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四川省南充市顺庆区2023_2024学年高一数学上学期10月月考试题含解析
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这是一份四川省南充市顺庆区2023_2024学年高一数学上学期10月月考试题含解析，共15页。试卷主要包含了 命题“ ”的否定是， 设，则的大小顺序是， “”是“”的， 已知且，则的最小值为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
A. B. -3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解.
【详解】由集合中元素的确定性知或.
当时,或; 当时,.
当时,不满足集合中元素的互异性, 故舍去;
当时,满足集合中元素的互异性, 故满足要求;
当时,满足集合中元素的互异性, 故满足要求.
综上, 或.
故选: D.
2. 命题“ ”的否定是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题得到答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为：.
故选：B.
3. 设，则的大小顺序是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.
【详解】，，
，，
.
又，故.
则.
故选：C.
4. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（）
A120B. 144C. 177D. 192
【答案】B
【解析】
【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解.
【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，
则，，
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为，
即，
，
由容斥原理：
，
解得：，
故选：B.
5. “”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.
【详解】先考虑充分性.
,
=，
因为，所以，
所以“”是“”的充分条件.
再考虑必要性.
,
=，
不能推出. 如：a=-3,b=-1.
所以“”是“”的非必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A
【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6. 已知集合或，若，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用并集运算结合数轴即可求出的范围.
【详解】因为集合或，，所以.
故选：B.
7. 已知不等式的解集为, 则不等式的解集为（）
A. 或
B.
C.
D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的解集求出值，再代入角一元二次不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为,
因此的两根为, 且，即, 解得，
所以不等式化为, 其解集为或.
故选： A
8. 已知且，则的最小值为（）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
令，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
9. 已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论正确的是（）
A. UN⊆UPB. NP⊆NM
C(UP)∩M=∅D. (UM)∩N=∅
【答案】ABC
【解析】
【分析】由已知条件画出Venn图，如图所示，然后根据图形逐个分析判断即可
【详解】因为集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，所以作出Venn图，如图所示，
由Venn图，得UN⊆UP，故A正确；
NP⊆NM，故B正确；
(UP)∩M=∅，故C正确；
(UM)∩N≠∅，故D错误.
故选：ABC
10. 下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.
【详解】对于A，∵，∴，∴，∴，
∴，∴，故选项A正确；
对于B，当，，，时，有，，
但此时，，，故选项B错误；
对于C，当，，时，有，，
但此时，，，故选项C错误；
对于D，∵，∴，∴，
∴，∴，
由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确.
故选：AD.
11. “关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有（）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.
【详解】若关于的不等式对恒成立，
当时，不等式为，满足题意；
时，则必有且
解得，
故的范围为，
故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，
考查选项知满足条件.
故选：
12. 若正数a，b满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.
【详解】A选项：根据基本不等式，
，
当且仅当时，等号成立，故A对；
B选项：因为，所以，
所以，，
同理，，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，故B对；
C选项：因为，所以，
所以，
又因为，，
所以，，，，，
所以，故C对；
D选项：，所以，化简得，
当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC.
二.填空题
13. 已知集合, 用列举法表示为________
【答案】
【解析】
【分析】根据，化简求解即可．
【详解】因为, 可知，
解得，所以.
故答案为： .
14. 已知，设，则的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】确定，根据题目条件得到答案.
【详解】令，则，，
①，
，故，
得.
故答案为：.
15. 若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论.
【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素.
当即时，，符合题意.
当即时， 解得.
故答案为：
16. 若对于任意，不等式恒成立，设，则取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】变换得到恒成立，构造，计算函数值域，得到，换元得到，即，计算范围即可.
【详解】对于任意，不等式恒成立，
即当时，不等式恒成立，
设，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
的值域为，
所以原不等式恒成立，等价于，即，
设，则，所以，
故，
当时，，显然当时，
而，故，故此时；
当时，，显然.
综上所述：
的范围是.
故答案为：.
三．解答题
17. 已知全集.
（1）求集合；
（2）若集合，求实数的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次方程及整数的概念化简即可求解；
（2）先求出，再求，利用集合相等建立方程组求解即可.
【小问1详解】
，
所以，；
【小问2详解】
由（1）得，
又，所以，
所以，得.
18. 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
（1）若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小?并求出最小值.
（2）若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大?并求出最大值.
【答案】（1）菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为
（2）菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大, 最大值为
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值即可；
（2）利用基本不等式求积的最大值即可.
【小问1详解】
由已知可得，而篱笆总长为.
又，当且仅当，即时等号成立.
菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为.
【小问2详解】
由已知得，而菜园面积为，
则，当且仅当即时取等号.
菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大，最大值为.
19. 已知，且.
（1）求证：；
（2）求的最小值以及此时的的值
【答案】（1）证明见解析
（2）最小值为，
【解析】
【分析】（1）变换得到，展开利用均值不等式计算得到证明.
（2）变换，展开利用均值不等式计算得到答案.
【小问1详解】
，则.
，
当且仅当，时取等号，即.
【小问2详解】
.
当且仅当，即时取等号.
于是的最小值为，此时.
20. 关于不等式.
（1）若，求不等式的解集.
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）将代入不等式，解得答案.
（2）考虑和两种情况，解不等式得到答案.
【小问1详解】
，则，即，故，
不等式的解集为：.
【小问2详解】
当，即时，原不等式为，解集为；
当时，由题意，得，解得.
综上所述：
的取值范围为.
21. 关于的一元二次方恒有两个实数根.
（1）当且两个根皆为负时, 求实数的取值范围.
（2）不等式恒成立, 求实数的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）两个根皆为负即；（2）韦达定理的逆运用，转化为关于的式子，再结合因式分解，二次函数的最值进行求解.
【小问1详解】
当时, 方程化为
由已知有
所以实数的取值范围为
【小问2详解】
此时
则的最大值为.
22. 对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定.
（1）若，请直接写出集合和中元素的个数.
（2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由.
（3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由.
【答案】（1）有4个元素，有7个元素
（2）个，11个
（3）13，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知新定义结合条件求解即可.
（2）根据已知新定义，分类讨论、列举结合条件进行求解.
（3）根据已知新定义, 分类讨论、列举进行求解、证明.
小问1详解】
因为，，
所以有4个元素，有7个元素.
【小问2详解】
最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素.
可能的构造如下：.这个集合的元素均为素数，中最大的元素为，
则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同，从而由该数字的所有大于1的因子组成.
最小值：不妨设，显然有，则
，
则至少有11个元素.
可能的构造如下：，等比数列即可.
【小问3详解】
中至少有13个元素，可能的构造如下：
，所以
证明如下：
考虑对集合A进行分类：，，，
设，，，.
设，再对集合B进行分类：
，，，
设，，.分析，，与，，关系：
对集合中的元素：，则
则①
对集合中的元素：；②
对集合中的元素：，则
则③
①+②+③得到
注意到：当时，
当时，
（均值不等式）
从而元素个数至少为13.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
A. B. -3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解.
【详解】由集合中元素的确定性知或.
当时,或; 当时,.
当时,不满足集合中元素的互异性, 故舍去;
当时,满足集合中元素的互异性, 故满足要求;
当时,满足集合中元素的互异性, 故满足要求.
综上, 或.
故选: D.
2. 命题“ ”的否定是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据特称命题的否定为全称命题得到答案.
【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为：.
故选：B.
3. 设，则的大小顺序是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.
【详解】，，
，，
.
又，故.
则.
故选：C.
4. 某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有22人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，则接受调查的小学生共有多少人？（）
A120B. 144C. 177D. 192
【答案】B
【解析】
【分析】用韦恩图表示题设中的集合关系，结合三个集合的容斥原理，即得解.
【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，
则，，
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为，
即，
，
由容斥原理：
，
解得：，
故选：B.
5. “”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.
【详解】先考虑充分性.
,
=，
因为，所以，
所以“”是“”的充分条件.
再考虑必要性.
,
=，
不能推出. 如：a=-3,b=-1.
所以“”是“”的非必要条件.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A
【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6. 已知集合或，若，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用并集运算结合数轴即可求出的范围.
【详解】因为集合或，，所以.
故选：B.
7. 已知不等式的解集为, 则不等式的解集为（）
A. 或
B.
C.
D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的解集求出值，再代入角一元二次不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为,
因此的两根为, 且，即, 解得，
所以不等式化为, 其解集为或.
故选： A
8. 已知且，则的最小值为（）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
令，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
9. 已知集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，则下列结论正确的是（）
A. UN⊆UPB. NP⊆NM
C(UP)∩M=∅D. (UM)∩N=∅
【答案】ABC
【解析】
【分析】由已知条件画出Venn图，如图所示，然后根据图形逐个分析判断即可
【详解】因为集合M，N，P为全集U的子集，且满足M⊆P⊆N，所以作出Venn图，如图所示，
由Venn图，得UN⊆UP，故A正确；
NP⊆NM，故B正确；
(UP)∩M=∅，故C正确；
(UM)∩N≠∅，故D错误.
故选：ABC
10. 下列说法正确的是（）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】通过不等式性质证明选项正确或通过反例判断选项错误即可.
【详解】对于A，∵，∴，∴，∴，
∴，∴，故选项A正确；
对于B，当，，，时，有，，
但此时，，，故选项B错误；
对于C，当，，时，有，，
但此时，，，故选项C错误；
对于D，∵，∴，∴，
∴，∴，
由不等式的同向可加性，由和可得，故选项D正确.
故选：AD.
11. “关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件有（）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】讨论二次项系数，求出满足条件的的范围，根据题中条件考查选项即可.
【详解】若关于的不等式对恒成立，
当时，不等式为，满足题意；
时，则必有且
解得，
故的范围为，
故“关于的不等式对恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合，
考查选项知满足条件.
故选：
12. 若正数a，b满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.
【详解】A选项：根据基本不等式，
，
当且仅当时，等号成立，故A对；
B选项：因为，所以，
所以，，
同理，，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，故B对；
C选项：因为，所以，
所以，
又因为，，
所以，，，，，
所以，故C对；
D选项：，所以，化简得，
当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC.
二.填空题
13. 已知集合, 用列举法表示为________
【答案】
【解析】
【分析】根据，化简求解即可．
【详解】因为, 可知，
解得，所以.
故答案为： .
14. 已知，设，则的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】确定，根据题目条件得到答案.
【详解】令，则，，
①，
，故，
得.
故答案为：.
15. 若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论.
【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素.
当即时，，符合题意.
当即时， 解得.
故答案为：
16. 若对于任意，不等式恒成立，设，则取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】变换得到恒成立，构造，计算函数值域，得到，换元得到，即，计算范围即可.
【详解】对于任意，不等式恒成立，
即当时，不等式恒成立，
设，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，
的值域为，
所以原不等式恒成立，等价于，即，
设，则，所以，
故，
当时，，显然当时，
而，故，故此时；
当时，，显然.
综上所述：
的范围是.
故答案为：.
三．解答题
17. 已知全集.
（1）求集合；
（2）若集合，求实数的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次方程及整数的概念化简即可求解；
（2）先求出，再求，利用集合相等建立方程组求解即可.
【小问1详解】
，
所以，；
【小问2详解】
由（1）得，
又，所以，
所以，得.
18. 如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.
（1）若菜园面积为，则当为何值时，可使所用篱笆总长最小?并求出最小值.
（2）若使用的篱笆总长度为，则当为何值时，可使菜园面积最大?并求出最大值.
【答案】（1）菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为
（2）菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大, 最大值为
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求和的最小值即可；
（2）利用基本不等式求积的最大值即可.
【小问1详解】
由已知可得，而篱笆总长为.
又，当且仅当，即时等号成立.
菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小，最小值为.
【小问2详解】
由已知得，而菜园面积为，
则，当且仅当即时取等号.
菜园的长为，宽为时，可使菜园面积最大，最大值为.
19. 已知，且.
（1）求证：；
（2）求的最小值以及此时的的值
【答案】（1）证明见解析
（2）最小值为，
【解析】
【分析】（1）变换得到，展开利用均值不等式计算得到证明.
（2）变换，展开利用均值不等式计算得到答案.
【小问1详解】
，则.
，
当且仅当，时取等号，即.
【小问2详解】
.
当且仅当，即时取等号.
于是的最小值为，此时.
20. 关于不等式.
（1）若，求不等式的解集.
（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）将代入不等式，解得答案.
（2）考虑和两种情况，解不等式得到答案.
【小问1详解】
，则，即，故，
不等式的解集为：.
【小问2详解】
当，即时，原不等式为，解集为；
当时，由题意，得，解得.
综上所述：
的取值范围为.
21. 关于的一元二次方恒有两个实数根.
（1）当且两个根皆为负时, 求实数的取值范围.
（2）不等式恒成立, 求实数的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）两个根皆为负即；（2）韦达定理的逆运用，转化为关于的式子，再结合因式分解，二次函数的最值进行求解.
【小问1详解】
当时, 方程化为
由已知有
所以实数的取值范围为
【小问2详解】
此时
则的最大值为.
22. 对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定.
（1）若，请直接写出集合和中元素的个数.
（2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由.
（3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由.
【答案】（1）有4个元素，有7个元素
（2）个，11个
（3）13，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知新定义结合条件求解即可.
（2）根据已知新定义，分类讨论、列举结合条件进行求解.
（3）根据已知新定义, 分类讨论、列举进行求解、证明.
小问1详解】
因为，，
所以有4个元素，有7个元素.
【小问2详解】
最大值：集合A的非空子集只有个，因此最多有31个元素.
可能的构造如下：.这个集合的元素均为素数，中最大的元素为，
则集合A任意两个不同子集元素的乘积不同，从而由该数字的所有大于1的因子组成.
最小值：不妨设，显然有，则
，
则至少有11个元素.
可能的构造如下：，等比数列即可.
【小问3详解】
中至少有13个元素，可能的构造如下：
，所以
证明如下：
考虑对集合A进行分类：，，，
设，，，.
设，再对集合B进行分类：
，，，
设，，.分析，，与，，关系：
对集合中的元素：，则
则①
对集合中的元素：；②
对集合中的元素：，则
则③
①+②+③得到
注意到：当时，
当时，
（均值不等式）
从而元素个数至少为13.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
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