山东省济宁市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份山东省济宁市2022-2023学年高一下学期期末数学试题(学生版+解析)，共26页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若为角终边上的一点，则( )
A. B. C. D.
3. 若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的边的长度为( )

A. 2B. C. 3D. 4
4. ( )
A B. C. D.
5. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6. 如图所示，要测量电视塔的高度，可以选取与塔底在同一水平面内的两个观测基点与，在点测得塔顶的仰角为，在点测得塔顶的仰角为，且，，则电视塔的高度为( )

A B. C. D.
7. 在三棱锥中，，是边长为6的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A B. C. D.
8. 在中，，边上一点满足，若，则( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数的的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )

A. 的最小正周期为
B. 的图象关于对称
C. 在上为减函数
D. 把的图象向右平移个单位长度可得一个偶函数的图象
10. 已知向量，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与的夹角为钝角
D. 当时，则在上的投影向量的坐标为
11. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生身高信息，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是( )
A. 男生样本容量为100B. 抽取的样本的均值为
C. 抽取的样本的均值为166D. 抽取的样本的方差为43
12. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，点为棱上的动点(包含端点)，则下列说法中正确的是( )

A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 的最小值为
D. 当P为的中点时，平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则________．
14. 已知是关于的方程的一个根，则________．
15. 在正四棱锥中，，点是的中点，则直线和所成角的余弦值为________．
16. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某学校举行高一学生数学素养测试，现从全年级所有学生中随机抽取100名学生的测试成绩(其成绩都落在内)，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，．

(1)求频率分布直方图中的值：
(2)估计该样本的80%分位数．
18. 已知向量与的夹角为，且，．
(1)求；
(2)若向量，，求与的夹角．
19. 已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，，求的值．
20. 如图，在三棱台中，，，分别为，中点．
(1)求证：平面;
(2)若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积．
21. 在中，内角，，的对边分别为，，，若．
(1)求角的大小;
(2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
22. 如图，在直三棱柱中，平面平面．

(1)求证：为直角三角形；
(2)设点，分别为棱，的中点，若二面角的大小为，且，求直线与平面所成角的正弦值．
2022—2023学年度第二学期质量检测
高一数学试题
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据复数对应的点即可得到答案.
【详解】因为，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限，
故选：B
2. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若为角终边上的一点，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据任意角三角函数的定义分析运算.
详解】由题意可得：.
故选：A.
3. 若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的边的长度为( )

A. 2B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，根据勾股定理即可求解．
【详解】由斜二测画法的直观图知：
，，，，，

原图形中，，，，，，
,
故选：C
4. ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式和两角差的正弦公式可得.
【详解】
故选：A
5. 已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥表面积公式和扇形的弧长公式求得母线和半径长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案．
【详解】设该圆锥的底面半径为,母线为，则，，
故，
则圆锥的高为，
因此该圆锥的体积，
故选：D
6. 如图所示，要测量电视塔的高度，可以选取与塔底在同一水平面内的两个观测基点与，在点测得塔顶的仰角为，在点测得塔顶的仰角为，且，，则电视塔的高度为( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，求得，，在中，利用余弦定理可得出关于的方程，结合可求得的值，即为所求.
【详解】设，在中，，则，
在中，，则为等腰直角三角形，故，
在中，，，，，
由余弦定理可得，
即，可得，
因为，解得，
故选：C.
7. 在三棱锥中，，是边长为6的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，的中点，取的外心，分别过点，作平面，平面，且，由题意得到点为三棱锥的外接球的球心，设外接球的半径为，则为外接球的半径，利用勾股定理求得，代入球的表面积公式即可求解．
【详解】取中点，的中点，连接，，如图所示，

由，有，则，所以点为的外心，
因为为等边三角形，取的外心，
分别过点，作平面，平面，且，
则点为三棱锥的外接球的球心，
设外接球的半径为，连接，则为外接球的半径，
由题可知，
又平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以四边形为矩形，
所以，又，
所以，
所以三棱锥的外接球的表面积．
故选：B．
8. 在中，，边上一点满足，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在、中，分别利用正弦定理可得出，即可得出，利用平面向量的减法可得出关于、的表达式，可得出、的值，即可得解.
【详解】在中，由正弦定理可得．①
在中，由正弦定理可得．②
因为，，，
由①②可得，则，

即，解得，
又因为，且、不共线，所以，，所以．
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数的的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )

A. 的最小正周期为
B. 的图象关于对称
C. 在上为减函数
D. 把的图象向右平移个单位长度可得一个偶函数的图象
【答案】AB
【解析】
【分析】根据函数图象可得解析式为，即可结合选项逐一求解.
【详解】由图可知：,故A正确，
当时，,进而，
由于，故，
对于B，，故B正确，
对于C，，故在先减后增，故C错误，
对于D，把的图象向右平移个单位长度得，由于为奇函数，故D错误，
故选：AB
10. 已知向量，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则与的夹角为钝角
D. 当时，则在上的投影向量的坐标为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合向量共线、垂直及投影向量的意义计算判断各选项作答.
【详解】向量，，
对于A，由，得，解得，A错误；
对于B，由，得，解得，B正确；
对于C，当时，反向共线，夹角为，此时与的夹角不为钝角，C错误；
对于D，当时，，，
因此在上的投影向量为，D正确.
故选：BD
11. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，方差为19，女生样本的均值为161，方差为28，则下列说法中正确的是( )
A. 男生样本容量为100B. 抽取的样本的均值为
C. 抽取的样本的均值为166D. 抽取的样本的方差为43
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解A，由平均数和方差的计算公式即可求解BCD.
【详解】根据分层抽样可知抽取的男生有人，女生由人，故A正确，
样本均值为，故B错误，C正确，
样本方差为：，故D正确，
故选：ACD
12. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，点为棱上的动点(包含端点)，则下列说法中正确的是( )

A.
B. 三棱锥的体积为定值
C. 的最小值为
D. 当P为的中点时，平面截正方体所得截面的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项由平面可得；
B选项由等体积变化可得；
C选项由展开面线段长可得；
D选项先确定截面，然后计算面积可得.
【详解】选项A：

连接，
由正方体的性质得平面，，
因平面，所以，
因平面，平面，，
所以平面，
又因平面，
所以，故A正确；
选项B：
如图到平面的距离为，到的距离为2，
，
故B正确；
选项C：

如图，将正方形与放在同一平面中，
则的最小值为线段，
故C错误；
选项D：

如图，连接，由正方体的性质得，
则在平面上，
故四边形即为平面截正方体所得截面，
因为的中点，故，
又因平面,面所以
故四边形矩形，
，
，
故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用同角三角函数的关系，化简求值.
【详解】已知，则.
故答案为：4
14. 已知是关于的方程的一个根，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由一元二次方程的跟互为共轭复数，再由韦达定理可求，即得.
【详解】因是关于的方程的一个根，
所以是关于方程的另一个根，
由韦达定理得，，
得，，
所以，
故答案为：.
15. 在正四棱锥中，，点是的中点，则直线和所成角的余弦值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据中位线可得异面直线所成的角，利用三角形的边角关系即可求解.
【详解】如图，连接，相交于，连接，则为的中点，又为的中点，

所以，
所以为异面直线和所成的角或其补角．
又为等边三角形，且边长为2，
故，又，
所以，所以，
所以．
异面直线和所成的角的余弦值为
故答案为：
16. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角，即可得到，从而得到，再由正弦定理将转化为关于的三角函数，结合的取值范围及余弦函数、二次函数的性质计算可得.
【详解】因为，所以，
由正弦定理可得，
，
，，
，
，即，
，
由为锐角三角形得，解得．
，
因为，所以，
所以当时，取得最大值．
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 某学校举行高一学生数学素养测试，现从全年级所有学生中随机抽取100名学生的测试成绩(其成绩都落在内)，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，．

(1)求频率分布直方图中的值：
(2)估计该样本的80%分位数．
【答案】(1)
(2)80%分位数为
【解析】
【分析】(1)根据频率之和为1即可求解，
(2)利用百分位数的计算公式即可由频率之和求解.
【小问1详解】
由题意知

解得
【小问2详解】
因为，
，
，
，
所以该样本的80%分位数一定位于内，
由
可以估计该样本的80%分位数为
18. 已知向量与的夹角为，且，．
(1)求；
(2)若向量，，求与的夹角．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用平面向量数量积的运算性质可得出关于的方程，结合可求得的值；
(2)利用平面向量数量积的运算性质求出、、的值，可求出的值，结合向量夹角的取值范围可得出与的夹角.
【小问1详解】
解：因为，，
所以，即，
因为，解得.
【小问2详解】
解：因为，
，所以，同理．
所以，
又，所以，故与的夹角为．
19. 已知函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】(1)利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数单调性运算求解；
(2)由题意可得，根据结合两角和差公式运算求解.
【小问1详解】
因为
，
令，，解得，，
所以的单调递增区间为，.
【小问2详解】
由，可得
因为，则，
所以，
所以
，
即.
20. 如图，在三棱台中，，，分别为，的中点．
(1)求证：平面;
(2)若三棱锥的体积为1，求三棱台的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)7
【解析】
【分析】(1)通过证明平面平面，即可证明平面；
(2)通过求出棱台上下底面面积和三棱锥的体积表达式，即可求出三棱台的体积.
【小问1详解】
由题意，
，分别为，的中点，
，
又平面，平面，
平面，
，为的中点，，
，，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
又，
平面平面
∵平面，
∴平面.
【小问2详解】
由题意及(1)得，
设的面积为，
则由几何知识知的面积为，的面积为，
设三棱台的高为，则，
∴.
21. 在中，内角，，的对边分别为，，，若．
(1)求角的大小;
(2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)将化成，然后结合正弦定理求解；
(2)运用等面积法先表示出，然后结合余弦定理以及基本不等式求解线段长度的最大值.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，
由正弦定理得，即 ,
由余弦定理得，
又，所以.
【小问2详解】
由余弦定理得，即
所以，
即(当且仅当时，等号成立)
因为，
所以，
解得,
因为(当且仅当时，等号成立)，
所以(当且仅当时，等号成立)，
所以长度的最大值为．
22. 如图，在直三棱柱中，平面平面．

(1)求证：为直角三角形；
(2)设点，分别为棱，的中点，若二面角的大小为，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)根据题意面面垂直性质可得平面，结合线面垂直的判定定理分析证明；
(2)根据二面角的定义分析可得，利用等体积法求点到平面的距离，进而结合线面夹角运算求解.
【小问1详解】
因为为直三棱柱，
则平面，且平面，可得，
过点A作，垂足为，
又因为平面平面，平面平面，平面，
可得平面，
且平面，可得，
，，可得平面，
且平面，可得，
所以为直角三角形.
【小问2详解】
由(1)可知：平面，平面，
所以，，
则即为二面角的平面角，可得，
所以，
设点到平面的距离为d，直线与平面所成角为，
可得，，
则，，
因为，则，
即，解得，可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【点睛】方法点睛：证明线面垂直的常用方法
1.利用线面垂直的判定定，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直．
2.利用面面垂直的性质定，把证明线面垂直转化为证明面面垂直．
3.利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．