中考数学二轮复习几何模型专题16 费马点中三线段模型与最值问题（2份打包，原卷版+教师版）

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【模型展示】
问题：在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．
【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．
（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．
（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．
（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）
（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．
在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．
有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！
【例题】
1、如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，
∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，
∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．
∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，∴BF=2，EF=2 SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4 SKIPIF 1 < 0 ．
∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，
∴EF= SKIPIF 1 < 0 CE= SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D．
2、如图，将 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 逆时针旋转60°得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，可推出结论： SKIPIF 1 < 0
问题解决：如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 内一点，则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 三个顶点的距离和的最小值是___________
【解析】如图，将△MOG绕点M逆时针旋转60°，得到△MPQ，
显然△MOP为等边三角形，∴OM＋OG＝OP＋PQ，
∴点O到三顶点的距离为：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴当点N、O、P、Q在同一条直线上时，有ON＋OM＋OG最小，
此时，∠NMQ＝75°+60°＝135°，
过Q作QA⊥NM交NM的延长线于A，则∠MAQ=90°，
∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵MQ＝MG＝4 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AQ＝AM＝MQ•cs45°=4，
∴NQ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
3、如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．
【解析】
将△BMN绕点B顺时针旋转60度得到△BNE，
∵BM=BN，∠MBN=∠CBE=60°，
∴MN=BM
∵MC=NE
∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．
当A、M、N、E四点共线时取最小值AE．
∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，
∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，
∴BH= SKIPIF 1 < 0 AB=3，AH= SKIPIF 1 < 0 BH= SKIPIF 1 < 0 ，
∴AE=2AH= SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
4、如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2 SKIPIF 1 < 0 ，则BC＝_____．
【解析】如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAP=∠CAP，
∵PA=PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC=PB，
∵MG=PB，AG=AP，∠GAP=60°，
∴△GAP是等边三角形，
∴PA=PG，
∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2 SKIPIF 1 < 0 ，∴CM=2 SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，
作BN⊥AC于N．则BN= SKIPIF 1 < 0 AB=1，AN= SKIPIF 1 < 0 ，CN=2- SKIPIF 1 < 0 ，
∴BC= SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
5、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
E
A D
B C
N
M
F
E
A D
B C
N
M
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为 SKIPIF 1 < 0 时，求正方形的边长.
【解析】⑴∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.，即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形，∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝ SKIPIF 1 < 0 x，EF＝ SKIPIF 1 < 0 .
在Rt△EFC中，∵EF2＋FC2＝EC2，∴（ SKIPIF 1 < 0 ）2＋（ SKIPIF 1 < 0 x＋x）2＝ SKIPIF 1 < 0 .
解得，x＝ SKIPIF 1 < 0 （舍去负值）.
∴正方形的边长为 SKIPIF 1 < 0
6、在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB= SKIPIF 1 < 0 ；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【解析】（1）①如图△DCF即为所求；
②∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，
∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x−2）2＋8，
∵2＞0，∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝ SKIPIF 1 < 0 =AF，∴FH＝ SKIPIF 1 < 0 AF＝ SKIPIF 1 < 0 ，AH＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
Rt△DFH中，DF＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴BE＋AE＋ED最小值为 SKIPIF 1 < 0
费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
主要分为两种情况：
（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。
（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.
费马点问题解题的核心技巧：
旋转60° 构造等边三角形 将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上 利用两点之间线段最短求解问题