2023年湖北省十堰市中考二模数学试题

这是一份2023年湖北省十堰市中考二模数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的相反数是（ ）
A. 2022B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】该题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义；
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据定义即可得到答案；
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
2. “网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号恰好是奇数”，这个事件是（ ）
A. 必然事件B. 不可能事件C. 确定事件D. 随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件，进行求解即可．
【详解】解：∵网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号可以是奇数，也可以是偶数，
∴网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上的排号恰好是奇数这一事件是随机事件，
故选D．
【点睛】本题主要考查了随机事件的定义，熟知定义是解题的关键．
3. 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【详解】、既是轴对称图形又是中心对称图形，选项正确；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误．
故选：．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则．
【详解】解：A．，故此选项不符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．，故此选项不符合题意．
故选：C．
5. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方体搭成，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图是从正面看到的图象判定则可．
【详解】解：从正面看，共有四列，从左到右每列的正方形的个数分别为：1、2、1、1，
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
6. 已知点在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征及反比例函数的性质，
根据点在反比例函数的图像上，求出的值，得到反比例函数解析式，再根据反比例函数的增减性可得结论．求出反比例函数解析式是解题的关键．
【详解】解：∵点在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∴图像位于一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
当时，，
∴当时，．
故选：C．
7. 《九章算术》中有这样一道数学题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之．问：几何步及之?”如图是善行者与不善行者行走的路程S（单位：步）与行走时间t（单位：分）之间的函数图象，则两图象交点P的纵坐标为（ ）
A. 200B. 250C. 300D. 350
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出一次函数关系式是解题的关键．根据题意I去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可．
【详解】解：设点A、B的坐标为：，
则直线的表达式为：t①，
设直线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
则直线的表达式为：②，
联立①②得：，
解得：，两图象交点P的纵坐标为250，
故选：B
8. 某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形．每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转动两个转盘则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用树状图列举出所有的等可能性，利用计算概率的公式即可得出结论．
【详解】解：∵两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘，
∴指针落在每个数字上的可能性是相同的．
依据题意列树状图如下：
∵从图中可以看出共有20种等可能，其中指针都落在偶数上的可能有4种，
∴指针都落在奇数上的概率是：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图求事件的概率．列表或用树状图表示出所有的等可能是解题的关键．
9. 如图所示为某地一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．现有一艘宽5米，其横截面为矩形的货船，顶部高出水面a米，若该货船能顺利通过这座拱桥，则a的值可以是（）
A. 3.4B. 3.6C. 3.8D. 4.0
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．连接，过点O作于点H，交于点D，交⊙O于点C．设这座拱桥所在圆的半径为x米，则米，米，用垂径定理及勾股定理求解即可．
【详解】解：设所在的圆的圆心为点O，连接，过点O作于点H，交于点D，交于点C．
根据题意，得（米），（米），，
则（米），
设这座拱桥所在圆的半径为x米，则米，米，
在中，
，
解得，
连接OM，
（米），
在中，（米），
（米），
（米），
，
故选A．
10. 方程x2+4x﹣1＝0的根可视为函数y＝x+4的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在（ ）范围内．
A. ﹣1＜x0＜0B. 0＜x0＜1C. 1＜x0＜2D. 2＜x0＜3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意方程x3+mx-1=0的根可视为函数y=x2+m的图象与函数的图象交点的横坐标，由于当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，得到它们的交点的横坐标为正数，观察函数图象得抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，然后求出当m=0时，y=x2与的交点A的坐标为（1，1），于是得到当m取任意正实数时，方程x3+mx-1=0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．
【详解】解：∵方程x3+mx-1=0变形为x2+m-=0，
∴方程x3+mx-1=0的根可视为函数y=x2+m的图象与函数y＝的图象交点的横坐标，
∵当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象过第一、二象限，函数y＝的图象分别在第一、三象限，
∴它们的交点在第一象限，即它们的交点的横坐标为正数，
∵当m取任意正实数时，函数y=x2+m的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数y＝的图象的交点的横坐标越大，
当m=0时，y=x2与y＝的交点A的坐标为（1，1），
∴当m取任意正实数时，方程x3+mx-1=0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．也考查了阅读理解能力以及数形结合的思想．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算的结果是__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据算术平方根定义直接进行计算化简即可．
详解】解：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题关键．
12. 年月日至日，某市每日最高气温如图所示，则最高气温的中位数是______________℃．
月日至日最高气温统计图
【答案】
【解析】
【分析】本题考查确定一组数据的中位数的能力．解题的关键是先把数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．据此解答即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列为：，，，，，，，
最中间的数是，
∴中位数是．
故答案为：．
13. 计算的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先通分计算，再根据平方差公式因式分解再化简即可．
【详解】解：原式=
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的化简；熟练地使用公式进行因式分解是本题的关键．
14. 如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为29.5°和45°，如果这时气球的高度CD为100米，则建筑物A、B之间的距离为_____（结果精确到1米）．[参考数据：sin29.5°≈0.49，cs29.5°≈0.87，tan29.5°≈0.57]
【答案】275米
【解析】
【分析】根据平行线性质得出∠CAB=∠ECA=29.5°，∠B=∠FCB=45°，根据CD⊥AB，CD=100米，利用三角函数tanA=，等腰直角三角形性质得出BD=CD=100米，然后利用线段和差求即即可．
【详解】解：∵EF∥AB，
∴∠CAB=∠ECA=29.5°，∠B=∠FCB=45°，
∵CD⊥AB，CD=100米，
∴tanA=，BD=CD=100米，
∴，
∴AB=AD+BD≈175+100=275米．
故答案为275米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，俯角，平行线性质，锐角三角函数，等腰直角三角形性质，线段和差，掌握解直角三角形的应用，俯角，平行线性质，锐角三角函数，等腰直角三角形性质，线段和差是解题关键．
15. 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
以下四个结论：①；②若，则；（3）若，且，则不等式的解集为；④若，且，则当时，随的增大而增大．其中正确的结论有______________（填序号）．
【答案】①③
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图像和性质．根据表格数据可判断结论①；根据二次函数的对称性可得，即可判断结论②；根据二次函数与一元二次方程关系可得的两根为，再根据可得的解集，即可判断③；通过举例说明：例如，满足条件，但时，y随x的增大而减小，故可判断结论④．解题的关键是掌握二次函数的图像及性质．
【详解】解：①∵时，
∴，
∴，故结论①正确；
②若，则抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
∴，故结论②错误；
③∵，即：，
∴的两根为：，，
∵，
∴的解集为，故结论③正确；
④例如，满足条件，但时，y随x的增大而减小，故结论④错误．
∴正确的序号有①③．
故答案为：①③．
16. 如图，在中，，，是高，设，，关于的函数图象如图，则该图象最高点的纵坐标是______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及二次函数的性质．根据题意当时，为等腰直角三角形，此时最大，根据勾股定理可得，再根据勾股定理可得，继而得到，，结合二次函数的性质可得结论．
【详解】解：∵，
∴当时，为等腰直角三角形，此时最大，
由图象可知，的最大值是，
∴，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∵是高，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
∴图象最高点的纵坐标是．
故答案：．
三、解答题（共8小题，72分）
17. 解不等式组请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得______________；
（2）解不等式②，得______________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（4）原不等式组的解集为______________．
【答案】（1）
（2）
（3）作图见解析 （4）
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再将解集表示在数轴上，得出两个不等式解集的公共部分即可确定不等式组的解集．正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
【小问1详解】
解：解不等式①，得：，
故答案为：；
【小问2详解】
解不等式②，得：，
故答案为：；
【小问3详解】
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：
【小问4详解】
原不等式组的解集为．
故答案为：．
18. 如图，点在四边形的边的延长线上，连接交于点．已知，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定及性质，三角形外角的定义及性质，
（1）根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得证；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得，根据三角形外角的定义及性质可得，即可得出结论；
掌握平行线的判定及性质，三角形外角的定义及性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
19. 某市某区正在开展第三剂新冠疫苗接种．为了解第三剂新冠疫苗的接种的有效情况，从全区已接种市民中随机抽取部分市民进行调查．调查结果根据年龄（岁）分为四类：A类：；B类：；C类：；D类：．现将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）此次抽查的样本容量为______________，抽取的C类市民有______________人，并补全条形统计图；
（2）若本次抽取人数占该区已接种第三剂新冠疫苗的市民人数的，估计该区已接种第三剂新冠疫苗的市民有多少人？
【答案】（1）；；作图见解析
（2）人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图及扇形统计图，样本估计整体，
（1）根据抽取的C类的百分比求出其他三类的百分比的和，由其他三类的人数和除以其他三类的百分比可得抽取的总数，乘以抽取的C类的百分比即可得抽取的C类人数，从而补全条形统计图；
（2）根据本次抽取人数占已接种市民人数的即可求解；
掌握条形统计图及扇形统计图的信息关联是解题的关键．
【小问1详解】
解：根据题意可得，其他三类的百分比的和为，
其他三类的人数和为（人），
∴此次抽查的样本容量为：，
∴抽取的C类市民有：（人），
∴补全条形统计图如下：

故答案为：；；
【小问2详解】
（人），
答：估计该区已接种第三剂新冠疫苗的市民有人．
20. 如图，点，，，在上，是的直径，，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和垂直平分线的判定．
（1）如图，作直径交于，连接，根据垂直平分线的判定得到垂直平分，再根据切线的性质得到，从而得到结论；
（2）利用圆周角定理得到，易得四边形为矩形，所以，然后利用勾股定理计算出，从而得到的半径；
掌握切线的性质及垂径定理是解题的关键．
【小问1详解】
证明：如图，作直径交于，连接，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴为的切线，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵为的直径，
∴，
∵，，，
∴四边形矩形，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴的半径为．
21. 网格中每个小正方形的顶点称为格点，图1，图2中A，B，C均为格点．用无刻度的直尺完成下列画图，画图过程用虚线，画图结果用实线．

（1）如图1，M为与网格线的交点．先取格点N，使；再在上画点H，使；
（2）如图2，先在上画点D，使，再画的中线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—复杂作图，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质等知识．
（1）取格点N，P，连接，，，与网格纵线交点为Q，连接交于点H即可；
（2）与网格横线相交于点D，取格点F，连接交网格横线于点G，连接交于E即可．
【小问1详解】
解：如图，点N、即为所求，

理由：
如图，

∵，，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理；，
∴四边形为菱形，
∴，
由题意知，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：如图，点D、中线即为所求，

理由：
如图，

由题意，知，，
∴，
∴，
同理，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴的中线．
22. 某汽车贸易公司销售，两种型号的新能源汽车，型车进货价格为每台万元，型车进货价格为每台万元，该公司销售台型车和台型车，可获利万元；销售台型车和台型车，可获利万元．
（1）求销售一台型、一台型新能源汽车的利润各是多少万元？
（2）该公司准备用不超过万元，采购，两种新能源汽车共台，问最少需要采购型新能源汽车多少台？
（3）公司按照原售价销售型新能源汽车，每月可卖台，售价每降元，销量涨台．设该公司每台型新能源汽车降千元，要使降价后每月销售型新能源汽车所得的利润超过不降价时的每月销售型新能源汽车所得的利润，直接写出整数的最大值．
【答案】（1）销售一台型、一台型新能源汽车利润分别为万元，万元
（2）最少需要采购型新能源汽车台
（3）整数的最大值为
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出二次函数的表达式．
（1）设销售一台型新能源汽车的利润是万元，销售一台型新能源汽车的利润是万元，根据“公司销售台型车和台型车，可获利万元；销售台型车和台型车，可获利万元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设需要采购型新能源汽车台，则采购型新能源汽车台，根据总价单价数量，结合总价不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
（3）设该公司每台型新能源汽车降千元后的利润为元，根据题意可得，然后计算当时所对应的的值，从而可确定“降价后每月销售型新能源汽车所得的利润超过不降价时的每月销售型新能源汽车所得的利润”的取值范围，结合题意可得结论；
【小问1详解】
解：设销售一台型新能源汽车的利润是万元，销售一台型新能源汽车的利润是万元，
由题意，得：，
解得：，
答：销售一台型、一台型新能源汽车的利润分别为万元，万元；
【小问2详解】
设需要采购型新能源汽车台，则采购型新能源汽车台，
由题意，得：，
解得：，
答：最少需要采购型新能源汽车台；
【小问3详解】
降价前每月销售型新能源汽车的利润为：（元），
设每台型新能源汽车降千元，
∴降价后每月销售型新能源汽车的利润：
，
当时，得：，
解得：或，
∴时，，
∴整数的最大值为．
23. 【问题背景】（1）如图，，，．求证：；
【变式迁移】（2）如图，为正方形外一点，，过点作，垂足为，连接．求的值；
【拓展创新】（3）如图，是内一点，，，，，，直接写出的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）通过证明，根据相似三角形的性质可得，即可得证；
（2）根据条件，证明，即可求解；
（3）过点作，交于点，连接，证明，可求，，在直角三角形中由勾股定理可求，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图，∵，，，
∴，
，
，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的值为；

（3）解：过点作，交于点，连接，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴的长为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
24. 如图1，抛物线与x轴正负半轴分别交于点A，B（A左B右），与y轴正半轴交于点C，且．

图1 图2
（1）求抛物线的解析式；
（2）D为线段上方的抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，交于点F，E为的中点，若相似，求点D的坐标；
（3）如图2，P为抛物线上一动点，过点P作直线与抛物线的对称轴交于点M，过点P作直线与抛物线的对称轴交于点N，点M，N的纵坐标分别为m，n，当与抛物线只有一个公共点时，求m与n的数量关系式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别求出A、B、C三点的坐标，再根据勾股定理列出含a的二元一次方程，进而可解答；
（2）由B、C的坐标表示出直线的解析式，设，则，根据两点间的距离公式表示出，再根据相似三角形的性质得出含x的一元二次方程，进而解答即可；
（3）设，表示出直线解析式为，当时，．由直线过点P，得出，进而得出，即可解答
【小问1详解】
解：令：，
．
令，得．
，
，
，
即，
解得，
，
，
，
即；
【小问2详解】
解：，
E为的中点，
∴直线的解析式为，
设，
则，
，，，
，
解得或（舍）
；
【小问3详解】
解：抛物线的对称轴为．设．
联立
得，
，
，，
直线的解析式为，
当时，．
∵直线过点P，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数上点的坐标特征，二次函数的性质，勾股定理，会解一元二次方程，是解题的关键．…
…
…
…