福建省龙岩市2024届高中毕业班三月质量检测数学试卷（附答案）

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（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.考生将自己的姓名､准考证号及所有的答案均填写在答题卡上，
2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则（ ）
A. B. C.-8 D.8
3.已知互相垂直的平面交于直线，若直线满足，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为（ ）
A.-91 B.-21 C.14 D.49
6.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.2
7.已知直线与抛物线相交于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，则（ ）
A.4 B. C.5 D.6
8.已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A. B.为奇函数
C. D.的周期为3
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知点与圆是圆上的动点，则（ ）
A.的最大值为
B.过点的直线被圆截得的最短弦长为
C.
D.的最小值为
11.如图，在棱长为2的正方体中，已知分别是棱的中点，点满足，下列说法正确的是（ ）
A.不存在使得
B.若四点共面，则
C.若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D.若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.定义在上的函数满足，且在上单调递减，则不等式的解集为__________.
13.在中，为上一点，为的角平分线，则__________.
14.斜率为-1的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，且满足，点分别是的重心，点是的外心.记直线的斜率分别为，若，则椭圆的离心率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人.某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
（1）试根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为，求的分布列和数学期望.
附：.
16.（本题满分15分）
如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面.
（1）作出（不要求写作法）；
（2）线段上是否存在一点，使平面？请说明理由；
（3）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
17.（本题满分15分）
设等差数列的公差为，令，记分别为数列的前项和.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若数列是公比为正数的等比数列，，，求数列的前项和.
18.（本题满分17分）
已知函数是大于0的常数，记曲线在点处的切线为在轴上的截距为.
（1）若函数，求的单调区间；
（2）当时，求的取值范围.
19.（本题满分17分）
已知双曲线是双曲线的左顶点，直线.
（1）设直线过定点，且交双曲线于两点，求证：直线与的斜率之积为定值；
（2）设直线与双曲线有唯一的公共点.
（i）已知直线与双曲线的两条渐近线相交于两点，求证：；
（ii）过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，当点运动时，求点的轨迹方程.有慢性疾病
没有慢性疾病
未感染支原体肺炎
60
80
感染支原体肺炎
40
20
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828