陕西省西安市第一中学2024届高三下学期模拟考试文科数学试题

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．现有一组数据1，2，3，2，3，5，4，2，5，4，1，则这组数据的中位数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．设在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．若球与球外切，两球的球心距，球的表面积为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．若为偶函数，则的值为（ ）
A．B．C．1D．0或1
7．若函数的图象关于直线对称，则的值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．吉林雾凇大桥，位于吉林市松花江上，连接雾凇高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾凇大桥是吉林市第一座自针式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左、右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（ ）
A．米B．米C．米D．米
9．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
10．定义表示中的最小值．已知实数满足，则（ ）
A．的最大值是B．的最大值是
C．的最小值是D．的最小值是
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．9B．C．8D．
12．生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日D．3月8日或3月13日
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．若两个单位向量的夹角为，则与的夹角为________．
14．若等比数列的首项为，公比为2，则的前项和________．
15．若直线与曲线相切，则切点的横坐标为________．
16．已知双曲线的右焦点为为的右支上一点（异于顶点），为坐标原点，以线段为直径作圆，线段与圆相交于点，且，则的离心率为________．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
在中，．
（1）求的大小；
（2）求外接圆的半径与内切圆的半径．
18．（12分）
哈尔滨市，别称冰城，每年吸引大量游客前去旅游．某旅行社为了了解不同性别的人群去哈尔滨旅游的意愿，随机抽取了100名男性游客和100名女性游客，询问他们是否有意愿去哈尔滨旅游，得到如下的列联表．
（1）判断是否有的把握认为有意愿去哈尔滨旅游与性别有关，并说明理由；
（2）对于这200名游客，按性别用分层随机抽样的方法从有意愿去哈尔滨旅游的游客中抽取6人，将这6人随机分成3组，这3组的人数为4，1，1，求4人组中男女人数相等的概率．附：，其中．
19．（12分）
如图，是边长为2的正六边形所在平面外一点，的中点为在平面内的射影．
（1）若，求到平面的距离；
（2）设为线段上一点，且，证明：平面．
20．（12分）
已知椭圆的左、右顶点分别是，点在上，且的面积．
（1）求的标准方程；
（2）过点作直线与交于另一点，求直线的斜率．
21．（12分）
已知函数．
（1）若恒成立，求的取值范围；
（2）若有两个零点，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，曲线的极坐标方程分别为．
（1）试问曲线与曲线分别是何种曲线？说明理由．
（2）在直角坐标系中，求曲线与曲线的所有公共点的纵坐标之和．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数．
（1）求的值域；
（2）求不等式的解集．
高三数学考试参考答案（文科）
1．A 【解析】本题考查集合的并集，考查数学运算的核心素养．
因为，所以．
2．B 【解析】本题考查统计中的中位数，考查数据处理能力．
将原数据按照从小到大的顺序排列为1，1，2，2，2，3，3，4，4，5，5，所以这组数据的中位数为3．
3．C 【解析】本题考查复数的运算与复平面，考查数学运算的核心素养．
依题意得，所以，则在复平面内对应的点为．
4．C 【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．
．
5．D 【解析】本题考查球体的表面积，考查空间想象能力与运算求解能力．
设球与球的半径分别为，则，解得，所以球的表面积为．
6．B 【解析】本题考查函数的奇偶性，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
依题意得，即，解得，经检验，均符合题意．
7．C 【解析】本题考查三角函数图象的对称性，考查数学运算的核心素养．
因为的图象关于直线对称，所以，得，因为，所以．
8．A 【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学建模与直观想象的核心素养．
以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），依题意可得抛物线的方程为．因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为，则，所以点到桥面的距离为米．
9．A 【解析】本题考查充分必要条件的判断与对数运算，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
因为，所以“”是“”的充分不必要条件．
10．B 【解析】本题考查不等式与新定义，考查逻辑推理的核心素养．
因为，所以在中，负数的个数为1或3，又，所以在中，1个为负数，2个为正数，不妨设，则．因为，所以，因为，所以，则，故的最大值是．
11．B 【解析】本题考查三视图，考查空间想象能力与运算求解能力．该几何体可由图中的直四棱柱截去三棱锥得到，则该几何体的体积．
12．D 【解析】本题考查等差数列的实际应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．
若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第天所得积分为．假设他连续打卡天，第天中断了，则他所得积分之和为，解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
13． 【解析】本题考查平面向量的夹角，考查直观想象的核心素养．
设，因为均为单位向量，所以四边形为菱形，且平分，所以与的夹角为．
14． 【解析】本题考查等比数列的前项和，考查数学运算的核心素养．
依题意得．
15．1 【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．
对于，设函数，易知此函数为增函数，
因为，所以方程的解为，则所求切点的横坐标为1．
16． 【解析】本题考查双曲线与圆的综合，考查直观想象与数学运算的核心素养．
设的左焦点为，则，且，因为，
所以，所以的离心率．
17．解：（1）由余弦定理得，
因为，所以．
（2）设外接圆的半径与内切圆的半径分别为，
由正弦定理得，
则．
的面积，
由，
得．
评分细则：
【1】第（1）问中，写为，不扣分．
【2】第（2）问中，未写“由，直接得，不扣分．
18．解：（1）根据列表中的数据，可得
所以有的把握认为有意愿去哈尔滨旅游与性别有关．
（2）按照分层抽样，男性抽取2人，记为，女性抽取4人，记为．
记“4人组中男女人数相等”为事件，则事件等价于“两个单人组都为女性游客”．
两个单人组成员的所有情况有，共15种．
事件包含这6种．
所以．
评分细则：
【1】第（1）问中，未写“”，即，不扣分．
【2】第（2）问中，也可以直接列举四人组成员的所有情况，共15种，事件包含6个基本事件，所以，这样做不扣分．
19．（1）解：连接，则．
在正六边形中，，
．
依题意可得平面，则，
所以到平面的距离为．
（2）证明：如图，在线段上取一点，使得，连接．
因为，所以，
所以，且．
连接交于，连接，可得，
由，可得，
所以四边形为平行四边形，所以．
又因为平面平面，
所以平面．
评分细则：
第（2）问中，证得后，未写平面平面，直接得到平面，扣1分．
20．解：（1）依题意可得．
．
将点的坐标代入的方程，得，解得．
所以的标准方程为．
（2）依题意得直线存在斜率，设．
代入的方程得，即，
则，
解得，
，
解得，即．
评分细则：
第（2）问中，得到“”后也可以这样解答：
设的横坐标分别为，则，
，
解得，即．
21．（1）解：．
令，易知单调递增，且．
当时，单调递减；当时，单调递增．
所以，
即，所以的取值范围是．
（2）证明：由的单调性可设．
令．
令，则，
所以在上单调递增，则，
所以．
所以，即，即．
因为当时，单调递减，且，所以，即．
评分细则：
【1】第（1）问中，的取值范围写为，不扣分．
【2】第（2）问中，最后两行也可以这样写：
由及，得，当时，单调递减，所以，即．
22．解：（1）由，得，
则，
即，所以曲线是圆．
由，得，
则，所以曲线是双曲线．
（2）联立得，
因为，所以方程有两个不同的实根，，
且．
根据圆与双曲线的对称性，可知圆与双曲线有4个公共点，
其中2个公共点的纵坐标均为，另外2个公共点的纵坐标均为，
所以曲线与曲线的所有公共点的纵坐标之和为．
评分细则：
【1】第（1）问中，曲线的直角坐标方程没有化成标准方程，但得出“为圆”的结论，不扣分．
【2】第（2）问中，若联立方程得到“”后直接得出曲线与曲线的所有公共点的纵坐标之和为3，则第（2）问只给1分．
23．解：（1）当时，．
当时，．
当时，．
所以的值域为．
（2）当或时，，解得．
当时，，即，解得．
综上，不等式的解集为．
评分细则：
【1】第（1）问中，还可以这样求解：
，
因为方程有解，所以，
所以的值域为．
【2】第（2）问中，与可以分别讨论求解：
当时，，解得，
当时，，解得．有意愿
没有意愿
合计
男性游客
40
60
100
女性游客
80
20
100
合计
120
80
200
0.05
0.01
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828