2022北京一六六中高一下学期期中数学试卷及答案

这是一份2022北京一六六中高一下学期期中数学试卷及答案，共20页。试卷主要包含了 已知命题p， 已知三条直线，，满足， 已知点A，向量，则等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）
1. 已知命题p：x <1，，则为
A x ≥1, ＞B. x <1,
C. x <1, D. x ≥1,
2. 为了得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
3. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（ ）．
A. 5千米B. 千米C. 4千米D. 千米
4 已知向量，，那么（ ）
A. 5B. C. 8D.
5. 已知三条直线，，满足：与平行，与异面，则与（ ）
A 一定异面B. 一定相交C. 不可能平行D. 不可能相交
6. 已知点A（1，2），B（3，7），向量，则
A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同
C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反
7. 函数(其中，，)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
9. 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=
A 3B.
C. D. 1
10. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（ ）
A. B. 1C. D.
11. 已知函数，且函数在上具有单调性，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12. 学生对的性质进行研究，得出如下的结论：
①原点是图象的对称中心；
②是函数的一个周期
③在上单调递增；
④存在正常数，使对一切实数均成立.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二．填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，则圆柱的体积为________．
14. 已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.
15. 如图,已知点和单位圆上半部分上的动点.,.
（1）点的坐标为______（用表示）;
（2）,_____.
16. 已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
17. 已知函数在区间上单调，且对任意实数x均有成立，则φ=___________
18. 在锐角三角形中，，则的取值范围是______.
三、解答题（共6道解答题，每题13分，共78分）
19. 已知：函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递减区间；
（3）若函数在上有两个不同的零点，写出实数k的取值范围．（只写结论）
20. 如图，在四边形中，，，，，.
（1）求的大小；
（2）求的长；
（3）求四边形的面积.
21. 已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．
条件①：的最小正周期为；
条件②：为奇函数；
条件③：图象的一条对称轴为．
（1）求的解析式；
（2）设函数，求在区间上的最大值．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
22. 在△ABC中， .
（1）求∠B的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积
条作①；
条件②；
条件③：AB边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.
23. 对于数集，其中，．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P．
（1）判断是否具有性质P？（只写结论）
（2）若，且具有性质P，求x的值；
（3）若X具有性质P，求证：，且当时，．
24. 已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：；.
（1）当n=3时，设，，写出α-β，并计算；
（2）若集合S满足，且，，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论；
（3）若α，，且，任取，求值.
参考答案
一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）
1. 已知命题p：x <1，，则为
A. x ≥1, ＞B. x <1,
C. x <1, D. x ≥1,
【答案】C
【解析】
【详解】 根据全称命题与存在性命题之间的关系，
可知命题的否定为，故选C．
2. 为了得到函数的图象，需要把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用函数的图象变换规律，可得结论．
【详解】函数，根据图像左加右减的变换原则，
只需把函数的图象向左平移个单位长度，
即可得到函数的图象，
故选：．
3. 如图，飞机飞行的航线和地面目标在同一铅直平面内，在处测得目标的俯角为，飞行10千米到达处，测得目标的俯角为，这时处与地面目标的距离为（ ）．
A. 5千米B. 千米C. 4千米D. 千米
【答案】B
【解析】
【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可.
【详解】根据题意可知，.
在中，由正弦定理得,即.
故选:B
4. 已知向量，，那么（ ）
A. 5B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.
【详解】因为向量，，所以
.
故选：B.
5. 已知三条直线，，满足：与平行，与异面，则与（ ）
A. 一定异面B. 一定相交C. 不可能平行D. 不可能相交
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间中线线的位置关系以及平行公理，即可进行判断并且得到答案.
【详解】已知三条直线，，满足：与平行，与异面，则与可能相交，也可能异面，不可能平行.
若与平行，又与平行，根据平行公理，可得与平行，这与与异面矛盾.
故选：C.
6. 已知点A（1，2），B（3，7），向量，则
A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同
C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反
【答案】D
【解析】
【详解】因为，
所以，
，
可得，解得，
与 方向相反，
故选：D.
7. 函数(其中，，)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.
【详解】由函数图象可知函数的最大值为，所以，
由函数图象可知函数的最小正周期为，
因为，所以，所以，
由图象可知：
，即，
因为，
所以令，所以，因此，
故选：C
8. 在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）
A ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】
在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解．根据正弦定理判断．
【详解】A：已知两角和一边，三角形确定，只有一解；
B：已知两边及夹角用余弦定理，只有一解；
C：已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可能有两解；
D：，有两解．
故选：D.
【点睛】本题主要考查三角形解的个数问题，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键．三角形解的个数中只有在已知两边及一边对角用正弦定理解三角形时才可能出现两解，注意判断方法．属于较易题.
9. 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则A=
A. 3B.
C. D. 1
【答案】B
【解析】
【详解】由题意函数，周期
由图像可知
连接 过作轴的垂线，可得：
由题意， 是直角三角形，
解得： .
故选B
10. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为,则母线长为,高为,由同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,可知棱锥与圆锥的体积相等,进而求解.
【详解】由题,设圆锥的底面半径为,
因为圆锥的侧面展开图是半圆,则母线长为,高为,
因为现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,所以棱锥与圆锥的体积相等,
所以,解得,
所以母线长为,
故选:D
【点睛】本题考查圆锥的体积公式的应用,考查理解分析能力.
11. 已知函数，且函数在上具有单调性，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，且函数在上具有单调性,得关于函数的对称中心对称，根据对称性即可求解.
【详解】，
令，得，
所以函数的对称中心为，
又因为，且函数在上具有单调性，
所以，当时，，
故选：B.
12. 学生对的性质进行研究，得出如下的结论：
①原点是图象的对称中心；
②是函数的一个周期
③在上单调递增；
④存在正常数，使对一切实数均成立.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】结合的奇偶性、周期性、单调性，最值对四个结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】的定义域为，，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以①正确.
，所以②错误.
，所以③错误.
，所以存在正常数，使对一切实数均成立，④正确.
所以正确的一共有个.
故选：B
二．填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）
13. 若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，则圆柱的体积为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用圆柱的侧面积公式可以求出圆柱底面圆的半径，然后代入圆柱的体积公式即可.
【详解】设圆柱的底面半径为，则，解得，所以该圆柱的体积为.
故答案为：.
14. 已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为______.
【答案】－8
【解析】
【分析】
先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.
【详解】解：.
故答案为： -8.
【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.
15. 如图,已知点和单位圆上半部分上的动点.,.
（1）点的坐标为______（用表示）;
（2）,_____.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【详解】（1）因为为单位圆上半部分上动点，且，故
（2） ，
16. 已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
17. 已知函数在区间上单调，且对任意实数x均有成立，则φ=___________
【答案】
【解析】
【分析】由不等式恒成立得函数的最大值和最小值，结合单调性得函数周期，从而可得，则最大值（或最小值）点可求得．
【详解】因为对任意实数x均有成立，所以最小值，是最大值，
又函数在区间上单调，所以，，
所以，又，所以．
故答案为：．
18. 在锐角三角形中，，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
锐角三角形中，角都是锐角，求出角的取值范围.由正弦定理可得，把展开，即求的取值范围.
【详解】锐角中，，即，.
在中，由正弦定理，
可得
，
，
，即.
故答案为：.
【点睛】本题考查正弦定理、两角和的正弦公式、二倍角公式，属于较难的题目.
三、解答题（共6道解答题，每题13分，共78分）
19. 已知：函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递减区间；
（3）若函数在上有两个不同的零点，写出实数k的取值范围．（只写结论）
【答案】（1）
（2），．
（3）
【解析】
【分析】（1）先结合二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；
（2）根据正弦函数的性质计算可得；
（3）由已知可转化为与的交点问题，然后结合正弦函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：因为
，
即
所以的最小正周期．
【小问2详解】
解：令，，
解得，，
所以的单调递减区间为，．
【小问3详解】
解：由，可得，
而函数在上单调递增，所以，在上单调递减，，
所以若函数在上有两个不同的零点，即与有两个交点，
所以．
20. 如图，在四边形中，，，，，.
（1）求的大小；
（2）求的长；
（3）求四边形的面积.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理求出即得解；
（2）利用余弦定理求出即得解；
（3）由三角形面积公式分别求得和的面积，即可得解.
【详解】（1）在中，，，，
由余弦定理可得，
因为为三角形内角，所以.
（2）在中，，，，
由余弦定理可得，
所以.
（3），
，
所以四边形的面积为.
【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21. 已知函数（，），再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使解析式唯一确定．
条件①：的最小正周期为；
条件②：为奇函数；
条件③：图象的一条对称轴为．
（1）求的解析式；
（2）设函数，求在区间上的最大值．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别选择条件①②和①③，求得周期，在计算的值，即可求解；
（2）由（1）中，化简得到，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【小问1详解】
解：选择①②：
由条件①即已知，可得，所以，
由条件②得，所以，即，解得，
因为，所以，所以，
经验证，符合题意；
选择条件①③：
由条件①即已知，可得，所以，
由条件③得，解得，
因为，所以，所以，
选择条件：②③：
由条件②得，所以，即，解得，
因为，所以，所以，
由条件③得，解得，此时不唯一，不符合题意.
【小问2详解】
解：由函数
，
因为，所以，
所以当，即时，函数取得最大值，最大值为.
22. 在△ABC中， .
（1）求∠B的大小；
（2）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积
条作①；
条件②；
条件③：AB边上的高为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，接第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得：，从而得到，得出答案.
（2）选择条件①②，△ABC存在且唯一.由得出，由正弦定理及解出.
方法1：由两角差的余弦公式求出，最后由面积公式计算即可.
方法2：由余弦定理求出，最后由面积公式计算即可.
选择①③，△ABC存在且唯一. 由得出，因为AB边上的高为，所以得出，再由正弦定理求出解出，以下与选择条件①②相同.
【小问1详解】
由正弦定理及.
得，因为，所以
因为，所以.
小问2详解】
选择条件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：
由，及，得.
由正弦定理及
得，解得.
方法1：由，得
.
所以.
方法2：由余弦定理，得
即，解得
所以
选择①③，△ABC存在且唯一，解答如下：
由，及，得.
因为AB边上的高为，所以.
由正弦定理及，
得，解得：.
（以下与选择条件①②相同）
23. 对于数集，其中，．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P．
（1）判断是否具有性质P？（只写结论）
（2）若，且具有性质P，求x的值；
（3）若X具有性质P，求证：，且当时，．
【答案】（1）具有性质
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据新定义直接判断即可．
（2）在中取，根据数量积的坐标公式，可得中与垂直的元素必有形式，所以，结合，可得的值．
（3）取，，根据，化简可得，所以、异号．而是数集中唯一的负数，所以、中的负数必为，另一个数是1，从而证出，最后通过反证法，可以证明出当时，．
【小问1详解】
解：因为，
所以，
对于任意，均存在，使得，
所以具有性质．
【小问2详解】
解：因为，且具有性质，
选取，中与垂直的元素必有形式．
又，
所以，又，从而；
【小问3详解】
证明：取，，设满足．
由得，所以、异号．
因为是中唯一的负数，所以、中之一为，另一为1，
故．
假设，其中，则．
选取，，并设满足，
即，则，异号，从而，之中恰有一个为．
若，则，显然矛盾；
若，则，矛盾．
所以．
24. 已知n为正整数，集合，对于中任意两个元素和，定义：；.
（1）当n=3时，设，，写出α-β，并计算；
（2）若集合S满足，且，，，求集合S中元素个数的最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论；
（3）若α，，且，任取，求的值.
【答案】（1），
（2）最大值是4，此时或，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义直接求解即可；
（2）根据定义，结合反证法进行求解即可；
（3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可.
【小问1详解】
，.
【小问2详解】
最大值是4.
此时或.
若还有第5个元素，则必有，和，和，和，之一出现，其对应的，不符合题意.
【小问3详解】
证明：设，，，
所以，，，，（）
从而，
又，
当时，；
当时，.
所以，
所以.
【点睛】关键点睛：运用分类讨论法、反证法是解题的关键.