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人教版七年级数学下册同步练习第01讲相交线(2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固)(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学下册同步练习第01讲相交线(2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固)(原卷版+解析)，共33页。
知识点01 邻补角及其性质
邻补角的概念：
如图：像∠AOC与∠AOD这样，有一条 ，另一边
互为 ，具有这样关系的两个角是 。
邻角的性子：
互为邻补角的两个角之和等于 ，即 。
【即学即练1】
1．（2023春•铁西区期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】
2．（2023•青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
知识点02 对顶角及其性质
对顶角的概念：
如图：像∠AOC与∠BOD这样，有 ，且一个角的
两边两边均与另一个角的两边互为 ，具有这样关系的
两个角是 。
对顶角的性质：
互为对顶角的两个角 。即 。
【即学即练1】
3．（2023春•阿荣旗期末）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】
4．（2023春•白银期末）如图，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．40°C．45°D．145°
题型01 邻补角的认识
【典例1】（2023春•路北区期中）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023春•闽侯县期末）如所示四个图形中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023春•晋江市校级期中）下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
题型02 利用邻补角的性质计算
【典例1】（2023春•夏邑县期中）已知∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，则∠2＝ ．
【变式1】（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（ ）
A．30°B．50°C．60°D．80°
【变式2】（2023春•云浮期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝3∠AOC，则∠BOD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
题型03 对顶角的认识
【典例1】（2023春•莲池区期末）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023春•谷城县期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2022秋•社旗县期末）下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
题型04 利用对顶角的性质计算
【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2＝60°，则∠2＝ 度．
【变式1】（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，则∠BOE＝（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【变式2】（2023春•阜南县校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，则∠BOD的大小变化是（ ）
A．减少12°27′B．增大167°33′
C．不变D．增大12°27′
题型05 利用邻补角与对顶角的性质综合计算
【典例1】（2022秋•秀英区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（ ）
A．66°B．76°C．90°D．144°
【变式1】（2023春•陈仓区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠COB＝110°，则∠BOE的度数是（ ）
A．55°B．70°C．125°D．145°
【变式2】（2023秋•香坊区校级期中）如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数．
【变式3】（2022秋•金凤区校级期末）已知：∠EOC是直角，直线AE、BF、DG交于点O，OD平分∠EOC，∠AOB＝40°，求：∠1和∠BOD、∠EOG的度数．
1．（2023秋•道里区校级期中）在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋•珠海校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，则∠COE的度数为（ ）
A．145°B．150°C．155°D．160°
3．（2023春•招远市期末）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．同角的余角相等B．同角的补角相等
C．等角的余角相等D．等角的补角相等
4．（2023春•茶陵县期末）如图，直线a、b相交，∠1＝130°，则∠2+∠3＝（ ）
A．50°B．100°C．130°D．180°
5．（2023春•威县校级期末）如图，直线a，b相交，∠1：∠2＝2：7，则∠3的度数是（ ）
A．20°B．40°C．45°D．60°
6．（2023春•泾阳县期中）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（ ）
A．72°B．90°C．108°D．144°
7．（2023•江油市开学）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是（ ）
A．∠BCDB．∠FDBC．∠BDND．∠CDB
8．（2023春•和平区校级月考）如图，一把张开的剪刀，给我们两条直线相交的形象，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝180°B．∠1﹣∠3＝90°
C．∠2＝∠3D．∠3+∠1＝180°
9．（2023春•川汇区期中）如图，直线BD，CE相交于点O，OB平分∠AOC，若∠AOE＝112°，则∠DOE＝（ ）
A．34°B．35°C．36°D．39°
10．（2023春•威县期末）如图，为测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，甲、乙两人的测量方案如表：
下列判断正确的是（ ）
A．甲能得到∠AOB的度数，乙不能
B．乙能得到∠AOB的度数，甲不能
C．甲、乙都能得到∠AOB的度数
D．甲、乙都不能得到∠AOB的度数
11．（2023•高台县开学）两直线相交，若∠1和∠2是一对对顶角，且∠1+∠2＝280°，则∠2＝ 度．
12．（2023春•鄄城县期中）如图是一把剪刀示意图，∠AOB+∠COD＝80°，∠AOC＝ ．
13．（2023•南岗区校级开学）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE：∠BOE＝2：5，则∠EOD的度数为 ．
14．（2023春•泗水县期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝∠BOC，∠AOD的度数是 ．
15．（2023春•遵义期末）如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角；
如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角；
如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角；
则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．
16．（2023春•榆林期末）如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2＝80°，求∠AOE的度数．
17．（2023春•渭南期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠DOE＝2：3，若∠AOC＝70°，求∠AOE的度数．
18．（2023春•南丹县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；
（2）若∠BOE：∠EOC＝1：3，求∠AOC的度数．
19．（2022秋•宁波期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）求∠DOF的度数；
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
20．（2023春•通川区校级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）图中∠BOD的邻补角为 ，∠AOE的邻补角为 ；
（2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝ ，
如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝ ；
（3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由．
第01讲 相交线（2知识点+5类热点题型练习）
知识点01 邻补角及其性质
邻补角的概念：
如图：像∠AOC与∠AOD这样，有一条 公共边 ，另一边
互为 反向延长线 ，具有这样关系的两个角是 邻补角 。
邻角的性子：
互为邻补角的两个角之和等于 180° ，即 邻补角互补 。
【即学即练1】
1．（2023春•铁西区期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，故A选项不符合题意；
B．∠1与∠2是邻补角，故B选项符合题意；
C．∠1与∠2不存在公共边，不是邻补角，故C选项不符合题意；
D..∠1与∠2是同旁内角，故D选项不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
2．（2023•青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】由邻补角的性质：邻补角互补，即可求解．
【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°．
故选：A．
知识点02 对顶角及其性质
对顶角的概念：
如图：像∠AOC与∠BOD这样，有 公共顶点 ，且一个角的
两边两边均与另一个角的两边互为 反向延长线 ，具有这样关系的
两个角是 对顶角 。
对顶角的性质：
互为对顶角的两个角 相等 。即 对顶角相等 。
【即学即练1】
3．（2023春•阿荣旗期末）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角；
B、∠1与∠2是对顶角；
C、∠1与∠2不是对顶角；
D、∠1与∠2不是对顶角；
故选：B．
【即学即练2】
4．（2023春•白银期末）如图，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．40°C．45°D．145°
【分析】根据对顶角相等求解即可．
【解答】解：∵∠1＝35°，∠1和∠2是对顶角，
∴∠2＝∠1＝35°．
故选：A．
题型01 邻补角的认识
【典例1】（2023春•路北区期中）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据邻补角的定义作答即可．
【解答】解：由题意知，C中∠1与∠2是邻补角，
故选：C．
【变式1】（2023春•闽侯县期末）如所示四个图形中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．
【解答】解：A、∠1和∠2是对顶角，故A不符合题意；
B、∠1和∠2是邻补角，故B符合题意；
C、∠1和∠2没有公共顶点，故C不符合题意；
D、∠1和∠2是同旁内角，故D不符合题意．
故选：B．
【变式2】（2023春•晋江市校级期中）下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
题型02 利用邻补角的性质计算
【典例1】（2023春•夏邑县期中）已知∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，则∠2＝ 120° ．
【分析】根据邻补角的定义求解即可．
【解答】解：∵∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，
∴∠2＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
【变式1】
9．（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（ ）
A．30°B．50°C．60°D．80°
【分析】由对顶角的性质得到∠AOD＝∠1＝80°，即可求出∠AOE的度数．
【解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，
∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．
故选：B．
【变式2】
10．（2023春•云浮期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝3∠AOC，则∠BOD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】由题意求得∠AOC的度数，继而求得∠BOD的度数．
【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，∠AOC+∠AOD＝180°，
∴4∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝45°，
∴∠BOD＝∠AOC＝45°，
故选：D．
题型03 对顶角的认识
【典例1】
11．（2023春•莲池区期末）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．
【解答】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故A不符合题意；
B、∠1与∠2是对顶角，故B符合题意；
C、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故C不符合题意；
D、∠1与∠2的两边不互为反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故D不符合题意；
故选：B．
【变式1】
12．（2023春•谷城县期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义，结合各个选项中的图形中的∠1、∠2，进行判断即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，选项B图形中的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
【变式2】
13．（2022秋•社旗县期末）下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可．
【解答】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合，
故选：D．
题型04 利用对顶角的性质计算
【典例1】
14．（2023秋•南岗区校级期中）如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2＝60°，则∠2＝ 30 度．
【分析】根据对顶角相等结合题意计算即可．
【解答】解：∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝60°，
∴∠2＝30°，
故答案为：30．
【变式1】
15．（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，则∠BOE＝（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】根据邻补角的性质以及角平分线的定义即可解决问题；
【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝40°，
故选：C．
【变式2】
16．（2023春•阜南县校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，则∠BOD的大小变化是（ ）
A．减少12°27′B．增大167°33′
C．不变D．增大12°27′
【分析】根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，
∴∠BOD的大小变化是12°27′，
故选：D．
题型05 利用邻补角与对顶角的性质综合计算
【典例1】
17．（2022秋•秀英区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（ ）
A．66°B．76°C．90°D．144°
【分析】根据条件∠AOE＝2∠AOC、对顶角相等和补角的定义可得答案．
【解答】解：如图，∠1＝∠AOC＝38°．
∵∠AOE＝2∠AOC，
∴∠AOE＝76°．
∴∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠AOE＝180°﹣38°﹣76°＝66°．
故选：A．
【变式1】
18．（2023春•陈仓区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠COB＝110°，则∠BOE的度数是（ ）
A．55°B．70°C．125°D．145°
【分析】由角平分线定义得到∠AOE＝∠AOD，由对顶角的性质得到∠AOD＝∠BOC＝110°，因此∠AOE＝55°，由邻补角的性质得到∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．
【解答】解：∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠AOD，
∵∠AOD＝∠BOC＝110°，
∴∠AOE＝55°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．
故选：C．
【变式2】
19．（2023秋•香坊区校级期中）如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数．
【分析】根据∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，求出∠EOC30°，根据对顶角的性质得∠BOC＝∠AOD＝80°，即可求出∠EOB的度数．
【解答】解：∵∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，
∴∠EOC＝×90°＝30°，
∵∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝∠AOD＝80°，
∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝30°+80°＝110°．
【变式3】
20．（2022秋•金凤区校级期末）已知：∠EOC是直角，直线AE、BF、DG交于点O，OD平分∠EOC，∠AOB＝40°，求：∠1和∠BOD、∠EOG的度数．
【分析】利用角平分线的定义可得∠DOE＝∠EOC＝45°，从而利用对顶角相等可得∠1＝∠DOE＝45°，然后再利用平角定义求出∠BOD和∠EOG的度数，即可解答．
【解答】解：∵∠EOC＝90°，OD平分∠EOC，
∴∠DOE＝∠EOC＝45°，
∴∠1＝∠DOE＝45°，
∴∠EOG＝180°﹣∠1＝135°，
∵∠AOB＝40°，
∴∠BOD＝180°﹣∠DOE﹣∠AOB＝95°，
∴∠1的度数为45°，∠BOD的度数为95°，∠EOG的度数为135°．
1．（2023秋•道里区校级期中）在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，可得结论．
【解答】解：在选项A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有选项B．
故选：B．
2．（2023秋•珠海校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，则∠COE的度数为（ ）
A．145°B．150°C．155°D．160°
【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到，然后根据平角的概念求解即可．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝160°．
故选：D．
3．（2023春•招远市期末）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．同角的余角相等B．同角的补角相等
C．等角的余角相等D．等角的补角相等
【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断．
【解答】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．
故选：B．
4．（2023春•茶陵县期末）如图，直线a、b相交，∠1＝130°，则∠2+∠3＝（ ）
A．50°B．100°C．130°D．180°
【分析】根据图形及∠1＝130°可求出∠2和∠3的值，进而能得出∠2+∠3的值．
【解答】解：由图形可得：∠2＝∠3＝180°﹣∠1＝50°，
∴∠2+∠3＝100°．
故选：B．
5．（2023春•威县校级期末）如图，直线a，b相交，∠1：∠2＝2：7，则∠3的度数是（ ）
A．20°B．40°C．45°D．60°
【分析】根据∠1+∠2＝180°，∠1：∠2＝2：7，即可求出∠1的度数，再根据对顶角相等即可得出∠3的度数．
【解答】解：∵∠1：∠2＝2：7，
∴设∠1＝2x，∠2＝7x，
∵∠1+∠2＝180°，
∴2x+7x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠1＝40°，
∴∠3＝∠1＝40°，
故选：B．
6．（2023春•泾阳县期中）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（ ）
A．72°B．90°C．108°D．144°
【分析】根据邻补角的概念求出∠AOD，根据角平分线的定义求出∠DOE，再根据邻补角的概念计算，得到答案．
【解答】解：∵∠1＝36°，
∴∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOD＝72°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝108°，
故选：C．
7．（2023•江油市开学）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是（ ）
A．∠BCDB．∠FDBC．∠BDND．∠CDB
【分析】对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解．
【解答】解：观察图形可知，∠PDM的对顶角是∠BDN．
故选：C．
8．（2023春•和平区校级月考）如图，一把张开的剪刀，给我们两条直线相交的形象，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝180°B．∠1﹣∠3＝90°
C．∠2＝∠3D．∠3+∠1＝180°
【分析】根据邻补角的定义和对顶角的性质分别判断即可．
【解答】解：由图可知：∠1和∠2为邻补角，∠1和∠3为邻补角，∠2和∠3为对顶角，
∴∠1+∠2＝180°，∠3+∠1＝180°，∠2＝∠3，
∴选项A，C，D成立，选项B不一定成立．
故选：B．
9．（2023春•川汇区期中）如图，直线BD，CE相交于点O，OB平分∠AOC，若∠AOE＝112°，则∠DOE＝（ ）
A．34°B．35°C．36°D．39°
【分析】先根据平角的定义求出∠AOB，然后根据角平分线的定义求出∠BOC，再根据对顶角相等求出∠DOE即可．
【解答】解：∵∠AOE＝112°，
∴∠AOC＝68°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠BOC＝34°，
∴∠DOE＝∠BOC＝34°．
故选：A．
10．（2023春•威县期末）如图，为测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，甲、乙两人的测量方案如表：
下列判断正确的是（ ）
A．甲能得到∠AOB的度数，乙不能
B．乙能得到∠AOB的度数，甲不能
C．甲、乙都能得到∠AOB的度数
D．甲、乙都不能得到∠AOB的度数
【分析】根据对顶角相等，邻补角互补，进行判断作答即可．
【解答】解：由题意知，方案一，由对顶角相等可得∠AOB＝∠COD，甲能得到∠AOB的度数；
方案二，由邻补角互补可得，∠AOB＝180°﹣∠AOD，乙能得到∠AOB的度数；
故选：C．
11．（2023•高台县开学）两直线相交，若∠1和∠2是一对对顶角，且∠1+∠2＝280°，则∠2＝ 140 度．
【分析】根据对顶角相等进行计算即可．
【解答】解：∵∠1和∠2是一对对顶角，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1+∠2＝280°，
∴∠2＝，
故答案为：140．
12．（2023春•鄄城县期中）如图是一把剪刀示意图，∠AOB+∠COD＝80°，∠AOC＝ 140° ．
【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．
【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝80°，∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＝40°，
∵∠AOC+∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝140°，
故答案为：140°．
13．（2023•南岗区校级开学）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE：∠BOE＝2：5，则∠EOD的度数为 120° ．
【分析】根据已知∠COE：∠BOE＝2：5，从而根据∠COE和∠DOE为邻补角即可求出两角的度数；要求∠BOD的度数，结合对顶角相等可知直线求出∠AOC的度数，则此时结合上述所求，根据角平分线的定义即可解答．
【解答】解：∵∠COE：∠BOE＝2：5，
∴设∠COE＝2x，∠BOE＝5x，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE＝∠AOC＝x，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴x+5x＝180°，
∴x＝30°，
∴∠BOE＝5x＝150°，
∵∠BOD＝∠AOC＝30°，
∴∠EOD＝120°，
故答案为：120°．
14．（2023春•泗水县期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝∠BOC，∠AOD的度数是 135° ．
【分析】设∠1＝∠2＝x，根据得出∠BOC＝3x，根据∠1+∠BOC＝180°列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：设∠1＝∠2＝x，
∵，
∴，
∴∠BOC＝3x，
∵∠1+∠BOC＝180°，
∴x+3x＝180°，
解得：x＝45°，
则∠BOC＝3x＝135°．
故答案为：135°．
15．（2023春•遵义期末）如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角；
如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角；
如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角；
则n条直线相交于一点，有 2n（n﹣1） 组不重复的邻补角．
【分析】结合已知条件及图形总结规律即可．
【解答】解：由①得4＝2×1×2，
由②可得12＝3×2×2，
由③可得24＝4×3×2，
那么n条直线相交于一点，不重复的邻补角共有2n（n﹣1）组，
故答案为：2n（n﹣1）．
16．（2023春•榆林期末）如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2＝80°，求∠AOE的度数．
【分析】根据∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2（对顶角相等）得出∠1＝∠2＝40°，进而求出∠AOD＝140°，再利用角平分线的定义求解即可．
【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠AOD，
∴．
17．（2023春•渭南期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠DOE＝2：3，若∠AOC＝70°，求∠AOE的度数．
【分析】根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD＝2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝∠AOC＝70°，
∵∠BOE：∠EOD＝2：3，
∴∠BOE＝×70°＝28°，
∴∠AOE＝180°﹣28°＝152°．
18．（2023春•南丹县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；
（2）若∠BOE：∠EOC＝1：3，求∠AOC的度数．
【分析】（1）根据补角的定义可以求出∠EOD，再根据角平分线的性质即可求解；
（2）根据平角的定义和题中角的比可求出∠BOD，再根据对顶角相等即可求解．
【解答】解：（1）∵∠EOC＝110°，
∴∠EOD＝180°﹣∠EOC＝70°，
∵OB平分∠EOD，
∴；
（2）∵OB平分∠EOD，
∴，
∵∠BOE：∠EOC＝1：3，
∴∠EOC＝3∠BOE＝3∠BOD，
∵∠EOC+∠DOE＝180°，
∴3∠BOD+2∠BOD＝180°，
解得：∠BOD＝36°，
∴∠AOC＝∠BOD＝36°．
19．（2022秋•宁波期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）求∠DOF的度数；
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【分析】（1）由角平分线定义得到∠DOF＝∠AOB，即可得到答案；
（2）由平角定义得到∠AOC＝30°，由对顶角的性质得到∠BOD＝30°，而∠DOF＝90°，即可求出∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠EOD＝∠BOE，∠EOF＝∠AOE，
∴∠EOD+∠EOF＝（∠BOE+∠AOE），
∴∠DOF＝∠AOB＝×180°＝90°；
（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠EOD＝∠BOD＝30°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝90°﹣30°＝60°．
20．（2023春•通川区校级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）图中∠BOD的邻补角为 ∠AOD ，∠AOE的邻补角为 ∠BOE ；
（2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝ 65° ，
如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝ 30° ；
（3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）直接利用邻补角的定义分析得出答案；
（2）结合角平分线的定义利用已知分别得出各角度数即可；
（3）利用角平分线的定义结合平角的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：∠BOD的邻补角为：∠AOD，
∠AOE的邻补角为：∠BOE；
故答案为：∠AOD，∠BOE；
（2）∵∠COD＝25°，∴∠AOC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝130°，
∴∠BOE＝×130°＝65°，
∵∠COD＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BOE＝∠BOC＝30°，
故答案为：65°，30°；
（3）由题意可得：
∠COD+∠BOE
＝∠AOC+∠BOC
＝（∠AOC+∠BOC）
＝90°．
课程标准
学习目标
①邻补角及其性质
②对顶角及其性质
掌握邻补角与对顶角的定义，能够准确的判断邻补角与对顶角。
掌握邻补角与对顶角的性质，能够熟练的运用性质进行计算。
方案一
方案二
甲：分别作AO，BO的延长线OC，OD，量出∠COD的度数，就得到∠AOB的度数．
乙：作BO的延长线OD，量出∠AOD的度数后可通过180°﹣∠AOD得到∠AOB的度数．
课程标准
学习目标
①邻补角及其性质
②对顶角及其性质
掌握邻补角与对顶角的定义，能够准确的判断邻补角与对顶角。
掌握邻补角与对顶角的性质，能够熟练的运用性质进行计算。
方案一
方案二
甲：分别作AO，BO的延长线OC，OD，量出∠COD的度数，就得到∠AOB的度数．
乙：作BO的延长线OD，量出∠AOD的度数后可通过180°﹣∠AOD得到∠AOB的度数．
知识点01 邻补角及其性质
邻补角的概念：
如图：像∠AOC与∠AOD这样，有一条 ，另一边
互为 ，具有这样关系的两个角是 。
邻角的性子：
互为邻补角的两个角之和等于 ，即 。
【即学即练1】
1．（2023春•铁西区期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】
2．（2023•青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
知识点02 对顶角及其性质
对顶角的概念：
如图：像∠AOC与∠BOD这样，有 ，且一个角的
两边两边均与另一个角的两边互为 ，具有这样关系的
两个角是 。
对顶角的性质：
互为对顶角的两个角 。即 。
【即学即练1】
3．（2023春•阿荣旗期末）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】
4．（2023春•白银期末）如图，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．40°C．45°D．145°
题型01 邻补角的认识
【典例1】（2023春•路北区期中）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023春•闽侯县期末）如所示四个图形中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2023春•晋江市校级期中）下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
题型02 利用邻补角的性质计算
【典例1】（2023春•夏邑县期中）已知∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，则∠2＝ ．
【变式1】（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（ ）
A．30°B．50°C．60°D．80°
【变式2】（2023春•云浮期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝3∠AOC，则∠BOD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
题型03 对顶角的认识
【典例1】（2023春•莲池区期末）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023春•谷城县期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2022秋•社旗县期末）下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
题型04 利用对顶角的性质计算
【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2＝60°，则∠2＝ 度．
【变式1】（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，则∠BOE＝（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【变式2】（2023春•阜南县校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，则∠BOD的大小变化是（ ）
A．减少12°27′B．增大167°33′
C．不变D．增大12°27′
题型05 利用邻补角与对顶角的性质综合计算
【典例1】（2022秋•秀英区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（ ）
A．66°B．76°C．90°D．144°
【变式1】（2023春•陈仓区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠COB＝110°，则∠BOE的度数是（ ）
A．55°B．70°C．125°D．145°
【变式2】（2023秋•香坊区校级期中）如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数．
【变式3】（2022秋•金凤区校级期末）已知：∠EOC是直角，直线AE、BF、DG交于点O，OD平分∠EOC，∠AOB＝40°，求：∠1和∠BOD、∠EOG的度数．
1．（2023秋•道里区校级期中）在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋•珠海校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，则∠COE的度数为（ ）
A．145°B．150°C．155°D．160°
3．（2023春•招远市期末）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．同角的余角相等B．同角的补角相等
C．等角的余角相等D．等角的补角相等
4．（2023春•茶陵县期末）如图，直线a、b相交，∠1＝130°，则∠2+∠3＝（ ）
A．50°B．100°C．130°D．180°
5．（2023春•威县校级期末）如图，直线a，b相交，∠1：∠2＝2：7，则∠3的度数是（ ）
A．20°B．40°C．45°D．60°
6．（2023春•泾阳县期中）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（ ）
A．72°B．90°C．108°D．144°
7．（2023•江油市开学）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是（ ）
A．∠BCDB．∠FDBC．∠BDND．∠CDB
8．（2023春•和平区校级月考）如图，一把张开的剪刀，给我们两条直线相交的形象，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝180°B．∠1﹣∠3＝90°
C．∠2＝∠3D．∠3+∠1＝180°
9．（2023春•川汇区期中）如图，直线BD，CE相交于点O，OB平分∠AOC，若∠AOE＝112°，则∠DOE＝（ ）
A．34°B．35°C．36°D．39°
10．（2023春•威县期末）如图，为测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，甲、乙两人的测量方案如表：
下列判断正确的是（ ）
A．甲能得到∠AOB的度数，乙不能
B．乙能得到∠AOB的度数，甲不能
C．甲、乙都能得到∠AOB的度数
D．甲、乙都不能得到∠AOB的度数
11．（2023•高台县开学）两直线相交，若∠1和∠2是一对对顶角，且∠1+∠2＝280°，则∠2＝ 度．
12．（2023春•鄄城县期中）如图是一把剪刀示意图，∠AOB+∠COD＝80°，∠AOC＝ ．
13．（2023•南岗区校级开学）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE：∠BOE＝2：5，则∠EOD的度数为 ．
14．（2023春•泗水县期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝∠BOC，∠AOD的度数是 ．
15．（2023春•遵义期末）如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角；
如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角；
如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角；
则n条直线相交于一点，有 组不重复的邻补角．
16．（2023春•榆林期末）如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2＝80°，求∠AOE的度数．
17．（2023春•渭南期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠DOE＝2：3，若∠AOC＝70°，求∠AOE的度数．
18．（2023春•南丹县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；
（2）若∠BOE：∠EOC＝1：3，求∠AOC的度数．
19．（2022秋•宁波期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）求∠DOF的度数；
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
20．（2023春•通川区校级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）图中∠BOD的邻补角为 ，∠AOE的邻补角为 ；
（2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝ ，
如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝ ；
（3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由．
第01讲 相交线（2知识点+5类热点题型练习）
知识点01 邻补角及其性质
邻补角的概念：
如图：像∠AOC与∠AOD这样，有一条 公共边 ，另一边
互为 反向延长线 ，具有这样关系的两个角是 邻补角 。
邻角的性子：
互为邻补角的两个角之和等于 180° ，即 邻补角互补 。
【即学即练1】
1．（2023春•铁西区期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，故A选项不符合题意；
B．∠1与∠2是邻补角，故B选项符合题意；
C．∠1与∠2不存在公共边，不是邻补角，故C选项不符合题意；
D..∠1与∠2是同旁内角，故D选项不符合题意；
故选：B．
【即学即练2】
2．（2023•青海）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＝140°，则∠AOC的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【分析】由邻补角的性质：邻补角互补，即可求解．
【解答】解：∵∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝140°，
∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝40°．
故选：A．
知识点02 对顶角及其性质
对顶角的概念：
如图：像∠AOC与∠BOD这样，有 公共顶点 ，且一个角的
两边两边均与另一个角的两边互为 反向延长线 ，具有这样关系的
两个角是 对顶角 。
对顶角的性质：
互为对顶角的两个角 相等 。即 对顶角相等 。
【即学即练1】
3．（2023春•阿荣旗期末）在下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的概念判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角；
B、∠1与∠2是对顶角；
C、∠1与∠2不是对顶角；
D、∠1与∠2不是对顶角；
故选：B．
【即学即练2】
4．（2023春•白银期末）如图，若∠1＝35°，则∠2的度数是（ ）
A．35°B．40°C．45°D．145°
【分析】根据对顶角相等求解即可．
【解答】解：∵∠1＝35°，∠1和∠2是对顶角，
∴∠2＝∠1＝35°．
故选：A．
题型01 邻补角的认识
【典例1】（2023春•路北区期中）下面四个图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据邻补角的定义作答即可．
【解答】解：由题意知，C中∠1与∠2是邻补角，
故选：C．
【变式1】（2023春•闽侯县期末）如所示四个图形中，∠1和∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．
【解答】解：A、∠1和∠2是对顶角，故A不符合题意；
B、∠1和∠2是邻补角，故B符合题意；
C、∠1和∠2没有公共顶点，故C不符合题意；
D、∠1和∠2是同旁内角，故D不符合题意．
故选：B．
【变式2】（2023春•晋江市校级期中）下列图形中，∠1与∠2是邻补角的是（ ）
A．B．
C．D．
题型02 利用邻补角的性质计算
【典例1】（2023春•夏邑县期中）已知∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，则∠2＝ 120° ．
【分析】根据邻补角的定义求解即可．
【解答】解：∵∠1＝60°，∠1与∠2是邻补角，
∴∠2＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
【变式1】
9．（2023•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＝80°，∠2＝30°，则∠AOE的度数为（ ）
A．30°B．50°C．60°D．80°
【分析】由对顶角的性质得到∠AOD＝∠1＝80°，即可求出∠AOE的度数．
【解答】解：∵∠AOD＝∠1＝80°，
∴∠AOE＝∠AOD﹣∠2＝80°﹣30°＝50°．
故选：B．
【变式2】
10．（2023春•云浮期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝3∠AOC，则∠BOD的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】由题意求得∠AOC的度数，继而求得∠BOD的度数．
【解答】解：∵∠AOD＝3∠AOC，∠AOC+∠AOD＝180°，
∴4∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝45°，
∴∠BOD＝∠AOC＝45°，
故选：D．
题型03 对顶角的认识
【典例1】
11．（2023春•莲池区期末）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此即可判断．
【解答】解：A、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故A不符合题意；
B、∠1与∠2是对顶角，故B符合题意；
C、∠1与∠2没有公共顶点，∠1与∠2不是对顶角，故C不符合题意；
D、∠1与∠2的两边不互为反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故D不符合题意；
故选：B．
【变式1】
12．（2023春•谷城县期末）下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义，结合各个选项中的图形中的∠1、∠2，进行判断即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，选项B图形中的∠1与∠2是对顶角，
故选：B．
【变式2】
13．（2022秋•社旗县期末）下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可．
【解答】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有D选项符合，
故选：D．
题型04 利用对顶角的性质计算
【典例1】
14．（2023秋•南岗区校级期中）如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2＝60°，则∠2＝ 30 度．
【分析】根据对顶角相等结合题意计算即可．
【解答】解：∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠2＝60°，
∴∠2＝30°，
故答案为：30．
【变式1】
15．（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，则∠BOE＝（ ）
A．60°B．50°C．40°D．30°
【分析】根据邻补角的性质以及角平分线的定义即可解决问题；
【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝40°，
故选：C．
【变式2】
16．（2023春•阜南县校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，则∠BOD的大小变化是（ ）
A．减少12°27′B．增大167°33′
C．不变D．增大12°27′
【分析】根据对顶角相等解答即可．
【解答】解：∵线AB，CD相交于点O，若∠AOC增大12°27′，
∴∠BOD的大小变化是12°27′，
故选：D．
题型05 利用邻补角与对顶角的性质综合计算
【典例1】
17．（2022秋•秀英区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOE＝2∠AOC，若∠1＝38°，则∠DOE等于（ ）
A．66°B．76°C．90°D．144°
【分析】根据条件∠AOE＝2∠AOC、对顶角相等和补角的定义可得答案．
【解答】解：如图，∠1＝∠AOC＝38°．
∵∠AOE＝2∠AOC，
∴∠AOE＝76°．
∴∠DOE＝180°﹣∠AOC﹣∠AOE＝180°﹣38°﹣76°＝66°．
故选：A．
【变式1】
18．（2023春•陈仓区期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠COB＝110°，则∠BOE的度数是（ ）
A．55°B．70°C．125°D．145°
【分析】由角平分线定义得到∠AOE＝∠AOD，由对顶角的性质得到∠AOD＝∠BOC＝110°，因此∠AOE＝55°，由邻补角的性质得到∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．
【解答】解：∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠AOD，
∵∠AOD＝∠BOC＝110°，
∴∠AOE＝55°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝125°．
故选：C．
【变式2】
19．（2023秋•香坊区校级期中）如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠EOF＝90°，∠AOD＝80°，且∠FOC＝2∠EOC，求∠EOB的度数．
【分析】根据∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，求出∠EOC30°，根据对顶角的性质得∠BOC＝∠AOD＝80°，即可求出∠EOB的度数．
【解答】解：∵∠EOF＝90°，∠FOC＝2∠EOC，
∴∠EOC＝×90°＝30°，
∵∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝∠AOD＝80°，
∴∠EOB＝∠EOC+∠BOC＝30°+80°＝110°．
【变式3】
20．（2022秋•金凤区校级期末）已知：∠EOC是直角，直线AE、BF、DG交于点O，OD平分∠EOC，∠AOB＝40°，求：∠1和∠BOD、∠EOG的度数．
【分析】利用角平分线的定义可得∠DOE＝∠EOC＝45°，从而利用对顶角相等可得∠1＝∠DOE＝45°，然后再利用平角定义求出∠BOD和∠EOG的度数，即可解答．
【解答】解：∵∠EOC＝90°，OD平分∠EOC，
∴∠DOE＝∠EOC＝45°，
∴∠1＝∠DOE＝45°，
∴∠EOG＝180°﹣∠1＝135°，
∵∠AOB＝40°，
∴∠BOD＝180°﹣∠DOE﹣∠AOB＝95°，
∴∠1的度数为45°，∠BOD的度数为95°，∠EOG的度数为135°．
1．（2023秋•道里区校级期中）在下列图中，∠1与∠2属于对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，可得结论．
【解答】解：在选项A、C、D中，∠1与∠2的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有选项B．
故选：B．
2．（2023秋•珠海校级期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOC＝40°，则∠COE的度数为（ ）
A．145°B．150°C．155°D．160°
【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到，然后根据平角的概念求解即可．
【解答】解：∵∠AOC＝40°，
∴∠BOD＝∠AOC＝40°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝160°．
故选：D．
3．（2023春•招远市期末）泰勒斯被誉为古希腊及西方第一个自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯首次发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是（ ）
A．同角的余角相等B．同角的补角相等
C．等角的余角相等D．等角的补角相等
【分析】由补角的性质：同角的补角相等，即可判断．
【解答】解：论证“对顶角相等”使用的依据是：同角的补角相等．
故选：B．
4．（2023春•茶陵县期末）如图，直线a、b相交，∠1＝130°，则∠2+∠3＝（ ）
A．50°B．100°C．130°D．180°
【分析】根据图形及∠1＝130°可求出∠2和∠3的值，进而能得出∠2+∠3的值．
【解答】解：由图形可得：∠2＝∠3＝180°﹣∠1＝50°，
∴∠2+∠3＝100°．
故选：B．
5．（2023春•威县校级期末）如图，直线a，b相交，∠1：∠2＝2：7，则∠3的度数是（ ）
A．20°B．40°C．45°D．60°
【分析】根据∠1+∠2＝180°，∠1：∠2＝2：7，即可求出∠1的度数，再根据对顶角相等即可得出∠3的度数．
【解答】解：∵∠1：∠2＝2：7，
∴设∠1＝2x，∠2＝7x，
∵∠1+∠2＝180°，
∴2x+7x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠1＝40°，
∴∠3＝∠1＝40°，
故选：B．
6．（2023春•泾阳县期中）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（ ）
A．72°B．90°C．108°D．144°
【分析】根据邻补角的概念求出∠AOD，根据角平分线的定义求出∠DOE，再根据邻补角的概念计算，得到答案．
【解答】解：∵∠1＝36°，
∴∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE＝∠AOD＝72°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝108°，
故选：C．
7．（2023•江油市开学）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图①所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了图②所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图③是实验的示意图，点A，C，B在同一直线上，下列各角中，∠PDM的对顶角是（ ）
A．∠BCDB．∠FDBC．∠BDND．∠CDB
【分析】对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解．
【解答】解：观察图形可知，∠PDM的对顶角是∠BDN．
故选：C．
8．（2023春•和平区校级月考）如图，一把张开的剪刀，给我们两条直线相交的形象，则图中∠1，∠2，∠3之间的关系不一定成立的是（ ）
A．∠1+∠2＝180°B．∠1﹣∠3＝90°
C．∠2＝∠3D．∠3+∠1＝180°
【分析】根据邻补角的定义和对顶角的性质分别判断即可．
【解答】解：由图可知：∠1和∠2为邻补角，∠1和∠3为邻补角，∠2和∠3为对顶角，
∴∠1+∠2＝180°，∠3+∠1＝180°，∠2＝∠3，
∴选项A，C，D成立，选项B不一定成立．
故选：B．
9．（2023春•川汇区期中）如图，直线BD，CE相交于点O，OB平分∠AOC，若∠AOE＝112°，则∠DOE＝（ ）
A．34°B．35°C．36°D．39°
【分析】先根据平角的定义求出∠AOB，然后根据角平分线的定义求出∠BOC，再根据对顶角相等求出∠DOE即可．
【解答】解：∵∠AOE＝112°，
∴∠AOC＝68°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠BOC＝34°，
∴∠DOE＝∠BOC＝34°．
故选：A．
10．（2023春•威县期末）如图，为测量古塔的外墙底角∠AOB的度数，甲、乙两人的测量方案如表：
下列判断正确的是（ ）
A．甲能得到∠AOB的度数，乙不能
B．乙能得到∠AOB的度数，甲不能
C．甲、乙都能得到∠AOB的度数
D．甲、乙都不能得到∠AOB的度数
【分析】根据对顶角相等，邻补角互补，进行判断作答即可．
【解答】解：由题意知，方案一，由对顶角相等可得∠AOB＝∠COD，甲能得到∠AOB的度数；
方案二，由邻补角互补可得，∠AOB＝180°﹣∠AOD，乙能得到∠AOB的度数；
故选：C．
11．（2023•高台县开学）两直线相交，若∠1和∠2是一对对顶角，且∠1+∠2＝280°，则∠2＝ 140 度．
【分析】根据对顶角相等进行计算即可．
【解答】解：∵∠1和∠2是一对对顶角，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1+∠2＝280°，
∴∠2＝，
故答案为：140．
12．（2023春•鄄城县期中）如图是一把剪刀示意图，∠AOB+∠COD＝80°，∠AOC＝ 140° ．
【分析】由对顶角，邻补角的性质，即可计算．
【解答】解：∵∠AOB+∠COD＝80°，∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＝40°，
∵∠AOC+∠AOB＝180°，
∴∠AOC＝140°，
故答案为：140°．
13．（2023•南岗区校级开学）如图，直线AB和CD相交于O，OA平分∠COE，∠COE：∠BOE＝2：5，则∠EOD的度数为 120° ．
【分析】根据已知∠COE：∠BOE＝2：5，从而根据∠COE和∠DOE为邻补角即可求出两角的度数；要求∠BOD的度数，结合对顶角相等可知直线求出∠AOC的度数，则此时结合上述所求，根据角平分线的定义即可解答．
【解答】解：∵∠COE：∠BOE＝2：5，
∴设∠COE＝2x，∠BOE＝5x，
∵OA平分∠COE，
∴∠AOE＝∠AOC＝x，
∵∠AOE+∠BOE＝180°，
∴x+5x＝180°，
∴x＝30°，
∴∠BOE＝5x＝150°，
∵∠BOD＝∠AOC＝30°，
∴∠EOD＝120°，
故答案为：120°．
14．（2023春•泗水县期中）如图，直线AC和直线BD相交于点O，若∠1+∠2＝∠BOC，∠AOD的度数是 135° ．
【分析】设∠1＝∠2＝x，根据得出∠BOC＝3x，根据∠1+∠BOC＝180°列出关于x的方程，解方程即可．
【解答】解：设∠1＝∠2＝x，
∵，
∴，
∴∠BOC＝3x，
∵∠1+∠BOC＝180°，
∴x+3x＝180°，
解得：x＝45°，
则∠BOC＝3x＝135°．
故答案为：135°．
15．（2023春•遵义期末）如图①，两条直线a，b相交于一点，有4组不重复的邻补角；
如图②，三条直线a，b，c相交于一点，有12组不重复的邻补角；
如图③，四条直线a，b，c，d相交于一点，有24组不重复的邻补角；
则n条直线相交于一点，有 2n（n﹣1） 组不重复的邻补角．
【分析】结合已知条件及图形总结规律即可．
【解答】解：由①得4＝2×1×2，
由②可得12＝3×2×2，
由③可得24＝4×3×2，
那么n条直线相交于一点，不重复的邻补角共有2n（n﹣1）组，
故答案为：2n（n﹣1）．
16．（2023春•榆林期末）如图，直线AB和CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1+∠2＝80°，求∠AOE的度数．
【分析】根据∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2（对顶角相等）得出∠1＝∠2＝40°，进而求出∠AOD＝140°，再利用角平分线的定义求解即可．
【解答】解：∵∠1+∠2＝80°，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠AOD，
∴．
17．（2023春•渭南期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE：∠DOE＝2：3，若∠AOC＝70°，求∠AOE的度数．
【分析】根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD＝2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．
【解答】解：∵∠AOC＝70°，
∴∠BOD＝∠AOC＝70°，
∵∠BOE：∠EOD＝2：3，
∴∠BOE＝×70°＝28°，
∴∠AOE＝180°﹣28°＝152°．
18．（2023春•南丹县期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；
（2）若∠BOE：∠EOC＝1：3，求∠AOC的度数．
【分析】（1）根据补角的定义可以求出∠EOD，再根据角平分线的性质即可求解；
（2）根据平角的定义和题中角的比可求出∠BOD，再根据对顶角相等即可求解．
【解答】解：（1）∵∠EOC＝110°，
∴∠EOD＝180°﹣∠EOC＝70°，
∵OB平分∠EOD，
∴；
（2）∵OB平分∠EOD，
∴，
∵∠BOE：∠EOC＝1：3，
∴∠EOC＝3∠BOE＝3∠BOD，
∵∠EOC+∠DOE＝180°，
∴3∠BOD+2∠BOD＝180°，
解得：∠BOD＝36°，
∴∠AOC＝∠BOD＝36°．
19．（2022秋•宁波期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．
（1）求∠DOF的度数；
（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．
【分析】（1）由角平分线定义得到∠DOF＝∠AOB，即可得到答案；
（2）由平角定义得到∠AOC＝30°，由对顶角的性质得到∠BOD＝30°，而∠DOF＝90°，即可求出∠EOF的度数．
【解答】解：（1）∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，
∴∠EOD＝∠BOE，∠EOF＝∠AOE，
∴∠EOD+∠EOF＝（∠BOE+∠AOE），
∴∠DOF＝∠AOB＝×180°＝90°；
（2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC＝30°，
∵OD平分∠BOE，
∴∠EOD＝∠BOD＝30°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝90°﹣30°＝60°．
20．（2023春•通川区校级期末）如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．
（1）图中∠BOD的邻补角为 ∠AOD ，∠AOE的邻补角为 ∠BOE ；
（2）如果∠COD＝25°，那么∠BOE＝ 65° ，
如果∠COD＝60°，那么∠BOE＝ 30° ；
（3）试猜想∠COD与∠BOE具有怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）直接利用邻补角的定义分析得出答案；
（2）结合角平分线的定义利用已知分别得出各角度数即可；
（3）利用角平分线的定义结合平角的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：∠BOD的邻补角为：∠AOD，
∠AOE的邻补角为：∠BOE；
故答案为：∠AOD，∠BOE；
（2）∵∠COD＝25°，∴∠AOC＝2×25°＝50°，
∴∠BOC＝130°，
∴∠BOE＝×130°＝65°，
∵∠COD＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BOE＝∠BOC＝30°，
故答案为：65°，30°；
（3）由题意可得：
∠COD+∠BOE
＝∠AOC+∠BOC
＝（∠AOC+∠BOC）
＝90°．
课程标准
学习目标
①邻补角及其性质
②对顶角及其性质
掌握邻补角与对顶角的定义，能够准确的判断邻补角与对顶角。
掌握邻补角与对顶角的性质，能够熟练的运用性质进行计算。
方案一
方案二
甲：分别作AO，BO的延长线OC，OD，量出∠COD的度数，就得到∠AOB的度数．
乙：作BO的延长线OD，量出∠AOD的度数后可通过180°﹣∠AOD得到∠AOB的度数．
课程标准
学习目标
①邻补角及其性质
②对顶角及其性质
掌握邻补角与对顶角的定义，能够准确的判断邻补角与对顶角。
掌握邻补角与对顶角的性质，能够熟练的运用性质进行计算。
方案一
方案二
甲：分别作AO，BO的延长线OC，OD，量出∠COD的度数，就得到∠AOB的度数．
乙：作BO的延长线OD，量出∠AOD的度数后可通过180°﹣∠AOD得到∠AOB的度数．
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