四川省绵阳市2024届高三数学上学期第二次月考文科试题含解析

这是一份四川省绵阳市2024届高三数学上学期第二次月考文科试题含解析，共18页。试卷主要包含了 设集合，则的子集个数是， 已知是的共轭复数,则， 设向量，且，则， 已知等比数列前项和， 已知中，“”是“”成立的等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，则的子集个数是（）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】解方程组求出，即可得答案.
【详解】由题意知，
解，得或，
故，其子集有，
所以的子集个数是4，
故选：B
2. 已知是的共轭复数,则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．
【详解】i，
∴a+bi＝﹣i，
∴a＝0，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
3. 设向量，且，则（）
A. 3B. C. -1D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的坐标形式的共线条件进行计算.
【详解】由题意，，又，且，
根据向量共线的条件可知，，解得.
故选：D
4. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据奇函数的定义，常见函数的单调性逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，根据正切函数的性质可知其是奇函数，
由其单调性可知，在时递增，
故不在上单调递增，例如，但，故A选项错误；
B选项，的定义域为，设，
则，是奇函数，
但定义域是，无法在上单调，故B选项错误；
C选项，设，定义域为，又，
故是偶函数，C选项错误；
D选项，设，定义域为，又，
故是奇函数，又时，，均在上单调递增，
故在上单调递增，D选项正确.
故选：D
5. 已知等比数列前项和（为常数），则的值为（）
A. B. C. -1D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的前项和求出，确定的值，即可求得答案.
【详解】由题意等比数列的前项和，
则时，，
当时，，
因为是等比数列，故必适合上式，
故，
故选：C
6. 已知中，“”是“”成立的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形大边对大角可知，由在上的单调性可得，由此可确定结果.
【详解】由正弦定理以及三角形大边对大角可得：
，
又，在上单调递减，
，即，
“”是“”成立的充分必要条件.
故选：C.
7. 已知函数，若直线与和的图象分别交于点，则的最小值为（）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件结合函数的图象求得两点的横坐标，利用构造函数法，结合导数来求得的最小值．
【详解】设两点的横坐标分别为，
在上递增；在上递增，且，如图，
所以，且，则，
所以，
构造函数，则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以的最小值为，即的最小值为1．
故选：B．
8. 一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的十六分之一，则需再经过的时间为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件可得，解出的值，得到，再令，求解得到的值，然后可求出答案．
【详解】依题意有，即，
两边取对数得，
当容器中只有开始时的十六分之一，则有，
两边取对数得，
所以再经过的时间为.
故选：A.
9. 已知函数的图象与轴交点的坐标为，且图象关于直线对称，将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的4倍，得到函数的图象，则在区间上的最小值为（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得，根据三角函数图象变换求得，根据三角函数最值的求法求得答案.
【详解】依题意，则，
解得，所以，
将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的4倍，
得到函数.
由，得，
所以当，即时，取最小值，
所以在区间上的最小值为.
故选：B.
10. 在中，内角的对边分别为，已知，则（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】将切化弦，结合正弦定理得，再利用余弦定理求出答案．
【详解】因为，所以，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
整理得，即．
故选：C．
11. 已知实数m，n满足，，则下列关系中正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用特殊值、三角函数的单调性、指数、对数函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题易知，取，，则，所以A错误；
，所以，B错误；
，，所以，C正确；
，，，，
即，D错误.
故选：C
12. 已知函数，若，则的最小值为（）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由题干条件得到，构造，求导得到其单调性，从而得到最小值，求出答案.
【详解】的定义域为，根据对数函数的图象和性质可知，
当时，，当时，，
所以时得，
，当时，，单调递增，
又，所以，
令，则，
由解得，则
当时，，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，，即的最小值为.
故选：A.
第II卷（非选择题，共90分）
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.
13. 已知为实数，，则向量在向量方向上的投影为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由投影的定义先分别计算出，再代入投影公式即可.
【详解】由题意，所以，
则向量在向量方向上的投影为.
故答案为：.
14. 已知，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】对已知式子利用三角函数恒等变换公式化简变形可得答案.
详解】由，得
，
，
所以，
所以，
故答案为：
15. 已知中，若的面积为为的平分线与边的交点，则的长度是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形面积公式，结合三角形角平分线的性质、余弦定理进行求解即可.
【详解】因为的面积为，
所以，
由余弦定理可知：，
因为角平分线，
所以，
在三角形中，由余弦定理可知：，
在三角形中，由余弦定理可知，
故答案：
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形角平分线的性质.
16. 已知函数，设数列的通项公式为，则__________.
【答案】36
【解析】
【分析】根据函数的解析式求出函数的对称中心，再结合等差数列的性质，即可求解.
【详解】，
因为，所以是奇函数，对称中心为，
所以曲线的对称中心为，即，
因为，易知数列为等差数列，，
所以，
则，，
所以.
故答案为：36.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程成演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题：共60分.
17. 已知等差数列的前项和为，且
（1）求的通项公式，
（2）设，且的前项和为，证明，.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及前n项和公式，列方程求解首项和公差，即得答案；
（2）由（1）结论可得的表达式，利用裂项求和可得表达式，即可证明结论.
【小问1详解】
设的公差为，由得，，解得，
，即，
，结合，
；
【小问2详解】
证明：由.
，
即，
又随着n的增大增大，
当时，取最小值为，
又时，，且无限趋近于0，故，
故.
18. 已知的内角的对边分别为，.
（1）求A；
（2）求的内切圆半径.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式化简可得值，即可得答案；
（2）由数量积定义可得的值，利用余弦定理求出，再结合三角形面积，即可求得答案.
【小问1详解】
，
故在中，；
【小问2详解】
由，
在中，由余弦定理，
，
又，r为三角形内切圆半径，
.
19. 在中，从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知.求：
（1）求；
（2）设，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.若在上恰有3个零点，求的值.
条件：①
②.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式、三角恒等变换结合正弦定理边化角化简即可求解.
（2）由二倍角公式、辅助角公式化简函数解析式，然后结合图象将函数零点问题转换为函数交点问题即可求解.
【小问1详解】
若选条件①：由，结合正弦定理边化角，
，且，
，即，
又，且，
所以，又.
若选条件②：，
则
所以，于是，又，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，
由题意，
且由题知，从而.
由题知在上与有3个交点.
又在的大致图象如图：
由图可知，，又，
.
20. 已知函数.
（1）若时，求在区间上的最大值与最小值.
（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）最大值为，最小值为
（2）
【解析】
【分析】（1）先求在上的极值情况，得到极大值和极小值，然后和端点值，比较，即可得到最大值和最小值；
（2）由题意，原问题可以转化成只有一个零点，结合三次函数的单调性进行分析即可.
【小问1详解】
由题意得.
当时，，
.
由，解得；
由，解得.
函数在区间上单调递减，在区间单调递增.
故
又，，
函数在区间上的最大值为，最小值为.
【小问2详解】
存在实数，使不等式的解集恰好为，
等价于函数只有一个零点.
，
i）当时，由，解得函数在区间上单调递减；
由，解得或，
函数在区间上单调递增.
又只需要，解得.
ii）当时，显然只有一个零点成立.
iii）当时，由，解得，
即在区间上单调递减；
由，解得或，
即函数在区间上单调递增；
又只需要，解得.
综上：实数的取值范围是.
21. 已知函数.
（1）求过原点的切线方程；
（2）已知对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线方程，将点代入即可得答案；
（2）令，将原不等式恒成立转化为，根据的符号合理分类讨论.
【小问1详解】
因为，设切点为，
所以切线斜率为，切线方程为，
将点代入切线方程解得，故切线方程为；
【小问2详解】
令，
则原不等式即为，
又，且，
若时，则，
再令且，
因为，，而，故（当且仅当时等号成立），
所以在上为增函数，所以，
此时不等式恒成立即恒成立.
当时，，则，
设，
则当时，有即在上单调递增，
若，则，有恒成立，
故在上单调递减，故，不合题意；
若，则存在，使得，
故，，有恒成立，
故在上单调递减，故，不合题意；
综合上述，实数的取值范围为.
【点睛】难点点睛：本题解答的难点在于第二问根据不等式恒成立求解参数范围，解答时结合的符号合理分类讨论，继而证明在该两个范围内不等式恒成立和不成立.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，点P的极坐标为，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．
（1）求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标；
（2）已知直线（t为参数），若直线l与曲线C的交点分别是A、B，求的值．
【答案】（1）；；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）两边同时乘以，由，可得直角坐标方程以及点P的直角坐标.
（2）将直线的参数方程代入C方程，利用参数的几何意义即可求解.
【详解】解：（1）由，得，
又，，∴，
即曲线C的直角坐标方程为，
点P的直角坐标为．
（2）把直线l的方程代入C方程，整理得，
，
设A、B对应的参数分别是、，则，
于是
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 设函数.
（1）解不等式，
（2）若关于的方程没有实数根，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论x的取值范围，脱掉绝对值符号，即可求解；
（2）将没有实数根，转化为没有实数根，求出函数的最小值，结合题意可得不等式，即可求得答案.
【小问1详解】
当时，恒成立，.
当时，，得；
当时，不成立.
综上，原不等式的解集为；
【小问2详解】
方程没有实数根，即没有实数根，
令，则，
当且仅当时，即时等号成立，即值域为，
若没有实数根，则，即，
所以实数的取值范围为.