C. −3D. 4
4.已知f(1x)=1x+1，则f(x)的解析式为( )
A. 1x+1B. x+1xC. xx+1D. x+1
5.若cs(x−π6)=14，则sin(2x+π6)=( )
A. 158B. 78C. − 158D. −78
6.若两个正实数x，y满足4x+1y=1，对这样的x，y，不等式x4+y>m2−3m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. (−1,4)B. (−4,1)
C. (−∞,−4)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(4,+∞)
7.若函数f(x)=x+ax(a∈R)在区间(1,2)上恰有一个零点，则a的值可以是( )
A. −2B. 0C. −1D. 3
8.将函数f(x)=2sinxcsx−cs2x的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是
( )
A. 函数g(x)的最小正周期为2πB. 函数g(x)的图象关于直线x=π12对称
C. 函数g(x)的图象关于点(π4,0)对称D. 函数g(x)在区间[−π3,0]上单调递增
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a，b，c∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若a>b，则a2>b2B. 若a>b，则a13>b13
C. 若a>b>0，则ac2>bc2D. 若a>b>0，则ba10.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可能是( )
A. 2B. −2C. 1D. 0
11.对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间[m,n]⊆D，同时满足下列条件：①f(x)在[m,n]上是单调的；②当定义域是[m,n]时，f(x)的值域也是[m,n]，则称[m,n]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的有( )
A. f(x)=2x3+1B. f(x)=2xC. f(x)=ex−2D. f(x)=lnx+1
12.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，且f(1)=1，则( )
A. f(0)=0B. f(−1)=−e2
C. exf(x)为奇函数D. f(x)在(0,+∞)上具有单调性
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)的图象过点(12,18)，则f(x)= ______．
14.已知向量a=(m,1)，b=(4−n,2)，m>0，n>0，若a/​/b，则1m+8n的最小值为 ．
15.已知命题“∃x∈R，ax2−2ax−3≥0”为假命题，则a取值范围为______．
16.已知函数f(x)=3 4−x−a(13)x,x≤0−lg9x,x>0，若f(x)的图象上存在关于直线y=x对称的两个点，则a的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1)0.027−13−(−181)0−10lg3+0.2552×0.5−4；
(2)lg25−lg2×lg410+2lg2．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|−2≤x≤4}，B={x|2mx−3<2}．
(1)当m=1时，求A∩B，B∪(∁RA)；
(2)当m>0，A∪B=B时，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(csB+csC)+(b+c)cs(B+C)=0．
(1)求A；
(2)若D为线段BC延长线上的一点，且BA⊥AD，BD=3CD，求sin∠ACD．
20.(本小题12分)
已知a→=(2sinx,cs2x)，b→=( 3csx,2)，f(x)=a⋅b．
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值．
21.(本小题12分)
如图，某公园摩天轮的半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮做匀速转动，每6min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．
(1)已知在时刻t(单位：min)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h(其中A>0，ω>0，|φ|<π)，求函数f(t)解析式及8min时点P距离地面的高度；
(2)当点P距离地面(60+25 3)m及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩18min，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
22.(本小题12分)
已知定义域为R的函数f(x)=b−2x2x+a是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对于任意t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，求k的范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x|−1≤x≤3}，B={x|x≥2}，
∴A∩B=[2,3]．
故选：C．
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x>0，x2+x≤0，
故选：B．
根据全称命题的否定为特称命题求解．
本题主要考查含有量词的命题的否定，属基础题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，向量a=(1 , 2)，b=(m , −1)，
则a+b=(1+m,1)，
若(a+b)⊥a，则有(a+b)⋅a=(1+m)×1+2=0，
解可得m=−3；
故选：C．
根据题意，由向量a、b的坐标可得a+b=(1+m,1)，又由向量垂直与向量数量积的关系可得(a+b)⋅a=(1+m)×1+2=0，解可得m的值，即可得答案、
本题考查向量数量积的坐标计算公式，关键是在掌握向量垂直与向量数量积的关系．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数解析式的求法，熟练掌握换元法求函数解析式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
利用换元法，令t=1x，可得f(t)的解析式，从而得解．
【解答】
解：令t=1x，则x=1t，
∴f(t)=11t+1=tt+1，
∴f(x)=xx+1．
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：因为cs(x−π6)=14，
所以sin(2x+π6)=sin[2(x−π6)+π2]=cs2(x−π6)
=2cs2(x−π6)−1
=2×(14)2−1
=−78．
故选：D．
由sin(2x+π6)=sin[2(x−π6)+π2]=cs2(x−π6)，然后利用二倍角公式求解即可．
本题考查了三角函数的求值问题，二倍角公式以及诱导公式的应用，考查了逻辑推理与运算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由x4+y=(x4+y)(4x+1y)=2+4yx+x4y≥2+2=4，当且仅当“x=4y”时取等号，
故m2−3m<4，解得−1故选：A．
利用基本不等式可把问题转化为解不等式m2−3m<4，由此容易得解．
本题考查基本不等式的运用及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由f(x)=x+ax=0可得，a=−x2，
由函数f(x)=x+ax(a∈R)在区间(1,2)上恰有一个零点，可知a=−x2在(1,2)只有一个零点，
当x∈(1,2)时，y=−x2∈(−4,−1)，
∴−4故选：A．
由已知可转化为a=−x2在(1,2)只有一个零点，然后结合二次函数的性质可求a的范围．
本题主要考查了函数零点的简单应用，体现了转化思想的应用．
8.【答案】D
【解析】解：将函数f(x)=2sinxcsx−cs2x=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g(x)= 2sin[2(x+π3)−π4]= 2sin(2x+5π12)的图象，
可得函数g(x)的最小正周期为T=2π2=π，故A错误；
令x=π12，求得g(π12)= 2sin7π12< 2，故B错误；
令x=π4，求得g(π4)= 2sin11π12≠0，故C错误；
在[−π3,0]上，2x+5π12∈(−π4,5π12)，可得g(x)= 2sin(2x+5π12)的图象单调递增，故D正确．
故选：D．
利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，取a=0>b=−1，但a2=0对于B，若a>b，则a−b>0,a13−b13=a−b(a13)2+a13b13+(b13)2=a−b(a13+12b13)2+34b23>0，即a13>b13，故B正确；
对于C，取a>b>0=c，但ac2=bc2=0，故C错误；
对于D，若a>b>0，则ba−b+1a+1=b(a+1)−a(b+1)a(a+1)=b−aa(a+1)<0，即ba故选：BD．
对于AC，分别取a=0>b=−1、a>b>0=c，即可推翻结论；对于BD，可以用作差法进行判断即可．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查利用函数的单调性求函数的最值，考查分类讨论的数学思想，是基础题．
由已知可得a≠0，对a分类可得函数的单调性，求得最值，再由最大值与最小值的差为2列式求解a值．
【解答】
解：由题意a≠0，当a>0时，y=ax+1在[1,2]上单调递增，
有(2a+1)−(a+1)=2，解得a=2；
当a<0时，y=ax+1在[1,2]上单调递减，
有(a+1)−(2a+1)=2，解得a=−2．
综上知a=±2．
故选：AB．
11.【答案】BC
【解析】解：A.f(x)是R上的增函数，
若满足条件则f(m)=mf(n)=n，
即m，n是方程f(x)=x的两个不同的根，
则2x3+1=x，得2x3−x+1=0，
设g(x)=2x3−x+1，则g′(x)=6x2−1=0，
由g′(x)=0得x=± 66，且当x= 66时，函数g(x)取得极小值，此时g( 66)>0，即g(x)=0只有一个根，不满足条件．
B.f(x)在(0,+∞)和(−∞,0)上是减函数，
则f(m)=nf(n)=m，即2m=n2n=m，得mn=2，则m，n同号，当m=1时，n=2，此时满足条件．
C.f(x)是R上的增函数，
若满足条件则f(m)=mf(n)=n，
即m，n是方程f(x)=x的两个不同的根，
由ex−2=x，得ex=x+2，
作出函数y=ex和y=x+2，则两个函数有两个交点，满足条件，
D.f(x)是R上的增函数，
若满足条件则f(m)=mf(n)=n，
即m，n是方程f(x)=x的两个不同的根，
由lnx+1=x，得lnx−x+1=0，
设g(x)=lnx−x+1，(x>0)，
则g′(x)=1x−1=1−xx，
由g′(x)=0得x=1，且当x=1时，函数g(x)取得极大值，此时g(1)=ln1−1+1=0，
即g(x)=0只有一个根，不满足条件．
故存在“和谐区间”的函数是BC，
故选：BC．
根据和谐区间的定义，建立方程，转化为对应方程有两个不同的根即可．
本题主要考查函数与方程的应用，结合条件建立方程，利用导数或数形结合判断交点个数是解决本题的关键．难度中等．
12.【答案】ABC
【解析】解：∵f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，
∴ex+yf(x+y)=exf(x)+eyf(y)，①
令x=y=0，得e0f(0)=2e0f(0)，
∴f(0)=0，A正确；
∵f(1)=1，令x=1，y=−1，得e0f(0)=ef(1)+e−1f(−1)，即e+f(−1)e=0，
∴f(−1)=−e2，B正确；
在①中，令y=−x，
则e0f(0)=exf(x)+e−xf(−x)=0，
∴exf(x)为奇函数，C正确；
在①中，令x=y=12，得ef(1)=e=2e12f(12)⇒f(12)= e2<1=f(1)；
令x=y=1，得e2f(2)=2ef(1)=2e⇒f(2)=2e<1=f(1)，
∴f(x)在(0,+∞)上不具有单调性，D错误．
故选：ABC．
依题意，得ex+yf(x+y)=exf(x)+eyf(y)，通过对x、y的赋值，对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】x3
【解析】解：设f(x)=xα，且f(x)的图象过点(12,18)，
∴(12)α=18，∴α=3，
∴f(x)=x3．
故答案为：x3．
根据幂函数的解析式即可得出答案．
本题考查了幂函数的定义，是基础题．
14.【答案】92
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值及平面向量共线的充要条件，属于基础题．
由a/​/b，可得：n+2m=4，则1m+8n=14(n+2m)(1m+8n)，化简利用基本不等式求解即可．
【解答】
解：∵a/​/b，
∴4−n−2m=0，即n+2m=4，
∵m>0，n>0，
∴1m+8n
=14(n+2m)(1m+8n)
=14(10+nm+16mn)
≥14(10+2 nm×16mn)=92，
当且仅当n=4m=83时取等号，
∴1m+8n的最小值是92．
故答案为92．
15.【答案】(−3,0]
【解析】解：因为命题“∃x∈R，ax2−2ax−3≥0”为假命题，
则∀x∈R，ax2−2ax−3<0，为真命题，
则当a=0时，满足题意，
当a≠0时，则a<0Δ=4a2+12a<0，则−3综上，a的取值范围为(−3,0]，
故答案为：(−3,0]，
根据题意将特称命题转化全称命题即可解．
本题考查特称命题转化全称命题以及二次函数性质，属于基础题．
16.【答案】12
【解析】解：y=−lg9x与y=(19)x的图象关于直线y=x对称，
因此函数y=f(x)的图象上存在关于直线y=x的对称点，
则函数y=(19)x与y=3 4−x−a⋅(13)x的图象在x≤0时有交点，
即3 4−x−a⋅(13)x=(19)x在x≤0时有解，
a=3x+1 4−x−(13)x在x≤0时有解，
令g(x)=3x+1 4−x−(13)x(x≤0)，
设x1则(13)x1>(13)x2，0<3x1+1<3x2+1， 4−x1> 4−x2，
所以3x1+1 4−x1<3x2+1 4−x2，从而3x1+1 4−x1−(13)x1<3x2+1 4−x2−(13)x2，
所以g(x)在(−∞,0]上是增函数，
由题意g(x)≤g(0)=32−1=12，
所以a的最大值是12．
故答案为：12．
由y=−lg9x与y=(19)x的图象关于直线y=x对称，得出函数y=(19)x与y=3 4−x−a⋅(13)x的图象在x≤0时有交点，a=3x+1 4−x−(13)x在x≤0时有解，令g(x)=3x+1 4−x−(13)x(x≤0)，由单调性求出g(x)的范围或最大值即可得．
本题考查了函数的对称性、单调性及转化思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)0.027−13−(−181)0−10lg3+0.2552×0.5−4=(271000)−13−1−3+(25100)52×(12)−4=(100027)13−4+[(12)2]52×24=[(103)3]13−4+(12)5×24=103−4+2−5×24=103−4+2−1=103−4+12=−16；
(2)lg25−lg2×lg410+2lg2=lg52−lg2×1lg4+2lg2=2lg5−lg2×12lg2+2lg2=2lg5−12+2lg2=2(lg5+lg2)−12=2lg(5×2)−12=2lg10−12=2−12=32．
【解析】(1)运用公式a−m=(1a)m,a0=1,algaN=N,(am)n=amn求解；
(2)运用公式lgabm=mlgab,lgab=1lgba,lgaM+lgaN=lgaMN求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)当m=1时，2mx−3<2，⇔2x−3<2，⇔x<4，∴B={x|x<4}
∴A∩B={x|−2≤x<4}
∵A={x|−2≤x≤4}，∴CRA={x|x<−2或x>4}，
∴B∪(CRA)={x|x≠4}或{x|x<4或x>4}；
(2)∵A∪B=B，
由2mx−3<2，∴mx<4，
∵m>0，∴x<4m，∴4m>4，∴m<1，∴0m的取值范围是(0,1)．
【解析】(1)m=1，直接求出集合B，进而求出结果；
(2)由m>0，A∪B=B时，求出x的范围．
考查集合的交并补的混合运算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由已知得a(csB+csC)=(b+c)csA，
由正弦定理，得sinA(csB+csC)=(sinB+sinC)csA，
则sinAcsB−csAsinB=sinCcsA−csCsinA，
即sin(A−B)=sin(C−A)，
所以C−B=π(舍去)或B+C=2A，
故π−A=2A，
所以A=π3．
(2)设∠ACB=θ，
在△ACD中，
由正弦定理，得CDsinπ6=ACsin(θ−π6)①，
在△ABC中，
由正弦定理，得BCsinπ3=ACsin(θ+π3)②，
所以sin(θ+π3)sin(θ−π6)= 32，
所以12sinθ+ 32csθ 32sinθ−12csθ=12tanθ+ 32 32tanθ−12= 32，解得tanθ=sinθcsθ=3 3，
又sin2θ+cs2θ=1，
所以sinθ=3 2114，即sin∠ACD=3 2114．
【解析】(1)由已知利用三角形内角和定理，诱导公式，正弦定理，两角差的正弦公式可得sin(A−B)=sin(C−A)，可得B+C=2A，利用三角形内角和定理即可求解A的值．
(2)设∠ACB=θ，在△ACD，△ABC中，由正弦定理，得sin(θ+π3)sin(θ−π6)= 32，利用三角函数恒等变换的应用可求sinθ的值，进而可求sin∠ACD的值．
本题考查了三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：(1)a→=(2sinx,cs2x)，b→=( 3csx,2)，
由f(x)=a→⋅b→=2 3sinxcsx+2cs2x
= 3sin2x+cs2x+1=2sin(2x+π6)+1，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，
由2kπ+π2⩽2x+π6⩽3π2+2kπ,k∈Z，
得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z；
(2)由x∈[0,π2]可得：2x+π6∈[π6,7π6],
当2x+π6=7π6时，函数f(x)取得最小值为2sin7π6+1=0,
当2x+π6=π2时，函数f(x)取得最大值为2sinπ2+1=3,
故得函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为3，最小值为0．
【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．
(1)由f(x)=a⋅b，根据向量的数量积的运用可得f(x)的解析式，化简，利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；
(2)在[0,π2]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出f(x)的最大值和最小值．
21.【答案】解：(1)函数f(t)=Asin(ωt+φ)+h中，A=50，h=60，T=6，所以ω=2πT=π3，
f(0)=50sin(0+φ)+60=10，解得sinφ=−1，因为|φ|<π，所以φ=−π2；
所以函数f(t)=50sin(π3t−π2)+60；
所以f(8)=50sin(π3×8−π2)+60=50×12+60=85，
所以8min时点P距离地面的高度为85m；
(2)令f(t)≥60+25 3，得sin(π3t−π2)≥ 32，2kπ+π3≤π3t−π2≤2kπ+2π3，k∈Z；
解得6k−12≤t≤6k+12，k∈Z；
k=0时，−12≤t≤12；k=1时，112≤t≤132；k=2时，232≤t≤252；t=3时，352≤t≤372；
所以t∈[0,18]时，0≤t≤12，112≤t≤132，232≤t≤252，352≤t≤18；
所以游客在上面游玩18min，共有12+1+1+12=3min可以看到公园的全貌．
【解析】(1)根据函数f(t)=Asin(ωt+φ)+h，求出A、h、T和ω、φ，写出函数f(t)的解析式，计算f(8)的值即可；
(2)令f(t)≥60+25 3，求出t的取值范围，即可得出结果．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．
22.【答案】解：(1)∵定义域为R的函数f(x)=b−2x2x+a是奇函数，
∴f(0)=0，即b−11+a=0，解得b=1，
由f(−1)=−f(1)即1−1212+a=−1−22+a，
得a=1，经检验a=1，b=1符合题意．
(2)对于任意t∈R，不等式f(t2−2t)+f(2t2−k)<0恒成立，
则f(t2−2t)<−f(2t2−k)，
∵f(x)为奇函数，∴−f(2t2−k)即不等式等价为f(t2−2t)∵f(x)=1−2x1+2x=−1+12x+1在R上为减函数，
∴t2−2t>k−2t2，
即k<3t2−2t恒成立，即有k<(3t2−2t)min，
而3t2−2t=3(t−13)2−13，当t=13时，3t2−2t取得最小值−13，
∴k<−13．
【解析】(1)根据奇函数性质建立条件关系即可求a，b的值；
(2)根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键．