南京师范大学附属中学2023-2024学年高三寒假模拟测试数学试卷
展开本试卷共19题,满分150分,考试时间120分钟
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则的元素个数为( )
A.B.C.D.
2.用数学归纳法证明:()的过程中,从到时,比共增加了( )
A.1项B.项C.项D.项
3.已知函数,若a,b都是区间内的数,则使得成立的概率是( )
A.B.C.D.
4.已知正三棱台的上,下底面边长分别为2和6,侧棱长为4,以下底面顶点为球心,为半径的球面与侧面的交线长为( )
A.B.C.D.
5.设,则( )
A.B.
C.D.
6.17到19世纪间,数学家们研究了用连分式求解代数方程的根,并得到连分式的一个重要功能:用其逼近实数求近似值.例如,把方程改写成①,将再代入等式右边得到,继续利用①式将再代入等式右边得到……反复进行,取时,由此得到数列,,,,,记作,则当足够大时,逼近实数.数列的前2024项中,满足的的个数为(参考数据:)
A.1007B.1009C.2014D.2018
7.如图,已知椭圆和双曲线具有相同的焦点,,A、B、C、D是它们的公共点,且都在圆上,直线与x轴交于点P,直线与双曲线交于点,记直线、的斜率分别为、,若椭圆的离心率为,则的值为( )
A.2B.
C.D.4
8.若椭圆和的方程分别为和(且)则称和为相似椭圆.己知椭圆,过上任意一点P作直线交于M,N两点,且,则的面积最大时,的值为( )
A.B.C.D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对得部分分,有错选得0分.
9.已知当时,,则( )
A.B.
C.D.
10.已知椭圆上有一点P,分别为左、右焦点,的面积为S,则下列选项正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.若为钝角三角形,则
D.椭圆C内接矩形的周长范围是
11.在平面直角坐标系中,定义为两点、的“切比雪夫距离”,又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”,记作,给出下列四个命题,正确的是( )
A.对任意三点,都有;
B.已知点和直线,则;
C.到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.
D.定点、,动点满足,则点的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点.
第II卷(非选择题)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若事件A,B发生的概率分别为,,且A与B相互独立,则 .
13.已知集合,则的非空子集的个数是 .
14.如图,在四棱柱中,底面ABCD为正方形,,,,且二面角的正切值为.若点P在底面ABCD上运动,点Q在四棱柱内运动,,则的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数
(1)解关于x的不等式:;
(2)若(),求的最小值.
16.(15分)设的第项系数为.
(1)求的最大值.
(2)若表示的整数部分, ,求的值.
17.(15分)已知椭圆的短轴长为,右顶点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图所示,设点是椭圆的右顶点.过点的直线与椭圆相交于不同的两点,且都在轴的上方.在轴上是否存在点,使,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
18.(17分)如图所示,四边形为正方形,四边形,为两个全等的等腰梯形,,,,.
(1)当点为线段的中点时,求证:;
(2)当点在线段上时(包含端点),求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围.
19.(17分)在平面直角坐标系中,若在曲线的方程中,以(为非零的正实数)代替得到曲线的方程,则称曲线、关于原点“伸缩”,变换称为“伸缩变换”,称为伸缩比.
(1)已知的方程为,伸缩比,求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程;
(2)射线的方程(),如果椭圆:经“伸缩变换”后得到椭圆,若射线与椭圆、分别交于两点、,且,求椭圆的方程;
(3)对抛物线:,作变换,得抛物线:;对作变换得抛物线:,如此进行下去,对抛物线:作变换,得:若,,求数列的通项公式.
备选题:20.某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动,玩家每次抽卡需要花费10元,现有以下两种方案.方案一:没有保底机制,每次抽卡抽中新皮肤的概率为;方案二:每次抽卡抽中新皮肤的概率为,若连续99次未抽中,则第100次必中新皮肤.已知,玩家按照一、二两种方案进行抽卡,首次抽中新皮肤时的累计花费为X,Y(元).
(1)求X,Y的分布列;
(2)求;
(3)若,根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案.(参考数据:.)
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