专题43 勾股定理-备战2024年中考数学优生冲刺抢分试题精选（全国通用）

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【典例】图①所示的正方体木块棱长为8cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm．
【解答】解：如图所示：
△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形，
在Rt△BCD中，CD=BC2+BD2=82cm，
则BE=12CD＝42cm，
在Rt△ACE中，AE=AC2-CE2=46cm，
答：从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（42+46）cm．
故答案为：（42+46）．
【巩固】如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）
A．18cmB．15cmC．20cmD．25cm
二、勾股定理逆定理
【典例】图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）画一个边长均为整数的等腰三角形，且面积等于12；
（2）画一个直角三角形，且三边长为5，25，5，并直接写出这个三角形的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）如图所示，△DEF即为所求；
S△DEF=12×5×25=5．
【巩固】如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD=2，CD=10．求：
（1）∠DAB的度数．
（2）连接BD，求BD的长．
三、勾股数
【典例】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a、b、c为勾股数．你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一些勾股数．
【解答】解：正确．理由：
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
即a、b、c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．
【巩固】
张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n （n＞1）的代数式表示；
（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？请证明你的猜想．
巩固练习
1．△ABC的内角A和B都是锐角，CD是高，若ADBD=(ACBC)2，则△ABC是（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=12∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC＝2，则EF的长为（ ）
A．3-1B．32C．1D．22
3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，点O是AB上一点，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B，O分别落在点B1，C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，再将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去，……，若点A(32，0)，B(0，2)，则点B2021的坐标为 ．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD＝h．求证：
（1）1a2+1b2=1h2；
（2）a+b＜c+h；
（3）以a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1，则DE的长为多少？
7．如图，四边形ABCD中，BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，且AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10，求AC的长．
8．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝135°，∠BCD＝120°，AB=6，BC＝5-3，CD＝6，求AD．
9．（1）如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，证明：AD2＝BD•DC．
（2）设a，b＞0，利用（1）中的结论证明：a+b2≥ab，并说明取“＝”的条件．
（3）已知a，b，c＞0，且b2+ab+ac+bc＝4，求a+2b+c的最小值．
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，点P为△ABC内部一点，连接PA，PB，PC．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2；
①过点C作CP′⊥CP，垂足为点C，且CP′＝CP，连接AP′，PP′，△APP′是怎样的特殊三角形？并说明理由．
②求∠BPC的度数．
（2）如图2，若∠ACB＝60°，PA＝5，PB＝4，PC＝3，请直接写出∠BPC的度数．
11．如图，A（0，m），B（n，0），满足(m-5)2+n2﹣10n+25＝0
（1）求点A，点B的坐标；
（2）点P是第二象限内一点，过点A作AC⊥射线BP，连接CO，试探究BC，AC，CO之间的数量关系并证明．
（3）在（2）的条件下，∠POC＝∠APC，PA＝42，求PB的长．
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…