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2024贵阳一中高三下学期一模考试数学含答案
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1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分,考试用时120分钟.
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,,则集合的元素个数为( )
A.2B.3C.4D.5
2.复数(其中为虚数单位)的虚部为( )
A.2B.1C.D.
3.已知向量,,若,则( )
A.B.1
C.D.
4.为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念,市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动,购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计1200棵,比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为,若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配,则中年教师应分得梧桐的数量为( )
A.60棵B.100棵C.144棵D.160棵
5.设随机变量服从正态分布,若,则的值为( )
A.9B.7C.5D.4
6.纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通、安全法规各项要求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小,逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式:,其中为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为时,放电时间为;当放电电流为时,放电时间为,则该蓄电池的Peukert常数约为(参考数据:,)( )
A.1.12B.1.13
C.1.14D.1.15
7.某圆锥的轴截面是一个边长为8的等边三角形,在该圆锥中内接一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为( )
A.B.
C.D.
8.已知定义域为的函数,其导函数为,且满足,,则( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.已知数列的前项和为,且满足,,则下列说法正确的是( )
A.数列为递增数列
B.数列的前项和为
C.数列的通项公式为
D.数列不是递增数列
10.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中不放回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”,则( )
A.乙发生的概率为B.丙发生的概率为
C.甲与丁相互独立D.丙与丁互为对立事件
11.已知函数满足:,,则( )
A.函数的值域为
B.函数的图象关于直线对称
C.函数是奇函数
D.函数在上单调递减
12.如图,正方体的棱长为1,是线,段上的动点,则下列结论正确的是( )
A.四面体的体积为定值
B.的最小值为
C.平面
D.当直线与所成的角最大时,四面体的外接球的体积为
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.二项式的展开式中含的系数为______.
14.核桃(又称胡桃、羌桃)、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”.它的种植面积很广,但因地域不一样,种植出来的核桃品质也有所不同:现已知甲、乙两地盛产核桃,甲地种植的核桃空壳率为2%(空壳率指坚果,谷物等的结实性指标,因花未受精,壳中完全无内容,称为空壳),乙地种植的核桃空壳率为4%,将两地种植出来的核桃混放在一起,已知甲地和乙地核桃数分别占总数的60%,40%,从中任取一个核桃,则该核桃是空壳的概率是______.
15.如图,表面积为的球面上有四点,,,,是等边三角形,球心到平面的距离为3,若平面平面,则三棱锥体积的最大值为______.
16.已知直线与抛物线交于,两点,抛物线的焦点为,为原点,且,于点,点的坐标为,则______.
四、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
记的内角,,的对边分别为,,.已知.
(1).求;
(2)若,,求的面积.
18.(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)在数列中,,求数列的前项和.
19.(本小题满分12分)
某学校为学生开设了一门模具加工课,经过一段时间的学习,拟举行一次模具加工大赛,学生小明、小红打算报名参加大赛.赛前,小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练,下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数,其中小明第7天的成功次数忘了记录,但知道,(,分别表示小明、小红第天的成功次数).
(1)求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率;
(2)根据小明这7天内前6天的成功次数,求其成功次数关于序号的线性回归方程,并估计小明第七天成功次数的值.
参考公式:回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为:
,.
参考数据:;.
20.(本小题满分12分)
如图,在三棱台中,在边上,平面平面,,,,,.
(1)证明:;
(2)若且的面积为,求与平面所成角的正弦值.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆的上、下顶点分别是,,点(异于,两点)在椭圆上,直线与的斜率之积为,椭圆的短轴长为4.
(1)求的标准方程;
(2)已知,直线与椭圆的另一个交点为,且直线与相交于点,证明:点在定直线上.
22.(本小题满分12分)
已知函数,.
(1)若,讨论函数的单调性;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
序号
1
2
3
4
5
6
7
小明成功次数
16
20
20
25
30
36
小红成功次数
16
22
25
26
32
35
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