江西省南昌市第二中学2024届高三新改革适应性模拟测试数学试题一

这是一份江西省南昌市第二中学2024届高三新改革适应性模拟测试数学试题一，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题5分）已知A,B,C三种不同型号的产品数量之比依次为4:3:7，现用分层抽样的方法抽取容量为N的样本，若样本中A型号产品有20件，则N为（ ）
A．60B．70C．80D．90
2．（本题5分）椭圆x29+y2m=1的焦距为2，则m为（ ）
A．5或13B．5C．8或10D．8
3．（本题5分）设等比数列an的各项均为正数，前n项和Sn，若a1=1，S7=9S4−8，则S5=（ ）
A．31B．658C．15D．158
4．（本题5分）已知互相垂直的平面α,β 交于直线 l，若直线m,n 满足m//α，n⊥β，则（ ）
A．m//lB．m//nC．n⊥lD．m⊥l
5．（本题5分）由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A．60种B．120种C．150种D．240种
6．（本题5分）已知点P在圆x−12+y2=1上，点A的坐标为−1,1，O为原点，则AO⋅AP的取值范围是（ ）
A．−3,3B．3+2,5
C．3−2,2D．3−2,3+2
7．（本题5分）若函数f(x)=sinxcsx+asinx−3x−3在(−∞,+∞)单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．[−2,2]B．[−2,1]C．[−1,1]D．[−1,2]
8．（本题5分）设双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，M0,3b，若直线l与E的右支交于A，B两点，且F为△MAB的重心，则直线l斜率的取值范围为（ ）
A．133,3∪3,+∞B．2139,3∪3,+∞
C．−∞,−6∪−6,−2139D．−∞,−6∪−6,−2133
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（本题6分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=5，b=6，c=7，下面说法正确的是（ ）
A．sinA:sinB:sinC=5:6:7
B．csA:csB:csC=5:6:7
C．△ABC是锐角三角形
D．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
10．（本题6分）已知z∈C，z是z的共轭复数，则（ ）
A．若z=1+3i1−3i，则z=−4−3i5
B．若z为纯虚数，则z20，则z>2+i
D．若M={z||z+3i∣≤3}，则集合M所构成区域的面积为9π
11．（本题6分）设定义在R上的函数f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x)，若f(x+2)+g(2−x)=2,f′(x)=g′(x+2)且y=g(x+1)为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．g′(1)=0B．g(2)+g(3)+g(4)=0
C．g′(x)的图象关于x=3对称D．函数f(x)为周期函数，且周期为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（本题5分）已知集合A=x∣x2≤4,B=x∣a−1≤x≤a+1，若A∩B=∅，则a的取值范围是 .
13．（本题5分）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，正八面体就是其中之一．正八面体由八个等边三角形构成，也可以看做由上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成．如图，在正八面体ABCDEF中，H是棱BC的中点，则异面直线HF与AC所成角的余弦值是
14．（本题5分）已知实数x、y满足x(x+y)=2+2y2，则7x2−y2的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）已知函数fx=lnx+mxm∈R.
(1)讨论函数fx的单调性；
(2)当m=1时，证明：当x≥1时，xfx−ex−x+e≤0.
16．（本题15分）某学校共有1200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为3:4:5，为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，全面推进素质教育，拟举行乒乓球比赛，从三个年级中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛都采取5局3胜制，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以3:0或3:1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以3:2获胜的队员积2分，落败的队员积1分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙，如果甲每局比赛的获胜概率为23
(1)三个年级参赛人数各为多少？
(2)在最后一场比赛甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率
(3)记最后一场比赛中甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望EX
17．（本题15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=4，CD=2，BC=2，PC=PD=3，平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥BC.

(1)证明：BC⊥平面PCD；
(2)若点Q是线段PC的中点，M是直线AQ上的一点，N是直线PD上的一点，是否存在点M，N使得MN=259?请说明理由.
18．（本题17分）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，设P,Q,R为C上不重合的三点，且PF+QF+RF=0.
(1)求PF+QF+RF；
(2)若P,Q均在第一象限，且直线PQ的斜率为213，求R的坐标.
19．（本题17分）基本不等式：对于2个正数a1,a2，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即a1+a22≥a1a2，当且仅当a1=a2时，等号成立.可以推广到一般的情形：对于n个正数a1,a2,⋯,an，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，a1+a2+⋯+ann≥na1a2⋯an.当且仅当a1=a2=⋯=an时，等号成立.若无穷正项数列an同时满足下列两个性质：①∃M>0,an0且m≠9，c=1，
当焦点在x轴上时，
a2=9,b2=m，
则c2=a2−b2=9−m=1，则m=8，
当焦点在y轴上时，
a2=m,b2=9，
则c2=a2−b2=m−9=1，则m=10，
故m的值为8或10，
故选：C.
3．A
【详解】设an的公比为q，由题意可知q≠1,q>0，
则S7=9S4−8⇒1−q71−q=9×1−q41−q−8⇒q7−9q4+8q=qq3−1q3−8=0，
解之得q=2，
所以S5=1−q51−q=31.
故选：A
4．C
【详解】因为α⊥β，且α∩β=l，m//α，则m与β可能平行，垂直，相交都有可能，
所以m与l和n不一定平行，m与l也不一定垂直，故ABD错误；
因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确.
故选：C
5．C
【详解】依题意，5名获奖者按1:1:3去到三个不同会场，有C53A33种方法，
5名获奖者按1:2:2去到三个不同会场，有C52C32A22⋅A33种方法，
所以不同的派出方法有C53A33+C52C32A22⋅A33=60+90=150（种）.
故选：C
6．D
【详解】易知圆x−12+y2=1的圆心坐标为C1,0，半径为r=1，
连接AC,CP，易知CP=1，如下图所示：

易得AO=1,−1,AC=2,−1，所以AO⋅AC=2+1=3，
则AO⋅AP=AO⋅AC+CP=AO⋅AC+AO⋅CP=3+AO⋅CP；
设AO,CP夹角为θ，则θ∈0,π，
所以AO⋅AP=3+AO⋅CP=3+AOCPcsθ=3+2csθ，又csθ∈−1,1
可得AO⋅AP∈3−2,3+2.
故选：D
7．A
【详解】因为f(x)=sinxcsx+asinx−3x−3，所以f′(x)=cs2x+acsx−3，
因为f(x)在(−∞,+∞)单调递减，所以f′(x)≤0，
即cs2x+acsx−3=2cs2x+acsx−4≤0，
令t=csx∈[−1,1]，所以2t2+at−4≤0在[−1,1]上恒成立，
令g(t)=2t2+at−4，t∈[−1,1]，
故g(−1)≤0g(1)≤0，即2−a−4≤02+a−4≤0，解得−2≤a≤2，
故选：A.
8．C
【详解】设D为AB的中点，根据重心性质可得MF=2FD，
因为Fc,0,M0,3b，则D3c2,−3b2，
因为直线l与E的右支交于A,B两点，所以点D在双曲线右支内部，
故有9c24a2−9b24b2>1，解得ca>133，
当直线l斜率不存在时，AB的中点D在x轴上，
故M,F,D三点不共线，不符合题意舍，
设直线l斜率为kAB，设Ax1,y1,Bx2,y2，
所以x1+x2=3c，y1+y2=−3b，
因为A,B在双曲线上，所以x12a2−y12b2=1x22a2−y22b2=1，
两式相减可得：x12−x22a2=y12−y22b2，
即x1−x2x1+x2a2=y1−y2y1+y2b2，
即有3cx1−x2a2=−3by1−y2b2成立，
即有kAB=−bca2，因为M,F,A,B不共线，
即kAB=−bca2≠kMF=−3bc，即c2≠3a2，即e≠3，
所以E的离心率的取值范围为133,3∪3,+∞，
因为kAB=−bca2=−b2c2a4=−c2−a2c2a4
=−c4−a2c2a4=−e4−e2=−e2−122−14，
因为e∈133,3∪3,+∞，即e2∈139,3∪3,+∞，
所以e2−122−14∈5281,6∪6,+∞，
所以kAB=−e2−122−14∈−∞,−6∪−6,−2139.
故选：C
9．AC
【详解】对于A，由正弦定理可得sinA:sinB:sinC=a:b:c=5:6:7，A对；
对于B，由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=36+49−252×6×7=57，csB=a2+c2−b22ac=25+49−362×5×7=1935，csC=a2+b2−c22ab=25+36−492×5×6=15，
所以，csA:csB:csC≠5:6:7，B错；
对于C，因为a0时，令f′x=0，得x=m，
当x∈0,m时，f′x0,fx单调递增，
综上，当m≤0时，fx在0,+∞上单调递增；
当m>0时，fx在0,m上单调递减，在m,+∞上单调递增.
（2）当m=1时，fx=lnx+1x，
令gx=xfx−ex−x+e=xlnx−ex−x+e+1，则g′x=lnx−ex，
令ℎx=g′x=lnx−ex，则ℎ′x=1x−ex，
因为x≥1，所以1x≤1,ex≥e>1，
所以当x≥1时，ℎ′x =1x−ex0⇒b