四川省成都市蓉城名校2024届高三下学期第二次联考数学（文）试卷

这是一份四川省成都市蓉城名校2024届高三下学期第二次联考数学（文）试卷，共12页。试卷主要包含了若角的终边位于第二象限，且，则，在中，“”是“是钝角”的，若函数是偶函数，则，已知一样本数据等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号和考籍号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．某圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
3．若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．若角的终边位于第二象限，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．3
6．同位素测年法最早由美国学者Willard Frank Libby在1940年提出并试验成功，它是利用宇宙射线在大气中产生的C的放射性和衰变原理来检测埋在地下的动植物的死亡年代，当动植物被埋地下后，体内的碳循环就会停止，只进行放射性衰变．经研究发现，动植物死亡后的时间n（单位：年）与死亡n年后的含量满足关系式（其中动植物体内初始的含量为）．现在某古代祭祀坑中检测出一样本中的含量为原来的70%，可以推测该样本距今约（参考数据：，）（ ）
A．2750年B．2865年C．3050年D．3125年
7．在中，“”是“是钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．
9．函数在区间上的最小值为，则m的最大值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若x，y均小于4，则该样本的方差最小时，x，y的值分别为（ ）
A．1，3B．11，13C．2，2D．12，12
11．已知，是双曲线（，）的左，右焦点，点（）是双曲线E上的点，点C是内切圆的圆心，若，则双曲线E的渐近线为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若抛物线过点，则该抛物线的焦点为________．
14．函数在点处的切线方程为________．
15．在中，，，，则BC边上的高为________．
16．如图，在平行四边形中，，，且EF交AC于点G，现沿折痕AC将折起，直至满足条件，此时EF的长度为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
2023世界科幻大会在成都举办，为了让同学们更好地了解科幻，某学校举行了以“科幻成都，遇见未来”为主题的科幻知识通关赛，并随机抽取了该校50名同学的通关时间（单位：分钟）作为样本，发现这些同学的通关时间均位于区间，然后把样本数据分成，，，，，六组，经过整理绘制成频率分布直方图（如图所示）．
（1）计算a的值，并估算该校同学通关时间低于60分钟的概率；
（2）拟在通关时间低于60分钟的样本数据对应的同学中随机选取2位同学赠送科幻大会入场券，求此2人的通关时间均位于区间的概率．
18．（12分）
已知数列的前n项和，且的最大值为．
（1）确定常数k，并求；
（2）求数列的前15项和．
19．（12分）
如图，在三棱柱中，，，，点E，F分别为BC，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若底面是边长为2的正三角形，且平面平面，求点C到平面的距离．
20．（12分）
在平面直角坐标系中，若点A，B是椭圆的左，右顶点，椭圆上一点与点A连线的斜率为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）经过点A的直线分别交椭圆E与直线于P，Q两点，线段QB的中点为M，若点F的坐标为，证明：点B关于直线FM的对称点在PF上．
21．（12分）
已知函数的导函数为．
（1）当时，求的最小值；
（2）若存在两个极值点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点M是曲线上的一动点．
（1）若直线过点，求直线的斜率；
（2）设直线恒过定点N，若，求点M的极径．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若函数的最小值为m，且，求m的最小值．
2024届高三第二次联考
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．14．15．16．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）
解：（1）因为，所以，………………3分
由所给频率分布直方图可知，50名同学通关时间低于60分钟的频率为，据此估计该校同学通关时间低于60分钟的概率为0.1：………………6分
（2）入样同学通关时间位于区间的有：（位），即为，，
入样同学通关时间位于区间的有：（位），即为，，
从这5名入样同学中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
，，，，，
，，，，，………………9分
又因为所抽取2人的通关时间均位于区间的结果有3种，即，，，故此2人的通关时间均位于区间的概率为．……………12分
18．（12分）
解：（1）当时，取得最大值，
即，，
所以，………………3分
当时，，
当时，（符合上式），
所以；………………7分
（2）………………10分
．………………12分
19．（12分）
解：（1）作的中点D，连接DF，DB，
因为点D，F分别为，的中点，所以，且，
又由三棱柱的定义，结合点E为BC的中点可知：，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；………………6分
（2）作AC的中点G，连接，，，，
因为，，所以是正三角形，
又点G为AC的中点，所以，
由平面平面，有平面平面，
因为平面，所以平面，
又平面，所以，
所以是三棱锥的高，
所以，………………9分
又因为平面，点到平面的距离即为点C到平面的距离，
又，，………………11分
设点C到平面的距离为d，则，解得．………………12分
20．（12分）
解：（1）设点A的坐标为，因为点与点A连线的斜率为，
由，解得，
将代入，解得，
所以椭圆E的方程为；………………5分
（2）“点B关于直线FM的对称点在PF上”等价于“FM平分”．
设直线AP的方程为，则，，
设点，由，
得，
得且，………………7分
①当轴时，，此时，所以，，，此时，点M在的角平分线所在的直线或上，FM平分，………………9分
②当时，PF的斜率为，
所以PF的方程为，
所以点M到直线PF的距离
，
点B关于直线FM的对称点在PF上．……………12分
21．（12分）
解：（1）当时，，，，
令函数，，则有，
当时，，为减函数；当时，，为增函数，
所以，即的最小值为2；………………5分
（2）因为，有，令，
有，
①当时，因为，所以，即在上为增函数，
所以至多存在一个，使得，
故不存在两个极值点，………………7分
②当时，解，得，
故当时，，为减函数，当时，，
为增函数，所以，
ⅰ．当，即时，，在上为增函数，
故不存在极值点，
ⅱ．当，即时，………………9分
又因为，所以，
又由第（1）问知：，所以，
又因为，又，
所在，使得，………………11分
且在，上为增函数，在上为减函数，
所以，分别是的极大值点和极小值点，
综上所述，的取值范围为．………………12分
22．（10分）
解：（1）将代入直线的参数方程，即，
解得，所以直线的斜率为；………………5分
（2）由直线的参数方程可知点N的坐标为，又点M是曲线上的一动点，
设点M的极坐标为，在中，
由余弦定理得：，
即，………………8分
即，解得或．………………10分
23．（10分）
解：（1）当时，等价于；
当时，原不等式等价于，解得，
当时，原不等式等价于，解得，
当时，原不等式等价于，解得，
综上所述：不等式的解集为；………………5分
（2）因为，
即，
又由柯西不等式，所以，………………9分
当且仅当“”，即“，”时，等号成立．………………10分
解析：
1．解：由解得，由，解得，所以，选C．
2．解：由题可知该圆锥的底面半径为1，母线长为，所以侧面积为，选B．
3．解：设，选B．
4．解：因为角的终边位于第二象限，则，所以，选D．
5．解：满足线性约束条件的可行域如图阴影部分所示，取最大值即直线截距最大，所以在A处取得，解，得，此时，选D．
6．解：经过n年后含量为，所以有，代入关系式得，
所以，所以，选B．
7．解：“”等价于“”，平方可化为，显然A，B，C不共线，原条件等价于是钝角，选C．
8．解：因为，所以，又，所以，，选D．
9．解：当，，，解，得或，根据正弦型函数的图象可知：m的最大值为，选C．
10．解：因为x，y均小于4，由茎叶图可知，中位数为，所以，样本的平均值为，要使样本的方差最小，即使最小，又，当且仅当“”时，等号成立，所以x，y均为2，选C．
11．解：设内切圆的半径为r，则有，所以，由双曲线的定义可知，继而，E的渐近线为，化简为，选A．
12．解：由幂函数的性质可知函数在，上为增函数，当时，，当时，，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，只需即可，解得或，所以t的取值范围为，选B．
13．解：将代入抛物线方程得，所以抛物线的焦点为．
14．解：因为，又，有，所以在点处的切线方程为，化简为．
15．解：因为，由正弦定理得，设BC边上的高为h，则．
16．解：由题意可知，所以，折起后如图所示，因为，易得平面，继而得到平面平面，分别过点E，F作AC的垂线EM，FN，垂足分别为点M，N，又平面平面，即有，，同时易证得，，，所以．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
B
D
D
B
C
D
C
C
A
B