广东省深圳市部分学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题（A卷）（原卷版+解析版）

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说明：
1．答题前，务必将自己的姓名、学号等填写在答题卷规定的位置上．
2．考生必须在答题卷上按规定作答：凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．
3．全卷共4页，考试时间90分钟，满分100分．
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 分式与的最简公分母是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用最简公分母的确定方法可得答案．
【详解】分式与最简公分母是，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
2. 多项式的公因式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据多项式的公因式的确定方法，即可求解．
【详解】解：多项式的公因式是．
故选：C
【点睛】本题考查了公因式的定义．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
3. 数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案不考虑文字说明中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 有害垃圾B. 可回收物
C. 厨余垃圾D. 其他垃圾
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
4. 计算的结果为（ ）
A. 1B. ﹣1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的加减运算，求解即可．
【详解】解：原式．
故选：B．
【点睛】此题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握分式的有关运算法则．
5. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，且，平行四边形的面积为，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，平行四边形的面积为48，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6. 如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（ ）
A. 绕点C逆时针旋转90度B. 沿AB的垂直平分线翻折
C. 绕AB的中点M顺时针旋转90度D. 沿DE方向平移
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理AAS得到，则BD=CE， CD=AE ．结合平移与旋转的性质进行判断．
【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，
∴AB=AC，∠ADC=∠CEA=∠BCA=90°，
∵∠DCB+∠BCA+∠ECA=180°，
∴∠DBC+∠DCB=∠ECA+∠DCB=90°，
∴∠DBC=∠ECA，
∴，
∴BD=CE， CD=AE，
A、绕点C旋转后，CD与AE不重合，即△BDC与△ACE不重合，故选项A不符合题意；
B、△BDC与△ACE不关于A B的中垂线对称，则沿A B的中垂线翻折后BD与AE不重合，故选项B不符合题意；
C、因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故选项C符合题意；
D、先沿DE方向平移△BDC，使点E与点D重合后，BD与AE不重合，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了图形的旋转与平移的性质及轴对称．掌握无论旋转还是平移，运动后的图形与原图形是全等的是解题的关键．
7. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
A 1组B. 2组C. 3组D. 4组
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可．
【详解】如图，（1）∵ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（4）∵在四边形ABCD中，ABCD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的有3组．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
8. “某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A. 每天比原计划多修，结果延期10天完成
B. 每天比原计划多修，结果提前10天完成
C. 每天比原计划少修，结果延期10天完成
D. 每天比原计划少修，结果提前10天完成
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查分式的实际运用．根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解．
【详解】解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修，
∵方程，
其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间，
∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成．
故选：B．
9. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ）
A. 或B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程为，由分式方程无解可得或，求出的值，再代入整式方程即可．
【详解】解：，
，
去分母得：，
整理得：，
关于的分式方程无解，
或，
解得：或，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
的值是或，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；让最简公分母为0确定增根；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10. 如图，四边形中，AD//BC，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ）
A. B. 3C. 3或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3-3t=t；当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得3t-3=t；解方程即可．
【详解】当3t≤3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
得3-3t=t，
解得t=；
当3t＞3时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
得3t-3=t，
解得t=，
故选D．
【点睛】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理，灵活选择判定方法，合理分类是解题的关键．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 在实数范围内分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．
12. 如图所示的图案，可以看作是一个四边形（阴影部分）按顺时针方向通过5次旋转得到的，每次旋转的角度是 _____．
【答案】##60度
【解析】
【分析】图中的图案有6个菱形组成，则每次旋转60度；一共旋转了5次．
【详解】解：每次旋转了．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
13. 如图，平行四边形中，对角线相交于点，若，则图中阴影部分面积是_________.
【答案】##
【解析】
【分析】过A作AH⊥BC于H，通过解直角三角形，即可得到AH的长，进而得到平行四边形ABCD的面积，再根据全等三角形的性质，即可得到图中阴影部分的面积＝×S▱ABCD．
【详解】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，则∠AHB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
，
∴S平行四边形ABCD＝BC•AH＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴S△AOF＝S△COE，
∴图中阴影部分的面积＝×S▱ABCD＝，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
14. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，，则的周长为______．
【答案】4a+2b
【解析】
【分析】根据题意并利用折叠的性质可得出∠ACE=∠ACB=2∠ECD，计算可得到∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40，利用三角形的外角性质得到∠CFD=∠D=80，再等角对等边即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可得：∠ACE=∠ACB，
∵∠ACE=2∠ECD，
∴∠ACE=∠ACB=2∠ECD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠FAC=∠FCA，∠B+∠BCD=180，即∠B+∠ACE+∠ACB+∠ECD=180，
∴∠ECD=20，∠ACE=∠ACB=40=∠FAC，
∠CFD=∠FAC+∠FCA=80=∠B=∠D，
∴AF=CF=CD=a，即AD=a+b，
则▱ABCD的周长为2AD+2CD=4a+2b，
故答案为：4a+2b．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15. 如图所示，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是_________．
【答案】1.5．
【解析】
【分析】取AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质可得CD=CG，再求出∠DCF=∠GCE，根据旋转的性质可得CE=CF，然后利用“边角边”证明△DCF和△GCE全等，再根据全等三角形对应边相等可得DF=EG，然后根据垂线段最短可得EG⊥AD时最短，再根据∠CAD=30°求解即可．
【详解】解：如图，取AC的中点G，连接EG，
∵旋转角为60°，
∴∠ECD+∠DCF=60°，
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，
∴∠DCF=∠GCE，
∵AD是等边△ABC的对称轴，
∴CD=BC，
∴CD=CG，
又∵CE旋转到CF，
∴CE=CF，
在△DCF和△GCE中，
∴△DCF≌△GCE（SAS），
∴DF=EG，
根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，
此时
∴EG=AG=1.5，
∴DF=1.5．
故答案为：1.5．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17.
（1）先化简，再求值： ， 其中x为，0，1，2中的一个合适的数值．
（2）解方程．
【答案】（1），4

（2）
【解析】
【分析】（1）先通分计算括号内的部分，在因式分解约分即可得到答案；
（2）去分母化成整式方程，解整式方程，最后检验是否为增根即可得到答案．
【小问1详解】
解：原式
，
∵当，0，1时原分式无意义，
∴，
当时，
原式；
【小问2详解】
解：方程两边同乘，得
，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解是．
【点睛】本题考查分式化简求值及解分式方程，解题的关键是因式分解及检验．
18. 如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1．
（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2）；则点B的对应点坐标是_____________
（3）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，直接写出点A对应点的坐标___________
（4）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为__________．
【答案】（1）见解析 （2）（-3，0）
（3）（2，3） （4）（-1，-2）
【解析】
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）先根据点A（-3，2）经过平移后得到点（-5，-2），得到△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，由此求解即可；
（3）先根据题意画出旋转图形，然后根据得到的图形即可得到答案；
（4）先得到，， ，，再由旋转中心在线段和线段的垂直平分线上，即可得到旋转中心的坐标为（-1，-2）．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：∵点A（-3，2）经过平移后得到点（-5，-2），
∴△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度，
∴点B（-1，4）向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度的对应点坐标为（-3，0），
故答案为：（-3，0）；
【小问3详解】
解：如图所示，是△ABC绕原点O顺时针旋转90度后的图形，
∴点A对应点的坐标为（2，3）；
故答案为：（2，3）；
【小问4详解】
解：如图所示，，， ，，
∵旋转中心在线段和线段垂直平分线上，
∴旋转中心的坐标为（-1，-2）．
故答案为：（-1，-2）．
【点睛】本题主要考查了画旋转图形，平移作图，根据平移前后点的坐标判断平移方式，根据平移方式确定平移后点的坐标，找旋转中心等等，解题的关键是熟知平移相关知识．
19. 某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，很快售完．超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市此时按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的100千克按售价的8折售完．
（1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？
（2）超市第二次销售该种干果盈利了多少元？
【答案】（1）该种干果的第一次进价是每千克5元；（3）超市第二次销售该种干果盈利了4320元．
【解析】
【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克元，则第二次的进价为，再根据题中“购进干果的数量是第一次的2倍还多300千克”可列出关于x的分式方程，求解即可；
（2）结合（1）得第二次购进干果的数量为，表示出第二次的销售总价，再减去第二次的进价即可.
【详解】解：（1）设该种干果的第一次进价是每千克元，
根据题意，得．
解得：．
经检验：是原方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元．
（2）
答：超市第二次销售该种干果盈利了4320元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，把握题中等量关系是解题的关键.
20. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法）；
②（拆项法）；
（2）已知：、、为的三条边，，求的周长．
【答案】（1）①；②
（2）7
【解析】
【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案．
【小问1详解】
解：①
；
②
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
故的周长为：7．
【点睛】本题考查了因式分解的方法，运用完全平方公式进行计算，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、运用完全平方公式进行分解，解题的关键是理解分组分解法、拆项法的实质．
21. 如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE//AB交AC于点F，CE//AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）先判断出∠ECD=∠ADB，进而判断出△ABD≌△EDC，即可得出结论；
（2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD=∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD=DC，
∴△ABD≌△EDC，
∴AB=ED，
∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形；
【小问2详解】
解：结论成立，理由如下：
如图，过点M作MG∥DE交CE于G，
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED=GM，且ED∥GM，
由（1）知，AB=GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解绑的关键．
22. 如图所示，在平行四边形中，平分交边于，交于．

（1）求证：；
（2）求证：；
（3）延长交于点，延长到，使，若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，再根据角平分线的性质可得，从而即可得出；
（2）由题意可得：，则，根据三角形内角和可得，则，即可得结论；
（3）连接，作于，由题意可求，，即可求，根据勾股定理可求的长，根据勾股定理可列出方程，可求出，，，的长度，再根据勾股定理可求的长，由题意可证，即可得的长．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
；
【小问2详解】
证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图连接，作于，

四边形是平行四边形，
，
，
，且，
，
，
，
，
，且，
，
，
，
在中，，且，
，
，
在和中，，，
，
，
，
中，，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键．