山东省日照市2024届高三下学期一模数学试题

这是一份山东省日照市2024届高三下学期一模数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列是公比为2的等比数列，且，则等于（ ）
A．24B．48C．72D．96
3．已知样本空间含有等可能的样本点，且，，则（ ）
A．B．C．D．1
4．已知l，m是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A．若l与不平行，则l与m一定是异面直线
B．若，则l与m可能垂直
C．若，且，则l与m可能平行
D．若，且l与不垂直，则l与m一定不垂直
5．今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（ ）
A．9种B．36种C．38种D．45种
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不死分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知函数，则（ ）
A．
B．不是周期函数
C．在区间上存在极值
D．在区间内有且只有一个零点
8．过双曲线的右支上一点P，分别向和作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（ ）
A．28B．29C．30D．32
二、多选题
9．下列命题正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．设z为复数，，则
C．若复数为纯虚数，则，
D．复数在复平面内对应的点在第二象限
10．从标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，依次得到数字a，b，记点，，，则（ ）
A．是锐角的概率为B．是直角的概率为
C．是锐角三角形的概率为D．的面积不大于5的概率为
11．如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球，球切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，则（ ）
A．椭圆C的中心不在直线上
B．
C．直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为
D．椭圆C的离心率为
三、填空题
12．有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5，7，8，9，10，则这组数据的分位数为 ．
13．设满足：对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是 .
14．已知正四棱锥的所有棱长都为2；点E在侧棱SC上，过点E且垂直于SC的平面截该棱锥，得到截面多边形H，则H的边数至多为 ，H的面积的最大值为 ．
四、解答题
15．在锐角中，角A，B，C．所对的边分别为a，b，c．已知且，
(1)求角B及边b的大小；
(2)求的值．
16．己知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差．
(1)求及的通项公式；
(2)记集合的元素个数为，求数列的前50项和．
17．随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为．
(1)求一个问题能被软件正确应答的概率；
(2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为X，的概率记为，则n为何值时，的值最大？
18．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，．

(1)当时，
①求证：；
②求平面和平面所成角的余弦值；
(2)是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据题意求集合A，再根据交集运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以.
故选：D.
2．B
【分析】由等比数列通项公式的性质得出结果.
【详解】因为数列是公比为2的等比数列，且，
所以，
故选：B.
3．A
【分析】根据题意分别求得，，，结合独立事件的定义，可判定事件与相互独立，再结合对立事件的概念关系可运算得解.
【详解】由题意，，，，
，
所以事件与相互独立，则与也相互独立，
.
故选：A.
4．B
【分析】根据空间中线、面位置关系分析逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若l与不平行，则l与的位置关系有：相交或直线在平面内，
且，则l与m的位置关系有：平行、相交或异面，故A错误；
对于选项B：若，则l与m可能垂直，
如图所示：，可知：，故B正确；

对于选项C：若，且，，则l与m异面，故C错误；
对于选项D：若，且l与不垂直，则l与m可能垂直，
如图，取为平面，，

符合题意，但，故D错误；
故选：B.
5．B
【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解.
【详解】从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，
剩余的2人，2部影片进行全排列，
故共有种情况.
故选：B
6．D
【分析】根据幂函数以及正弦函数的性质，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若，例如，则，
可知，即充分性不成立；
若，例如，则，满足题意，
但，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
7．D
【分析】对于A，由诱导公式即可判断；对于B，由三角函数周期可得，由此即可判断；对于C，由复合函数单调性即可判断；对于D，令，解方程即可得解.
【详解】对于A，，
所以，故A错误；
对于B，，所以是以为周期的函数，故B错误；
对于C，由复合函数单调性可知在区间上分别单调递增、单调递减，
所以在区间上单调递增，所以不存在极值，故C错误；
对于D，令，得，所以，即该方程有唯一解（函数在内有唯一零点），故D正确.
故选：D.
8．C
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．
【详解】由双曲线方程可知：，
可知双曲线方程的左、右焦点分别为，，
圆的圆心为（即），半径为；
圆的圆心为（即），半径为．
连接，，，，则，
可得
，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为30.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得，结合双曲线的定义整理得，结合几何性质分析求解.
9．AC
【分析】对于ACD：根据复数的相关概念和几何意义分析判断；对于B：根据复数的除法运算可得，进而结合共轭复数的概念和复数的模长运算求解.
【详解】对于选项A：复数的虚部为，故A正确；
对于选项B：因为，则，
所以，故B错误；
对于选项C：若复数为纯虚数，则，，故C正确；
对于选项D：复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故D错误；
故选：AC.
10．ACD
【分析】A选项，先得到种情况，数形结合得到要想为锐角，则点应在直线下方，共有28个点满足要求，得到是锐角的概率；B选项，求出直线，要想为直角，则点在上，列举出满足要求的点的个数，B正确；C选项，要想为锐角三角形，则点落在直线与直线之间，列举出满足要求的点，得到概率；D选项，要想的面积不大于5，则点在上，或的下方，即，列举出满足要求的点，得到答案.
【详解】A选项，标有1，2，3，…，8的8张卡片中有放回地抽取两次，每次抽取一张，
共有种情况，
设与直线垂直，因为，则直线，
其中个点中，有8个落在直线上，剩余56个点中，一半在上方，
一半在下方，
要想为锐角，则点应在直线下方，
其中满足要求的有28个点，
故是锐角的概率为，A正确；
B选项，过点作直线⊥，
则点落在直线上，满足为直角，
其中，故直线的斜率为1，直线的方程为，即，
落在上的点的坐标有，共6个，
故是直角的概率为，B错误；
C选项，要想为锐角三角形，则点落在直线与直线之间，
根据点的坐标特征，应落在上，
满足要求的点有，共7个，
故是锐角三角形的概率为，C正确；
D选项，直线的方程为，，
设直线，
设直线与直线的距离为，
则，
令，解得，
故要想的面积不大于5，则点在上，或的下方，
即，
满足要求的点有，
，
，
共个，
的面积不大于5的概率为，D正确.
故选：ACD
11．ACD
【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.
【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，
得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，
点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴，
可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A正确；
椭圆长轴长，
过作于D，连，显然四边形为矩形，
又，
则，
过作交延长线于C，显然四边形为矩形，
椭圆焦距，故B错误；
所以直线与椭圆C所在平面所成的角的正弦值为，故C正确；
所以椭圆的离心率，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
12．7
【分析】根据百分位数的定义分析求解.
【详解】因为该组数据共6个，且，
所以这组数据的分位数为第三位数，即为7.
故答案为：7.
13．
【分析】令，由题意，利用二次函数性质求得最值列不等式求解即可.
【详解】令.
因为对任意，均存在，使得，所以的值域是值域的子集，
所以，即，解得，即的取值范围是.
故答案为：
14． 5 /
【分析】数形结合，作平面与平面平行，即可解决；令，用表示相关长度，整理得，结合二次函数即可解决.
【详解】取中点且，平面，可知平面，
根据平面的基本性质，作平面与平面平行，如图至多为五边形.
令，则，
可得，
则，可得，
所以，
又因为与的夹角为与夹角，而与垂直，
则，
可得，
可知：当时，S取最大值.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：根据平面的性质分析截面的形状，结合几何知识求相应的长度和面积，进而分析求解.
15．(1)，
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边换角即可得，再利用余弦定理即可得；
（2）利用余弦定理求得，再结合同角三角函数关系和两角和的正弦公式即可得到答案.
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理得，
由于锐角三角形中，所以，
而是锐角，所以.
由余弦定理得.
（2）由余弦定理得，而是锐角，
所以，所以.
.
16．(1)，
(2)2497
【分析】（1）根据等差中项可得，结合与之间的关系分析可知数列为等差数列，再利用等差数列通项公式运算求解；
（2）根据题意可得，结合基本不等式可得，结合等差数列求和公式运算求解.
【详解】（1）因为，，成等差，则，且，
当时，可得，解得或（舍去）；
当时，可得，
两式相减得，整理得，
且，则；
可知数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（2）因为，由（1）可得，即，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知；
当时，因为，
所以；
综上所述：.
所以数列的前50项和为.
17．(1)0.75
(2)7或8
【分析】（1）根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）由题意可知：且，结合数列单调性分析求解.
【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件A，“回答正确”为事件B，
由题意可知：，则，
所以.
（2）由（1）可知：，
则，可得，
令，则，
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可知当，可得；
令，解得，可得；
所以当或时，最大，即n为7或8时，的值最大.
18．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分和两种情况，结合导数符号判断函数单调性；
（2）根据题意分析可知：在内单调递增，在内单调递减，，利用极值点偏离证明和，即可得结果.
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，，
且，令，可得，
当，即时，可知在内恒成立，
即在内恒成立，所以在内单调递增；
当，即时，由解得或，
由可知，
若，；若，；
所以在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：当时，在内单调递增；
当时，在内单调递增，在内单调递减.
（2）当时，可得，，
由（1）可知：在内单调递增，在内单调递减，
由题意可得：，
因为，
令，
则，
可知在内单调递增，则，
可得在内恒成立，
因为，则，
且，在内单调递减，
则，即；
令，
则，
可知在内单调递增，则，
可得在内恒成立，
因为，则，
且，在内单调递增，
则，即；
由和可得.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数；
（3）利用导数研究的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．
19．(1)①证明过程见解析；②
(2)，理由见解析
【分析】（1）①根据椭圆定义得到，结合离心率得到，求出，得到椭圆方程，联立直线方程和椭圆，得到，得到⊥，结合二面角为直二面角，得到线面垂直，证明出结论；
②建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，从而求出面面角的余弦值；
（2）设折叠前，折叠后对应的，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，根据折叠前后的周长关系得到，变形得到，代入两根之和，两根之积，求出，进而求出的值.
【详解】（1）①由椭圆定义可知，
所以的周长，所以，
因为离心率为，故，解得，
则，由题意，椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆方程为，
直线，即，
联立得，解得或，
当时，，当时，，
因为点A在x轴上方，所以，
故⊥，折叠后有⊥，
因为二面角为直二面角，即平面⊥，交线为，
平面，
所以⊥平面，
因为平面，所以⊥；
②以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系，

则，
，
其中平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令得，故，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为；
（2）设折叠前，折叠后对应的，
设直线方程为，
将直线与椭圆方程联立得，，
则，
在折叠前可知，
折叠后，在空间直角坐标系中，，，
由，，
故，
所以①，
分子有理化得，
所以②，
由①②得，
因为
，
故，
即，
将代入上式得
，
两边平方后，整理得，
即，解得，
因为，所以.
【点睛】出题非常新颖，将立体几何和解析几何结合，考查学生的综合能力，在解决图形的翻折问题时，应找出其中变化的量和没有变化的量，包括位置关系和数量关系，通常翻折后还在同一平面上的元素之间的位置关系不发生变化，不在同一平面上的元素之间的位置关系发生变化，解题时应抓住不变量，利用平面几何知识或建立空间直角坐标系进行求解.